现代控制理论-复习第一章

1、1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立(一) 1.4 状态空间表达式的建立（二) 1.5 状态向量的线形变换 1.6 从状态空间表达式到传递函数阵,第一章控制系统的状态空间表达式,1.1 状态变量及其状态空间表达式,1、基本概念,状态变量： 完全表征系统运动状态，具有最小个数的一组变量,1）对于n阶系统，有n个独立的状态变量 2）状态变量的选择不是唯一的,状态： 系统过去、现在和将来的状况,状态方程 由系统的状态变量构成的一组微分方程组,输出方程 描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式,状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的n维空

2、间,状态空间表达式：由状态方程和输出方程联合构成,状态空间表达式的一般形式：,2、状态方程,由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。,用图下所示的 网络，说明如何用状态变量描述这一系统。,图一,式(1)就是图1.1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号 表示，即令 并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：,或,3、状态空间表达式,设单输入一单输出定常系统，其状态变量为 则状态方程的一般形式为：,输出方程式则有如下形式：,用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：,因而多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：,式中，x和A为同单输入系统，分别为n维状态矢量和nn系统矩阵；,

3、（9）,（10）,4、状态空间表达式的系统框图,状态变量与 输出的关系,状态变量与输入的关系,多入多出,例1-1 质量弹簧阻尼系统,设,状态空间表达式:,线性系统状态方程和输出方程的一般形式,状态方程,输出方程,线性定常系统,例1-1可写成,状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。,1.2 状态空间表达式的模拟结构图,模拟结构图: 系统中各状态变量之间的信息传递关系,对于一阶标量微分方程：,它的模拟结构图示于下图,再

4、以三阶微分方程为例：,将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成,它的模拟结构图示于下图,同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。,下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。,例1-2：,模拟结构图：,1.3 状态空间表达式的建立（一）,建立方法： 1）由系统框图来建立； 2）从系统的物理或化学机理出发进行推导； 3）由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数求得。,1）由系统框图建立状态空间表达式,例：,取,x2,x1,得,2）由系统机理建立状态空间表达式,常用： 1）电学：电路理论 2）力学：牛顿定律 3）热力学,1.4 状态空间表达式的建立（二）,实

5、现问题： 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数，建立系统的状态空间表达式。（非唯一）,最小实现： 没有零极点对消的传递函数的实现,对于最小实现：,1）传递函数没有零点,即,令,状态方程：,模拟结构图,b0,y,例1-3：,2）传递函数中有零点的实现,可以写成：,y1,y,u,则有,状态方程表达式为,模拟结构图,例1-4 求如下系统的状态空间表达式,解析,对角形实现：A为对角形,例1-6,约旦形实现：A中有约旦块,例1-7,1.5 状态向量的线性变换,线性变换：,设给定系统,变换， T为非奇异矩阵,新的状态表达式,其中,状态空间表达式为：,特征值： 的根,特征矢量：满足 的矢量,系

6、统表达式,求系统的特征值和特征向量,例1-8,特征值,特征向量,特征值 -1对应的特征向量为,同理可得2对应的特征向量为,解：,结论：线性变换以后系统的特征多项式不变，特征值不变。,系统特征值的不变性,变换为约旦标准型,1）A矩阵特征根无重根,变换矩阵：,是A的n个互异特征根 ， 为对应特征向量,变换后约旦标准型,2）A矩阵特征根有重根,变换矩阵：,其中 对应于（n-q）个单根的特征矢量， 对应于q个 的矢量通过 计算得到,设A的特征根有q个 重根，其余n-q个根为互异根,变换后约旦标准型,例1-9,转换成约旦标准型,解析：,1.6 从状态空间到传递函数阵,系统,零初始条件下，对上式两边求拉氏

7、变换,传递函数阵,同一系统，其状态空间表达式不是唯一的，但是其传递函数阵是不变的。,传递函数阵,零初始条件下，对上式两边求拉氏变换,系统,2、子系统在各种连接时的传递函数阵,实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，或形成反馈连接。现仅以两个子系统作各种连接为例，推导其等效的传递函数阵。,设系统1为：,简记为：,设系统2为：,简记为：,1）并联连接,所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系统输出的代数和，结构简图如下图所示。,由式(72)和式(73)，并考虑 得系统的状态空间表达式：,从而系统的传递函数阵为：,故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。,2）串联连接,串联连接下如图所示。读者可自己证明，其串联连接传递函数阵为：,即子系统串联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之积。但应注意，传递函数阵相乘，先后次序不能颠倒。,3）具有输出反馈的系统,如下图所示，由图可得