现代控制理论 3课件

1、第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性,现代控制理论,Xiandai kongzhi lilun,返回总纲,前进,结束放映,目录,4.1 李亚普诺夫第二法的概述 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定条件 4.3 李亚普诺夫稳定性定理 4.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析,后退,前进,结束放映,回前页,4.1 李亚普诺夫第二法的概述,一、物理基础 1、稳定性：一个自动控制系统当受到外界干扰时， 它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉后, 它仍有能力自动地在平衡状态下继 续工作，系统的这种性能，称为稳定性。 2、稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统。反 之为不稳定系统。 3、系统稳定性的数学表示法 系统在受外

2、界干扰后，系统偏差量（被 调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收 敛性，用数学方法表示为：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,任意小的规定量。,4、研究系统稳定性的方法 劳斯稳定性判据 古典控制论： 乃奎斯特稳定性判据 第一法 现代控制论：李亚普诺夫稳定性 第二法 第一法：是解系统的微分方程式，然后根据解的性 质来判断系统的稳定性，或根据特征方程 根的情况来判据稳定性。(间接法),返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,1892年，俄国Lyapunov在运动稳定性的 一般问题中提出了稳定性理论,第二法：建立在一个直观的物理事实上，如果一个系统 的某个平衡状态是渐近稳定的，即 那么随着 系统

3、的运动，其贮存的能量将随时 间增长 ，而衰减，直至趋于平衡状态而能量 趋于极小值。 由于实际系统很难找到一个统一的，简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数。李氏认 为在判断一个系统的稳定性时，不一定非要得到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚 构一个“广义”的能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，也就可以根据它来判据系统的稳定性。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,直接法 (重 点),返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,第二法的基本思想：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,第二法的基本思想：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,第二法的基

4、本思想：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,第二法的基本思想：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,第二法的基本思想：,李氏函数一般是状态分量 和时间 t 的标量函 数，用 表示，若与t无关，可用 表示 。 在多数情况下， 常取二次型函数作为李氏函数。 即： 式中 P为实对称阵。 二、二次型及其定号性 1、二次型： 定义：n个变量 的二次齐次多项式为：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,称为二次型。式中 是二次的系数。 设 对称且均为实数。 用矩阵表示二次型 2、定号性 1）正定性：当且仅当 x=0时，才有 ；对任意 非零X，恒有 ，则 为正定。,返回目录,后退,前进,结束放映

5、,回前页,2）负定性：当仅当X=0时，才有 ；对任意非零X,恒有 ，则 为负定。 3）正半定性和负半定性 如果对任意 ，恒有 , 则V(X)为正半定 或准正定。 如果对任意 ，恒有 , 则V(X)为负半定 或准负定。 4）不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(X)为不定。 3、赛尔维斯特准则 1）二次型 或实对称矩阵P为正定的充要 条件是P的主子行列式均为正，即,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,如果 则P为正定，即V(X)正定。 2）二次型 或对称阵P为负定的充要条件 是P的主子行列式满足 ； （ i为偶数）i=1，2，3，,n。,返回目录,后退,

6、前进,结束放映,回前页,举 例,1 研究下列函数的符号,1）,解： 对于x1=-2x2, x2=x3 ,V(x)=0,其它情况V(x)0,所以V(x)准正定。 V(x)符号不定。,2）,解： V(x)符号不定。,3）,4）,5）,正定,正定,4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性,一、平衡状态 系统一般描述： X为n维状态向量。 平衡状态：当在任意时间都能满足 时，称Xe为系统的平衡状态或平衡点。 *对于线性定常系统： A为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异时，系统有无穷多个平衡状态。 *对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 *对任意 ，总可引入一个新状态，经过一定的坐标变换，把它化到

7、坐标原点（即零状态）。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,* 孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则 称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也 是孤立平衡状态。 * 稳定性问题：是指系统的状态解（常称“运动”）是否 能趋于平衡状态解的问题，若系统的状态解能回 复到平衡状态则称此系统是稳定的。如果系统的 状态解虽然不能最终回复到平衡状态，而是在平 衡状态某个邻域内呈现自激震荡，而这种震荡又 为实际系统所允许，那么也应把这种系统称为稳 定的，反之为不稳定的。 二、李亚普诺夫意义下的稳定 系统状态方程为：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,设u( t )=0，且系统的平衡状态为

8、Xe， 。有扰动使系统在 时的状态为 ，产生初始偏差 则 后，系统的运动状态从 开始随时间发生变化.。 （1） 表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为中心的闭环域 里。其中 （2） 表示平衡状态偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为中心的闭环域 里,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,1、稳定性定义： 1）稳定与一致稳定： 设Xe为动力学系统 的一个孤立平衡状态。如果对球域 或任意正实数 ，都可以找到另一个正实数 或球域 ，当初始状态 满足 时，对由此出发的X 的运动轨迹有 ， 则此系统为李亚普 诺夫意义下的稳定。如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态为一致稳定。,返回目录,后退,前

9、进,结束放映,回前页,几何意义,2）渐近稳定和一致渐近稳定 设Xe为动力学系统 的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近Xe的任一初始状态 出发的运动轨迹 有 或 即收敛于平衡状态Xe，则称平衡状态Xe为渐近稳定。如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态Xe为一致渐近稳定。 3）大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即 对所有点都成立，称平衡状态Xe为大范围渐近稳定的。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,4）不稳定 如果平衡状态Xe即不是渐近稳定的，也不是稳定的，当 并无限增大时，从 出发的运动轨迹最终超越 域，则称平衡状态Xe是不稳定的。 2、稳

10、定的几何意义,返回目录,后退,前进,不稳定,稳定,渐近稳定,结束放映,回前页,4.3 李亚普诺夫稳定性定理,定理1：设系统的状态方程为 式中， ， 如果有连续一阶偏导 数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 是正定的。 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随 着 ，有 ，则原点处 的平衡状态是大范围内渐近稳定的。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,说明：,说明：,说明,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,说明：,说明：,说明,试确定其平衡状态的稳定性。 解：1）平衡状态 求 解 ，得 是给定系统唯一的平衡状态。 2）选取李氏函数

11、选 显然 正定的 所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,例1设系统方程为,又 即,有,则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,回前页,定理2：设系统的状态方程为： 式中： ，如果存在一标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，且 满足下列条件： 是正定的； 是负半定的； 对任意 和任意 ，在 时不恒等于零。 则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。如 果还有 时， 则为大范围渐近,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,稳定的。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,例2 设系统方程为 确定系统平衡状态的稳定性 解：1）求平衡状态 原点（0,0）为给定系

12、统唯一的平衡状态。 2）选李氏函数，选,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,当 负半定 讨论： 的定号性，即是否恒为零. 如果 恒为零，势必 时， 恒 为零，而 恒为零又必要 恒为零。 而又 不可能恒为零。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,因此有 不可能恒为零 系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。 又由于 ，有 是大范围渐近稳定。 若选 正定。 负定。 而 , 系统在平衡状态（0，0）是大范围渐近稳定。 定理3：设系统方程为 式中 ，如果存在一个标量函数V(x,t),它,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件 是正定的； 时负半定的，但在某一 X

13、 值恒为零。 则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定 义下 稳定的，但非渐近稳定，这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。 例3 系统方程为： 试确定系统平衡状态的稳定性。 解： 原点为平衡状态，选取李氏函数,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,在任意X 值上均可保持为零，则系统在原点处 是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。 定理4：设系统状态方程为： 式中 . 如果存在一个标量函数V(x,t),它具 有连续的一阶偏函数，且满足下列条件 在原点的某一领域内是正定的， 在同样的领域内是正定的， 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,返回目录

14、,后退,前进,结束放映,回前页,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,小结,李亚普诺夫稳定性定义 李亚普诺夫稳定性理论,一、线性定常系统的稳定性分析： 分析：设线性定常系统为： 式中： Xn维状态向量， 常系数矩阵， 假设A为非奇异，判定系统稳定性。 平衡状态，由方程知,X=0，(原点） 对（1）式确定的系统，若选如下正定无限大V函数 P正定实对称距阵,返回目录,后退,前进,4.4 线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析,结束放映,回前页,的导数为 如果系统为大范围渐进稳定。则要求 负定。,即,为负定,式中,2.问题：在已知P是正定条件下， 寻找满足(2)式条件的 实对称矩阵Q是正定的，则系统（

15、1）在原点处 的平衡点，是大范围渐近稳 定的。,回前页,3.定理:设系统状态方程为 式中, X 是n 维状态向量，A是 常系数矩阵,且是非奇异。若任意给定一个正定的实对称矩阵 Q ，存在一个正定的实对称矩阵P,使得满足如下矩阵方程 则系统在X=0处的平衡状态是大范围渐近稳定的.而标量函数 就是李氏函数. 4.几点讨论,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,1）如果 沿任意一条轨迹不恒等于零, 则 Q可 取做半正定数. 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。 3）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终 判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取 这样线性系统 平衡状态X=0为渐近 的充要条

16、件为：存在一个正定对称矩阵P，满足 矩阵方程 5、特征值稳定性判据 对于线性定常系统 ：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,（1）系统的每一平衡状态是在李亚普诺夫意义下稳定 的充分必要条件为A的所有特征值均具有非正（负 或零）实部。 （2）系统的唯一平衡状态Xe=0是渐近稳定的充分必要 条件为：A的所有特征值均具有负实部。 例：设系统的状态方程为 显然，坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定系,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,统在这一平衡状态下的渐近稳定性条件，并求出系统的李亚普诺夫函数。 解：设系统李亚普诺夫函数为： P由下式决定： 取 得：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前

17、页,展开得： 解上式：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,渐近稳定条件： 即：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,满足此不等式，必须有 故上述系统在原点处是渐近稳定的充要条件为,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,例：已知线性定常系统 试用李亚普诺夫第二法分析系统的稳定性。 解：1）平衡状态 ：X=0是系统唯一的平衡状态。 令 代入,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,由此导出： 故得,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,判据P的正定性 故 P 是正定的。 根据定理可知系统的平衡状态X=0是渐近稳定的 李氏函数：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,显然 系统在X=

18、0平衡状态是渐近稳定的。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,线性定常连续系统判稳步骤,重点,二、线性定常离散系统稳定性分析 定理：线性定常离散系统的状态方程为： 当系统在平衡点Xe=0是大范围内渐近稳定时，其 充分必要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵 Q都存在对称正定矩阵P，使得,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,而系统的李亚普诺夫函数是 当取 时， 证明：设李亚普诺夫函数为 式中P为正定的实对称矩阵 对于离散系统，用 和 之差代替 ,即 因此：,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,式中， 显然要满足系统在Xe=0点是大范围内渐近稳定的

19、条件： Q必须是正定对称矩阵。 如果 沿任意一解的序列不恒等,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,于零，Q也可取为半正定的。 例：设离散时间系统的状态方程为： 试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。 解：根据稳定定理知,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,根据赛尔维斯特准则，要使P为正定。必须满足 可得： 即只有当传递函数的极点位于单位圆内，系统在平衡点 处才是大范围内渐近稳定的。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,例: 线性离散系统为,试求系统在平衡点K处渐近稳定时K值的范围。,返回目录,后退,前进,结束放映,回前页,线性定常离散系统判稳步骤,重点,MATLAB在系统稳

20、定性中的应用,一、特征值稳定性判断 特征值稳定性判据 对于线性定常系统 （1）系统的每一平衡状态是在李亚普诺夫意义下稳定 的充分必要条件为A的所有特征值均具有非正（负 或零）实部。 （2）系统的唯一平衡状态Xe=0是渐近稳定的充分必要 条件为：A的所有特征值均具有负实部。 矩阵特征值可通过函数eig( )求出，调用方式如下： V，D=eig(A)D为一对角阵，其对角线上的元素为A,阵的特征值，V阵为每一特征值对应的 特征向量。 再由函数real( )获得D阵的实部，调用方式如下： R=real(D) 例：已知线性定常系统：,试判断系统的稳定性。 MATLAB程序如下： A=-1，-2；3，-6

21、； V,D=eig(A); R=real(D),二、李亚普诺夫方程 MATLAB还提供了求解李亚普诺夫方程的函数lyap( )，调用格式如下： P=lyap(AT,B,Q)求解一般形式的李亚普诺夫方程。 ATP+PB=-Q P=lyap(AT,Q)求解特殊形式的李亚普诺夫方程。 ATP+PA=-Q P=dlyap(GT,Q)求解离散系统的李亚普诺夫方程。 GTPG - P=-Q,上例中用李亚普诺夫方程判断系统稳定性。 程序如下： a=-1 2;3 6; c=eye(size(a); p=lyap(a,c),总 结,1. 稳定性的基本概念 1) 稳定性： 2) 稳定系统： 3）系统稳定性的数学表示法 4）研究系统稳定性的方法 劳斯稳定性判据 古典控制论： 乃奎斯特稳定性判据 第一法 现代控制论：李亚普诺夫稳定性 第二法（李氏函数）,2. 二次型及其定号性 1）什么是二次型