导数的应用(1).ppt

1、导数的应用（一）,洪泽外国语中学 程怀宏,1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值,应用一、判断单调性、求单调区间,函数的导数与函数的单调性之间的关系？,判断函数单调性的常用方法：,（1）定义法（2）导数法,1)如果在某区间上f(x)0，那么f（x）为该区间上的增函数，,2)如果在某区间上f(x)0，那么f（x）为该区间上的减函数。,一般地，设函数yf（x），,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0, 则f(x)为常数函数。,要点疑点考点,例1：,解: (1) f(x)=3x2-x-2,说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能

2、用 连接，只能用逗号分开写，或者可用“和”连接。,由 即 得x1.,解:函数的定义域是(-1,+),又因为函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,练习1:求函数f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间:,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间时,一定首先要确定函数的定义域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.,求函数的单调区间的步骤： （1）求定义域 （2）求出函数的导函数 （3）求解不等式f (x) 0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 （4）

3、求解不等式f(x) 0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间,练习2：求 的单调减区间,练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函数,y=/(x)的图象如右图所示,则y=(x)的图象最有可能的是 ( ),c,y=f(x),例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围 .,函数f（x）在R上是减函数,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.

4、,函数极值的定义,导数的应用二、求函数的极值,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,f (x)0,x1,在极大值点附近,在极小值点附近,f (x)0,f (x)0,f (x)0,极值和导数,x2,如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.,判别函数f(x)在f(x0)是极大(小)值的方法是:,左正右负为极大值，左负右正为极小值。,例1:判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 可导函数必有极值； 函数在极值点必有定义； 函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； 函数的极小值（或极大值）不会多

5、于一个。,例2：求f(x)=x3-12x+1的极值.,列表:,因此,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=17; 当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5,极大值 f(-2),极小值 f(2),解:令 =3x2-12=0,解得x1=-2,x2=2,+,+,-,求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为区间段，并列成表格,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1) 确定函数的定义域；,练习1.（20

6、05年北京卷） 如果函数的导函数的图象如图 所示，给出下列判断：,(3),练习2：（天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有（ ） 极小值点有（ ） A1个 B2个 C3个 D 4个,解析:函数在开区间内有极小值的点即原函数由减函数 变为增函数的点，其导数值为由负到正的点.,A,注：满足f(x0)=0的点x=x0只是它为极大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把该点等同于极值点，往往容易导致失误。,C,导数的应用三、函数的最值.,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最

7、小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,一、是利用函数单调性性； 二、是利用不等式中的均值 定理； 三、是利用导数,思考：,求函数最值的一般方法：,当然还有配方法,判别式法,换元法,数形结合法等,例题1：,求下列函数的最值: (1)f(x)=x3-3x2+6x-2, x-1, 1.,解: (1)f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2),=3(x-1)2+10 恒成立,f(x) 在 -1, 1 上单调递增.,f(x)min=f(-1)=-12,f(x)max=f(1)=2.,(2)y=x4-2x2+5 ,x-2 , 2 ,(2) y=x4-2x2+5, x-2 , 2 ,13,13,当

8、x变化时，y 、 y的变化情况如下表：,故函数的最大值为13,最小值为4.,例2:已知函数f(x) =ax3+bx23x在x=1处取得 极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调性; (2)若x0,3,求f(x)的最值.,解：（1）f(x)=3ax2+2bx3， 依题意， f(-1)= f(1)= 0，即 解得a=1，b=0 f（x）=x33x， f(x)=3x23=3（x+1)(x-1) 令f(x)0，则x（，1）或（1，+）， 故f（x）在（，1） ,（1，+）上是增函数， 令f(x)0，则x（1，1）， 故f（x）在（1，1）上是减函数,例2:已知函数f(x) =ax3+bx23x在x

9、=1处取得 极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调性; (2)若x0,3,求f(x)的最值.,解:(2)f(x) =x33x f(x)=3x23=3（x+1)(x-1) 令f(x)=0,解得x1=-1(舍),x2=1 f(0)=-3, f(1)=0 ,f(3)=24 f(0)=-3为函数f（x）在0,3上的最小值. f(3)=24为函数f（x）在0,3上的最大值. f(x)max=24, f(x)min=-3,说明：对于闭区间a,b上的连续函数,如果在相应开区间(a,b)内可导,求a,b上最值可简化过程,即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）

10、值,练习：,已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在点 x=1 处有极小值 -1, 试确定 a, b 的值, 并求出 f(x) 的单调区间.,解: 由已知可得: -1=f(1)=1-3a+2b,即 3a-2b=2. ,又 f(x)=3x2-6ax+2b,0=f(1)=3-6a+2b,即 6a-2b=3. ,f(x)=3x2-2x-1.,归纳总结：,应用一:函数的单调性(求函数的单调区间时,首先确定函数的定义域 ) 应用二:函数的极值(求极值时应采用列表的方法) 应用三:函数的最大值与最小值(要注意极值和最值的区别),本节课主要复习了导数哪几方面应用,作业:新课程新一轮第65课课堂卷,练习:(2005年高考北京卷) 已知函数,（）求f(x)的单调减区间；,（）若f(x)在区间2，2上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值与极值.,练习:(2005年高考北京卷) 已知函数,（）求f(x)的单调减区间；,（）若f(x)在区间2，2上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值与极值.,解:（I）,令,解得,所以函数f(x)的单调递减区间为,（）若f(x)在区间2，2.上的最大值为20， 求它