经济应用数学-可逆矩阵

1、9.4 可逆矩阵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称A为可逆矩阵，B 为A的,在数的运算中，除法可以看成是乘法的逆运算，,有,矩阵乘法中单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，,那么，对于n阶方阵A，,如果存在一个n阶矩阵B,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,概念的引入,上式说明，只要定义了数的倒数 ，除法可以通过乘法来实现。,若记,则数的倒数由下式唯一确定，,可以把这种通过倒数来实施除法的思想延拓到矩阵中来哦,逆矩阵.,逆矩阵相当于数中的倒数哦 _,例 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,逆矩阵的定义,数的倒数是唯一的，那矩阵的逆矩阵是不是唯一的呀,若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵

2、B是唯一的，并记B=A-1.,若 和 都是 的逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个数只有不为零的时候才有倒数，那么一个方阵什么时候才有逆矩阵呀?,证明：,定理1 方阵 可逆的充要条件是,A可逆，则有矩阵B使得,两边取行列式有,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引进,其中Aij为行列式|A|=|aij|n中元素aij的代数余子式，,称A*为矩阵A的伴随矩阵.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,0,.,0,0,.,0,0,.,0,所以,同理,按可逆矩阵的定义得A可逆，且,证毕, A是可逆矩阵,机动

3、目录 上页 下页 返回 结束,例: 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,，A为可逆矩阵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用伴随矩阵求逆矩阵，对二阶矩阵非常方便，但对三阶以上的矩阵就麻烦了,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用逆矩阵，还可以用来求解矩阵方程：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一定得注意左乘还是右乘 哦,得到,矩阵方程的解为,由矩阵方程XA=B可知，若矩阵A可逆，则在方程两边左乘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 ：解矩阵方程 XA=B，其中,解：,得到,矩阵方程的解为,由矩阵方程XA=B可知，若矩阵A可逆，则在方程两边右乘,并且,机动 目录 上页 下页 返

4、回 结束,例 设,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,左边合并同类项,右边分解因式,因,这样的矩阵方程一般是先化简，再代入求解哦,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,例：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,满足关系,设三阶矩阵,B,A，,推论,证明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重要推论,则A可逆，,该推论的优点是一个条件两个结论，从而要证A可逆且求A-1,只要找一个矩阵B使得ABE 即可。,若n阶方阵A，B满足,且B可逆，,A是可逆矩阵，,同样可以证明B是可逆矩阵，且B1=A.,证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,逆矩阵的运算性质,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,证明：,两边同时左乘A-1，则有,则有,则有,证明：,两边同时左乘A-1，则有,则有,可以去掉可逆这个条