2019年高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案

1、2019年*一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：4020：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1已知M ，且，设，则 （ ） A. M B. N C. P D.2.函数是（ ）A是偶函数但不是奇函数B是奇函数但不是偶函数C既是奇函数又是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m2(cos25)m4sin20恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. 0m4B. 1m4C. m4或x0D. m1或m04.在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是（ ）A.1B.C.C.25. 设 , 那么 的最小值是A. 2 B. 3 C. 4

2、 D. 56设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8函数的最大值与最小值之差等于 。9.设函数满足，且对任意的，都有，则。10.正方体的六个面所在平面把空间分成 部分11已知数列的前n项和，某三角形三边之比为，则该三角形最大角的大小是 .12.已知的最小值等于 13.设，则 14.已知a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：a； aab；. ab其中正确的命题是 (将正确命题的序号都填上)15、已知数列满

3、足关系式且，则 16.在平面直角坐标系内，有四个定点，及一个动点，则的最小值为 三、解答题（本大题共3小题，每题的解答均要求有推理过程，17小题13分,18小题13分,19题14分，满分40分）17（本题满分16分）已知向量，且.（1）求及；（2）求函数-的最小值。18已知数列中各项为：个个 12、1122、111222、 、 （）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （）求这个数列前n项之和Sn . 19设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足 ，求的值答案1已知M=，且，设，则 （ B ） A. M B. N C. P D. 2.函数是（ A ）A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数

4、但不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数3已知不等式m2(cos25)m4sin20恒成立，则实数m的取值范围是 CA. 0m4B. 1m4C. m4或x0D. m1或m04在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是A. 1B. C. C. 2解：由得，即，由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知，且，从而，5. 设 , 那么 的最小值是答: C A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解：由 , 可知,所以， . 故选 C6设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 （ C ）A. B. C. D. 解 设的公比为，则，而 因此，只需求的取值范围因成等比数列，最大边只能是或

5、，因此要构成三角形的三边，必需且只需且即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为: 8函数的最大值与最小值之差等于。解：，从而当时取最大值当时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于9、设函数满足，且对任意的，都有=，则。9、解：=即10正方体的六个面所在平面把空间分成 27 部分11已知数列的前n项和，某三角形三边之比为，则该三角形最大角的大小是 .12已知的最小值等于-2500-）13、设，则 解析.作图比较容易得到。14已知a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：a； aab；. ab其中

6、正确的命题是_(将正确命题的序号都填上)解析中a、b的位置可能相交、平行、异面；中、的位置可能相交答案15、已知数列满足关系式且，则 _、解：设即故数列是公比为2的等比数列，。16在平面直角坐标系内，有四个定点，及一个动点，则的最小值为_【解答】 如图，设与交于点，则，因此，当动点与点重合时，取到最小值17（本题满分16分）已知向量，且.（1）求及；（2）求函数-的最小值。17.解(1) 5分 10分(2)由(1) 得设,则当时,不合题意;当时,解得或(舍);当时,3,解得(舍);综上所述,当时的最小值为. 16分18（本小题满分20分）已知数列中各项为：个个 12、1122、111222、 、 （）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （）求这个数列前n项之和Sn . 18.解：（） 个记：A = , 则