第四章振动和波PPT

1、1,第四章 振动和波, 4.1 简谐振动,4.3 阻尼振动 受迫振动 共振,4.2 简谐振动的合成,4.4 机械波,4.5 波的衍射和干涉,4.6 多普勒效应,2,振动可分为机械振动和电磁振动（电磁振荡）两大类。 一、机械振动：物体在某个位置附近来回往复的运动叫做机械振动。 波（波动）是振动状态的传播过程。 二、机械波：机械 振动在媒质中的传播形成机械波,3,物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动,实例:,心脏的跳动， 钟摆，乐器， 地震等,1 机械振动, 4.1 简谐振动,一 简谐振动的特征及其表达式,4,简谐运动 最简单、最基本的振动,谐振子 作简谐运动的物体,2 简谐振动,5,

2、弹簧振子的振动,6,振动的成因：,回复力+惯性,7,令,3 弹簧振子的运动分析,得,即,简谐运动的特征：加速度 与位移的大小x成正比，方向相反,8,令,3 弹簧振子的运动分析,得,即,简谐运动的特征：加速度 与位移的大小x成正比，方向相反,9,解方程,设初始条件为:,解得,其确定通解的积分常数。,10,由,得,其中,11,简谐运动方程,1 振幅,-表示振动在空间的限度或更一般地讲振动中物理量出现的最大值（质点离平衡位置 的最大值）,二 简谐振动的特征量,12,2 周期、频率,弹簧振子周期,周期,13,频率,圆频率（角频率）,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关,14,频率为,例如，心脏的跳

3、动80次/分,周期为,动物的心跳频率(参考值,单位:Hz),15,昆虫翅膀振动的频率（Hz）,雌性蚊子 355415 雄性蚊子 455600 苍 蝇 330 黄 蜂 220,16,相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态. 物体经一周期的振动，相位改变,3 相位和初相,相 位,初相位,17,三 常数 和 的确定,对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.,18,已知,求,取,19,（2）一谐振动状态决定其振幅A、频率（或T或）初相。这三者称为振动三要素。,理解注意：,（1）周期、圆频率都是决定系统本身的物理量， 称为固有周期、固有频率。,20,（3）在比较同频率的谐

4、振动时，往往用到相位差的概念。,振动“2”超前“1”,振动“2”落后“1”,振动“1”和振动“2”同相；,规定：,21,图,图,图,取,位移、速度、加速度的相位关系,22,例：如图为物体作简谐振动时的xt曲线，已知振幅为0.1m,周期0.5s。求初相位和简谐振动的运动方程。,解：分析，从图可知,t=0 时：,设振动方程为,23,以t=0代入：,由,所以,由题意知,所以振动方程为,设振动方程为,所以,24,例：一弹簧振子，重物的质量为m，弹簧的劲度系数为k，该振子作振幅为A的简谐振动当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时则其振动方程为：, 2 ,25,1、角速度 物体在转动时，角位移

5、与所经历的时间的比值 叫做角速度，即 =/t。在国际单位制中，它的单位是弧度/秒。当所取时间t较长时，这一比值是平均角速度；当所取时间t0时，这一比值的极限就是即时角速度。,角速度是描述物体转动的快慢物理量。一般不考虑角速度的方向性，而将它作为标量来处理。绕固定转轴转动的物体，任意点的角速度和线速度v的关系为v= r。如果物体每秒转动周数为n或者它转动一周所需时间为t，则有 = 2n =2/t 。,26,2、角频率 在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示，频率的2倍叫角频率，即 =2f。在国际单位制中，角频率的单位也是弧度/秒。频率是描述物体振动快慢的物理量，所以角频率

6、也是描述物体振动快慢的物理量。频率、角频率和周期的关系为 = 2f = 2/t。在简谐振动中，角频率与振动物体间的速度 v 的关系为v =Asin( t + )。,27,若以一质点作匀速圆周运动和一个弹簧振子作简谐振动， 比较角速度 与角频率的异同,28,附：二阶常系数微分方程的解,其特征方程为,解之,于是方程的通解为,29,四 简谐振动的旋转矢量表示法,问题：若图中振动质点的振动周期为T,则 质点从A点到B的最短时间为多少？,30,旋转矢量,自Ox轴的原点O作一矢量 ，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量 在 Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度 与振动的角频率相等，这个矢量就

7、叫做旋转矢量.,31,以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.,32,以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.,33,速率,在ox方向的投影：,在ox方向的投影：,向心加速度,各象限的速度 方向很好确定。,34,用旋转矢量图画简谐运动的 图,反相,35,相位差：表示两个相位之差,（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间,36,37,（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.,38,39,例：一简谐振动曲线如图所示则振动周期是 (A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (

8、D) 2.00 s,答案： B ,40,例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求,（1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；,41,代入,解,已知,求（1）,42,代入上式得,可求（1）,43,（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需要的最短时间.,法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所需要的最短时间为t,44,45,法二,起始时刻,时刻,46,时,动力学分析：,A,Q,五 单摆的振动,即：单摆在摆动角度很小时，其作简谐运动。,O,s,47,由,它的角频率为,它

9、的振动周期为,48,3 简谐运动的方程和特征,（2）简谐运动的动力学方程,（1）物体受线性回复力作用 平衡位置,（3）简谐运动的运动学方程,（4）加速度与位移成正比而方向相反,49,1、谐振动的能量,在简谐振动过程中，由于回复力作功，必然伴随着能量形式的转化。简谐振动系统的能量，包括动能和势能两部分。以弹簧振子为例。,六 简谐振动的能量,50,（1） 动能,(以弹簧振子为例),O x X,51,（2） 势能,线性回复力是保守力。,O x X,（3） 机械能,振动过程机械能守恒说明了什么？,52,简 谐 运 动 能 量 图,53,54,解之得：,结合初始条件可求出运动方程.,55,例 质量为 的

10、物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：,（1）振动的周期；,（2）通过平衡位置的动能；,（3）总能量；,（4）物体在何处其动能和势能相等？,56,（2）,解（1）,已知,；(2),求:(1),57,由,总能量E；,(4)何处动势能相等?,求:(3),已知,58,一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（） (A）1/2 (B）11/16 (C）13/16 (D）15/16,解,59,当质点以频率 作简谐振动时，它的动能的变化率为,(A),(B),(C),(D),解,60,一 两个同方向同频率简谐运动的合成,设一质点同时参与两独立的同方向

11、、同频率的简谐振动：,两振动的位相差 =常数, 4.2 简谐振动的合成,61, 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位,合振幅,62,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动, 几何方法,63,（1）相位差,同方向,特殊情况,64,（2）相位差,反方向,65,（3）一般情况,加强,减弱,小结,（1）相位差,（2）相位差,（4）合振动的初相与振幅较大的分振动相同。,66,二 两个同方向不同频率简谐运动的合成,67,频率较大但频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,讨论 , 的合成情况,假设两振动的振幅相等。,

12、68,69,即：合振幅变化的周期为,具体应用放在后面的章节学习。,70,例题 一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其运动方程分别为：,画出两运动的旋转矢量图，并求合运动的运动方程,71,x/cm,o,5,解,72,三 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成,质点运动轨迹,（椭圆方程）,73,附：运动方程的推导,设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即,74,75,（1） 或,（2）,76,（3）,77,垂直方向、不同频率简谐振动的合成,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线， 即合成运动不是周期性的运动。,(1) 视为同频率的合成，不 过两个振动的相位差在缓慢地变化， 所以质点运

13、动的轨道将不断地从下图 所示图形依次的循环变化。,当 时是顺时针转； 时是逆时针转。,下面就两种情况讨论,78,79,(2) 如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。,用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：,在示波器上，垂直方向与水平方向同时 输入两个振动，已知其中一个频率，则可根 据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较， 就可得知另一个未知的频率。,80,用旋转矢量描绘振动合成图,81,实验中很难得到稳定的利萨如图形，而只能得到 重复变化的某一组利萨如图形。为什么？,因为所用两个信号的位相差是变化的，而不是固定的。,实

14、验中发现李萨如图形与理论预期情况有一定差别， 比如本来应该是椭圆，但不是很规则的椭圆。为什么？,因为小变压器输出的电信号不是非常规则的正弦波。,82,一、 阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。, 4.3 阻尼振动 受迫振动 共振,83,阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）,振子动力学方程,振子受阻力,系统固有角频率,阻尼系数,弱介质阻力是指振子运动速度较低时， 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比,阻力系数,84,弱阻

15、尼,每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。,阻尼振动的振幅按指数衰减,阻尼振动的准周期,85,临界阻尼,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来,过阻尼,系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置,86,二、 受迫振动,受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程,令,周期性外力策动力,87,稳定解,(2)振幅:,(3)初相:,特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,(1)频率: 等于策动力的频率,88,三、共振,在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。,1、位移共振,(1)共振频率 :,(2)共振振

16、幅 :,89,2、速度共振,一定条件下, 速度振幅极大的现象。,速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。,90,波动是一切微观粒子的属性， 与微观粒子对应的波称为物质波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。,机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波, 4.4 机械波,91,振动和波动的关系：,机械波、电磁波、物质波,振动波动的成因,波动振动的传播,波动的种类：,4.4.1 波的基本概念,92,一 机械波的产生和传播,能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）,2 介质,作机械振动的物体（声带、乐器等）,1 波源,波是运动状态

17、的传播，介质的质点并不随波传播.,机械波产生的条件：,93,二 横波与纵波,1 横波,94,特点： 波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直,2 纵波（又称疏密波）,例如：弹簧波、 声波,95,纵波,特点：质点的振动方向与波传播方向一致,96,3 复杂波,（本章研究对象）,特点：波源及介质中各点均作简谐振动,特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成,例如：地震波,97,三 波线 波面 波前（用于波的几何描述）,不同波线上振动相位相同的点组成的面称为波面,1 波线,2 波面,沿波的传播方向画一些带有箭头的线。,3 波前（波阵面）,把某一时刻波动所到达的各点所连成的曲面叫做波前（最前面的波面）,4

18、波场 波传播到的空间。,98,平面波,球面波,四 球面波与平面波,99,性质,（3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.,（2）波阵面的推进即为波的传播.,（1）同一波阵面上各点振动状态相同.,100,五 描述波的特性的几个物理量,O,y,A,波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质点间的距离（一完整波的长度）.,1 波长,101,横波：相邻 波峰波峰 波谷 波谷,纵波：相邻 波疏波疏 波密波密,102,2 周期 T,波前进一波长的距离所需的时间（波的周期等于波源的振动周期）,3 频率,单位时间内波向前传播的完整波的数目. （1 内向前传播了几个波长）,103,决定于介质的性质（弹性模量和密度）,

19、振动状态（或相位）在介质中传播的速度,4 波速,104,四个物理量的联系,因此 ，固体内横波和纵波的传播速度分别为,G切变模量一般比杨氏模量要大,105,T为弦中张力，为弦的线密度,在弦中传播的横波波速为:,在液体和气体中只能传播纵波，其波速为：,K为介质的容变弹性模量 为密度,理想气体纵波声速:,为气体的摩尔热容比，M为气体的摩尔质量， T为热力学温度， R为气体的普适常数， 为气体的密度,106,物体的弹性形变,弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。,(1)长变,在弹性限度范围内，应力与应变成正比,107,(2) 切变,

20、相对面发生相对滑移,在弹性限度范围内，应力与应变成正比,108,(3) 容变,在弹性限度范围内， 压强的改变与容变应变的大小成正比,109,一 平面简谐波的波函数,设有一平面简谐波沿 轴正方向传播， 波速为 ，坐标原点 处质点的振动方程为,4.4.2 平面简谐波的波动方程,110,表示质点 在 时刻离开平衡位置的距离.,考察波线上 点(坐标 ), 点比 点的振动落后 , 点在 时刻的位移是 点在 时刻的位移，由此得,考察P点的 振动状态？,111,由于 为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为沿 轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.,即:

21、波函数实际上是波在传播过程中质点的振 动方程。则波动方程还可以有其他形式。,112,可得波动方程的几种不同形式：,利用,和,113,波函数,质点的振动速度，加速度,114,二 波函数的物理含义,（波具有时间的周期性）,则,令,1 一定， 变化,表示 点处质点的振动方程（ 的关系）,115,波线上各点的简谐运动图,116,则,2 一定 变化,该方程表示 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 时刻的波形（ 的关系）,117,方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播.,3 、 都变,118,如图，设 点振动方程为,点振动比 点超前了,4 沿 轴方向传播的波动方程,119,从形式

22、上看：波动是波形的传播.,从实质上看：波动是振动的传播.,对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握.,故 点的振动方程（实际是波动方程）为：,120,已知b点振动方程：,任一点a比b点晚振动,其波动表达式方程：,即：,若是左行波：,a点只不过比b点早振动一段时间：,其波动表达式方程：,121,例1 一平面简谐波沿 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 轴正向运动. 求：,(2) 波形图；,(3) 处质点的振动规律并作图.,(1)波动方程；,解 (1) 写出波动方程的标准式,122,(m),123,(2)求 波形图,(m),124,(3) 处质点的

23、振动规律并作图,处质点的振动方程,(m),125,解： 由图可知：,求得,126,设波动方程为,图中，o点：,求得,由下一瞬间o点处质点将向y轴正方向运动，则取,故波动方程为：,127,例3 一平面简谐波以速度 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程,求:,(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程；,(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；,(3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程,(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.,单位分别为m，s).,; (,128,(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程,(m),129,(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程,(m),130,(3)

24、写出传播方向上点C、D的运动方程,点C 的相位比点A 超前,(m),131,点 D 的相位落后于点 A,(m),132,(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差,A,B,C,D,5 m,9 m,8 m,133,1波动能量的传播,波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,有一平面简谐波,质量为,在x处取一体积元,质点的振动速度,4.4.3波的能量,体积元内媒质质点动能为,134,体积元内媒质质点的弹性势能为,该体积元所受的弹性力为,故体积元的弹性势能为,135,136,体积元内媒质质点的总能量为：,1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最

25、大，同时等于零。,说明,2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。,137,能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。,平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。,单位：,138,例4 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？,选择（ ）,D,(A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒.,(B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同.,(D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大.,(C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同.,139,能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。,2波的能流和能流密度,平均能流：

26、在一个周期内能流的平均值。,能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。,单位：,140,证明：在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变,在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等,所以,平面波振幅相等。,141,波 的 衍 射,水波的衍射,波在传播过程中遇到障碍物，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.,波的衍射,一 波的衍射 惠更斯原理,4.5 波的衍射和干涉,142,介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.,子波波源,波前,子波,惠更斯原理,143,二 波的叠加原理,波传播的独立

27、性：两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰.,波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成.,144,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,三 波的干涉,145,波频率相同，振动方向相同，相位差恒定,例 水波干涉 光波干涉,某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵消.,(2)干涉现象,满足干涉条件的波称相干波.,(1)干涉条件,146,波源振动,点P 的两个分振动,(3)干涉现象的定量讨论,147,定值,注意：公式中角标的顺序。,148,相位

28、差 决定了合振幅的大小.,讨 论,149,相位差,加强 减弱,150,将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，则有,151,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5 cm，频率皆为100 Hz，但当点 A 为波峰时，点B 恰为波谷.设波速为 ，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.,152,设 A 的相位较 B 超前,点P 合振幅,解,(m),15 m,20 m,A,B,P,153,例题 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。,解：如图所

29、示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取A点的振动方程 :,在X轴上A点发出的行波方程：,154,B点的振动方程 :,在X轴上B点发出的行波方程：,因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：,155,解得干涉相消的点需满足的条件：,因为：,156,一 驻波的产生,1 现象,五驻 波,157,2 条件 两列振幅相同的相干波相向传播,158,3 驻 波 的 形 成,159,二 驻波方程,正向,负向,160,驻波方程,讨论,(1)振幅 随 x 而异,与时间无关,161,当,为波节,( 的奇数倍),时,162,相邻波腹（节）间距,相邻波腹和波节间距,结论 有些点始终不振动,有些点始

30、终振幅最大.,x,y,波节,波腹,振幅包络图,163,x,y,波节,波腹,振幅包络图,结论 相邻两波节间各点振动相位相同,(2) 相位分布,164,结论 一波节两侧各点振动相位相反,x,y,165,且相位中没有x 坐标，故没有相位的传播驻波。,结论：,166,三 驻波的能量,A,B,C,波节,波腹,位移最大时,平衡位置时,167,驻波的能量,驻波振动中无位相传播，也无能量的传播，驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无能量的定向传播.,168,边界条件,驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生在两介质交界面上，在

31、交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性质.,波疏介质,波密介质,介质分类,169,波疏介质 波密介质,170,当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,四 相位跃变（半波损失）,171,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,波密介质 波疏介质,172,173,例：入图所示，为一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图，当波从波疏介质入射到波密介质表面 BC，在 P

32、 点反射时，反射波在 t 时刻波形图为：, A ,174,发射频率,接收频率,人耳听到的声音的频率与声源的频率一定相同吗？,4.6 多普勒效应,175,一 波源不动,观察者相对介质以 运动,176,观察者向波源运动,观察者远离波源运动,177,二 观察者不动,波源相对介质以 运动,178,此时相邻波阵面的距离为,179,波源远离观察者运动,180,观察者接收的频率,波源向观察者运动,波源远离观察者运动,181,公式归一：,其中：波源静止,观察者静止,二者相互靠近,二者相互远离,取正值代入,取负值代入。,注意：默认的前题：,182,若波源与观察者不沿二者连线运动,183,如果波源的速度等于波的速度，波源总在波阵 面上,这种现象称 为声障或 音障，飞机 冲破声障时 将发出巨大 声响，造成 燥声污染。,184,当 时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成冲击波或激波，如核爆炸、超音速飞行等.,三、冲击波（激波),185,1740年,罗宾斯进行实验时,炮弹的时速超过820英里.,即大于空气中的声波传播速度 (约每小时760英里),在实验中他发现牛顿的平方阻力公式只