连续型随机变量及密度函数.ppt

1、在上节我们研究了离散型随机变量，它取值是有限个或可 列个，这当然有很大的局限性，在许多随机现象中出现的一 些变量，如“测量某地气温”，“某型号显象管的寿命”，“某矿 石的含铜量”，等它们取值可以充满某一区间，由于取值不可 以一一列举，因此不可以象离散型那样写出分布列。因而我 们研究随机变量在任意区间的概率。因为,所以只须知道,x1,X,x2,2-3 连续型随机变量及其概率密度,1、分布函数的定义,定义 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F(x)=P(Xx)称为X的分布函数。, 对于任意x1 ,x2 , (x1x2)有 P(x1X x2) = P(X x2)P(X x1) = F(x2)F

2、(x1) 由于分布函数的引入,便可以运用数学分析的方法来研究 随机变量.,说明,一、随机变量的分布函数,2、分布函数的性质,（2） .(有界性) 0 F(x) 1， 且,（1）单调不减性 x1x2 , 则 F(x1) F(x2),（2）F(x) = P (Xx)，由概率性质 0 P(Xx) 1 所以 0 F(x) 1,（1） x1x2，F(x2)F(x1)= P(x1X x2)0 则 F(x1) F(x2),证明,例1.已知随机变量X的概率分布为 试求其分布函数,解,当x1时， F(x)=P(X x),解.,题目：已知随机变量X的概率分布为试求其分布函数,所以，F(x),当1x2 时， F(x

3、)=P(X x),当2x3 时， F(x)=P(X x),当x 3 时， F(x)=P(X x),=P()=0,=P(X=1)=0.2,=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5,=P()=1,解,解,课内练习 袋中有5个球, 编号为1,2,3,4,5 从中任取3球, 求3个球中最大号码X的概率分布和分布函数.,解,1,2,3,4,5,X=3，4，5,样本空间基本事件总数,同理“X=5”占有基本事件,球,二、连续型随机变量及其慨率密度,例1 一个半径为2米的圆靶，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击均能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。

4、,解,解 若x0, 则Xx是不可能事件，于是F(x)=P(X x)=0 若0 x 2,由题意P(0 Xx)=kx2, k待定 取x=2， P(0 X2)=4k 而事件0 X2是必然事件 P(0 X2)=1，所以4k=1，得k=1/4 即P(0 Xx)=x2/4 于是 F(x)=P(X x)=P(X0)+P(0 Xx)= x2/4 若X2，由题意Xx是必然事件 于是 F(x)=P(X x)=1,综合上述，即得X的分布函数为,它的图形是一条连续曲线，如上右图所示,这说明F(x)恰好是非负可积函数f(x),在(，x)的积分，在这种情况下我们称X为连续型随机变量。 f(x)为X的概率密度。,1.定义,

5、2.性质:,证明,（1）由定义 f(x)0；,说明,X为连续型随机变量在任意x0处， 概率P(X=x0)=0,P(X=x0)=0,并不意味着事件X=x0是不可能事件。一般 概率为零的事件不一定是不可能事件，同样概率为1 的事 件也不一定是必然事件。,（2） X为连续型随机变量在任意x0处概率为零，故,解,（4）,解,解,(1)试确定常数A; (2)求X的分布函数F(x); (3)求概率 P(|X|1/2).,课内练习1 已知随机变量X的密度函数,解,二、几种常用的连续型随机变量的分布,1. 均匀分布,例4. X在区间a ,b 服从均匀分布.求 (1) X的分布函数F(x)； (2)作出F(x)

6、, f (x)的图形。,解,X的概率密度为,(1),(2),例5. (候车问题) 公共汽车站每隔10分有一辆公共汽车通过,乘客到公共汽车站的时间是等可能的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率 (假设公共汽车一来乘客必能上车)。,解,解 设刚开走的汽车是在 t0 时刻,于是下一部汽车将在t0+10 达到,又设乘客达到汽车站时间为X ,由题意X在t0 , t0+10 上是均匀分布的于是其概率密度,“候车不超过3分钟” 等价 “t0+7xt0+10”,2. 正态分布,定义 若随机变量X的概率密度为,（1）定义,(2) 图形,XN(,2) 密度函数, 图形关于x =对称。 X单调减，, X=时有最大值

7、M=, 固定,变小, 图形陡峭 变大, 图形平坦., 固定 ,增大图形往右平移，减小图形往左平移,XN(,2）,(3) 计算,.当XN (0,1),例如查表可得,(x),0.8643,.一般若XN (,2 ),XN ( 2 , 22 ) ，= 2，=2,例6 设XN ( 2 ,4 )，求X落在 3 ,1 区间上的概率P( 3X1)。,解,例7.设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(160,2), 欲使P(120X200)不小于0.8 , 允许最大为多少？,解,题目：设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(160,2), 欲使P(120X200)不小于0.8 , 允许最大为多少？,解,课内练习2 填空题,解,0.3,0.3,0.2,(4) 正态分布适用范围,正态分布是概率统计中最重要的分布，一方面，正态分布是 自然界最常见的一种分布，例如测量的误差，炮弹弹落点的分 布，电子管或半导体器件中热噪声电流和电压，人的生理特征 的尺寸：身高，体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸： 直径，长度，宽度，高度；都近似服从正态分布。一般说来 ，若影响某个数量指标的随机因素很多，而每个因