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文档简介
1、,重庆大学数理学院,数 值 分 析,第十讲,主讲教师： 谭 宏,4、3 牛顿法,1、公式的导出,利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 从而得出的迭代格式 ，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法。,设 xk是根 的近似值，则按泰勒公式,取前两项来近似代替 (称为f(x)的线性化)，得近似线性方程,设 ，令所得根的近似值为xk+1，得,（12）,这就是牛顿公式,相应的迭代函数为：,（13）,牛顿法是一种逐步线性化方法，其基本思想是：将非 线性方程 的求根问题归结为计算一系列线性方程,牛顿法的几何意义如下图,x*,x0,x1,x2,故牛顿法也称为切线法,例：,用牛顿法求
2、解方程,解：,设,则,迭代函数,故牛顿公式为,取,迭代结果如下：,可见，牛顿法比迭代法收敛速度快得多。,定理4：,牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。,证：,将,在根 处泰勒展开有：,则,因为,所以,即：,所以牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。,牛顿法的收敛性,定理3： 设f (x)在a, b上满足下列条件： （1）f (a) f (b) 0 则由（2.3）确定的牛顿迭代序列xk收敛于f (x) 在a, b上的唯一根x*。,证：,由条件（1）知：方程在（a，b）内有根,由条件（2）知：f(x)在a，b上单调，故根唯一,由条件（1）-（3）知：f(x)只可能是下列情况之一,讨论第一种情况，其余的类似,由于f(x)单调增，且f(a)0，由条件（4）知,所以：,且对任意,比有,于是：,而：,所以：,即：只要,则迭代序列总满足：,又：,所以迭代序列为一个单调增且有上界 的序列，它比有 极限。,设极限为,则：,即：,所以：,牛顿法对初始值 的依赖性很强，,开方公式,3、牛顿下山法,为防止迭代发散，可以对迭代过程再附加一个要求,满足这项要求的算
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