专题五 第一讲.ppt

1、专题五 立 体 几 何 第一讲 空间几何体的三视图、表面积 及体积,一、主干知识 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.,2.三视图: (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面;侧视图放在正视图的右面.,二、必记公式 1.表面积公式: 表面积=侧面积+底面积,其中 (1)多面体的表面积为各个面的_. (2)圆柱的表面积公式:S=_=_(其中,r为底 面半径,l为圆柱的高). (3)圆锥的表面

2、积公式:S=_=_(其中圆锥的底 面半径为r,母线长为l).,面积的和,2r2+2rl,2r(r+l),r2+rl,r(r+l),(4)圆台的表面积公式:S= _(其中圆台的上、 下底面半径分别为r和r,母线长为l). (5)球的表面积公式:S=_(其中球的半径为R). 2.体积公式： (1)V柱=_. (2)V锥=_. (3)V球=_.,(r2+r2+rl+rl),4R2,Sh,1.(2013山东高考)一个四棱锥的侧棱长都 相等，底面是正方形，其正视图如图所示， 该四棱锥侧面积和体积分别是( ) 【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2， 侧面积需要计算侧面三角形的高,2.(

3、2013宁波模拟)一个正三棱柱的侧棱长 和底面边长相等，体积为 它的三视图中 的俯视图如图所示.侧视图是一个矩形.则这 个矩形的面积是( ),【解析】选B.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 设高为x，所以 侧视图的矩形长为2， 宽为 矩形的面积为 故选B.,3.(2012浙江高考)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所 示，则该三棱锥的体积等于_cm3. 【解析】三棱锥的体积为： 答案：1,4.(2013辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_.,【解析】圆柱的底面半径为2，母线长为4，其体积V1=Sh=224=16; 被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长为4的

4、长方体，其体积V2=224=16. 故该几何体的体积是V=V1V2=1616. 答案：1616,热点考向 1 三视图的确认与应用 【典例1】(1)(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ),(2)(2013新课标全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐 标系O -xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0, 0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得 到正视图可以为( ),【解题探究】 (1)解答本题的切入点是什么? 提示:解答本题的切入点是从俯视图入手. (2)解答本题的思考顺序是什么? 提示:首先在空间直

5、角坐标系中画出该四面体,然后从投影面入手,分析正视图的各种情况.,【解析】(1)选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致,并且俯视图是两个圆,可知只有选项D适合,故选D. (2)选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A中的图.,【方法总结】有关空间几何体的三视图问题的求解关键 (1)形状的确定:三视图与空间几何体的相互转化是解决这类问题的常用方法. (2)大小的确定:根据三视图的大小可确定几何体的大小,由几何体的大小也可求出三视图的大小.,【变式训练】某几何体的正视图和侧视图均如图所

6、示,则该几何体的俯视图不可能是( ),【解析】选D.由三视图的定义及“正视图、俯视图等长,侧视图、俯视图等宽”,且本题正视图与侧视图相同,可知选D.,热点考向 2 几何体的表面积与体积的计算 【典例2】(1)(2013临沂模拟)某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( ) A.92+14B.82+14 C.92+24D.82+24,(2)(2013浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm3.,【解题探究】 (1)几何体的形状是什么? 提示:几何体的下半部分是长方体,上半部分是圆柱的一半. 几何体的表面积是长方体与半个圆柱

7、表面积的和吗? 提示:不是,不包含长方体与半个圆柱互相重合的面.,(2)求几何体体积的两个步骤: 根据三视图想像几何体的直观图: 几何体的形状是_. 计算体积:用直三棱柱的体积减去三棱锥的体积.,直三棱柱截去一个三棱锥,【解析】(1)选A.由几何体的三视图, 知该几何体的下半部分是长方体,上 半部分是半径为2,高为5的圆柱的一 半.长方体中EH=4,HG=4,GK=5,所以 长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(44+45)+45=92.半圆柱的两个底的面积为22=4,半圆柱的侧面积为25=10,所以整个组合体的表面积为92+4+10=92+14,选A.,(2)由三视图可知该几何体如图所示，

8、所以 答案：24,【互动探究】若题(1)条件不变,试求该几何体的体积. 【解析】由题(1)解析可知半圆柱体积为: 225=10. 长方体的体积为:445=80, 所以该几何体的体积为:80+10.,【方法总结】 1.求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.,2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1)根据给出的三视图判断该几何体的

9、形状. (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量. (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.,【变式备选】(2013北京模拟)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( ),【解析】选B.由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为 2，底面三角形的高为3，底边长为4，所以底面积为 所以该几何体的体积为,热点考向 3 多面体与球的切、接问题 【典例3】(1)(2013大连模拟)已知正三棱锥P-ABC，点P，A， B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直， 则球心到截面ABC的距离为_. (2)(2013温州模拟)高为 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为 1的正方形

10、，点S,A,B,C,D均在半径为1的同一球面上，则底面 ABCD的中心与顶点S之间的距离为_.,【解题探究】 (1)球心到截面ABC的距离求解思路： 点P在底面ABC上的射影就是正三角形ABC的_，设正三 角形ABC的中心为M,边长为a,则AM=_,三棱锥的高h=_; 设球心为O,则球心到底面的距离即为_,OM用h可表示为 _,在RtOAM中用勾股定理可求a的值.,中心,OM,(2)设四棱锥S-ABCD的外接球球心为E，AC交BD于点O，四棱锥 的高为SH,过E作EMSH于M点. 可求EO的长度为_.SM的长度为_. EM的长度为_.OS的长度为_.,【解析】(1)由于PA,PB,PC两两垂直

11、，则点P在底面ABC上的射 影就是正三角形ABC的中心M，设正三角形ABC的边长为a，则正 三棱锥的侧棱长为 设正三棱锥的高为h， 在RtPAM中，由勾股定理得 PA2=PM2+AM2,再设球心为O，则OM底面ABC，且 在RtOAM中，由勾股定理得OA2=OM2+AM2 又 则解得 或a=0(舍去)， 故球心到截面ABC的距离为 答案：,(2)如图，设四棱锥S-ABCD的外接球球心为E，则OE平面ABCD.在RtEOC中，EC=1， 所以 因为四棱锥S-ABCD的高SH= 所以EO SH. 过E作EMSH交SH于M，则 在RtSEM中，ES=1，则 所以 所以 答案：,【方法总结】多面体与球

12、接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.,(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a,PB=b,PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2=a2+b2+c2求解.,【变式训练】(2013三亚模拟)设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面

13、积为 ( ),【解析】选.设球心为O，正三棱柱上底面为ABC，中心为 O，因为三棱柱所有棱的长都为a，则可知 又由球的相关性质可知，球的半径 所以球的表面积为 故选.,【典例】(1)(2012新课标全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为( ),(2)两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为( ),【解析】(1)选A.方法一：因为SC是球O的直径， 所以C

14、AS=CBS=90. 因为BA=BC=AC=1,SC=2, 所以 取AB的中点为D，显然ABCD，ABSD， 所以AB平面CDS.,在CDS中， 利用余弦定理可得 故 所以 所以,方法二：ABC的外接圆的半径 点O到平面ABC的距离 SC为球O的直径点S到平面ABC的距离为 此棱锥的体积为,(2)选A.设球O1,O2的半径分别为r1,r2，由题意知|O1A|+|O1O2|+|O2C1|= 而 所以 所以 从而S1+S2=4r12+4r22=4(r12+r22),【方法总结】利用转化与化归思想解决多面体与球的接、切问题 (1)多面体与球接、切问题，直接过球心及多面体的特殊点作截面，转化为多个多面

15、体或平面图形的接、切问题求解. (2)多面体与球接、切问题，可转化为特殊的多面体(如长方体、正方体等)与球的接、切，再转化为平面图形的接、切问题求解.,转化与化归思想 求空间几何体的体积 【思想诠释】 1.主要类型：(1)等体积转化法，如求三棱锥的体积，可转换顶点求解. (2)不规则几何体的体积的求解. 2.解题思路：常结合所给几何体的结构特征及条件，通过割、补、转化等方法求解.,3.注意事项：(1)割、补法是把不规则几何体转化为可求体积的几何体的常用方法.(2)等体积转化法适合于三棱锥.,【典例】 (2013台州模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,

16、B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.,【审题】分析信息，形成思路 切入点:转换三棱锥的顶点,使三棱锥的高与底面积易求. 关注点:一般是把三棱锥的底面放在几何体的一个面上.,【解题】规范步骤，水到渠成 DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半， 三棱锥F-DED1 的高即为正方体的棱长， 所以 答案：,【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移 1.(2012江苏高考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm, AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为cm3.,【解析】由题意知，四边形ABCD为正方形，连接AC,交BD于O， 则ACBD.由面面垂直的性质定理，可证AO平面BB1D1D.易求 四棱锥底面BB1D1D的面积为 从而 答案：6,2.(2012天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位