关于二项展开式系数最大项的探究

1、. . 关于二项展开式系数最大项的探究关于二项展开式系数最大项的探究 目目 录录 摘 要 .15 ABSTRACT .16 引 言 .17 第一章 特殊二项式和两个特殊的方程 .18 1.1 二项式简介.18 1.2 求解二项展开式中系数最大项.18 1.3 两个特殊的方程.21 第二章 一般二项式和两个特殊的方程 .22 2.1 求解一般二项展开式中系数最大的项.22 2.2 与两个特殊方程对应的二项式命题.24 第三章 规范二项式与标准二项式 .25 3.1 求与两个特殊方程对应的二项式命题.25 3.2 和两个特殊方程对应的二项式 .26 3.3 规范二项式与标准二项式的区别与联系 .2

2、7 结束语 .28 致 谢 .29 参考文献 .30 . . 引引 言言 二项式知识点本身较为简单，但在数列、排列、组合的研究中有重要作用。 特别是二项式定理，更是二项式的精华，更巧合的是二项展开式的二项式系数 竟然与杨辉三角如出一辙，英国科学家牛顿，德国数学家高斯对二项式体系的 形成具有重要贡献。二项式定理的应用较为广泛，求二项展开式中系数最大的 项就是其中之一。 本文所研究的内容也源于对二项式的研究，主要研究二项展开式与方程之 间的联系。 到目前为止，对二项式的研究已经形成了一个理论体系，特别是在数列， 排列组合，分布的研究方面，二项式起到了重要的作用。而本文的发现（方程 的标准二项式，规

3、范二项式）则使得二项式的理论体系更加的完备。 本论文主要采用猜想和理论论证的方法对问题进行研究，预期成果是希望 发现的理论为公众所认可，甚至写入教科书。 国内外对二项式的研究主要集中在理论方面的研究，早在 13 世纪阿拉伯人 已经知道两项和的N次方的展开结果，1713 年,BERNOULLI证明了二项式定理, 1665 年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。但是牛顿 未能给出证明。直到 1811 年，高斯对此进行了严格的证明。至此，二项式理论 体系已近于完备，后来的理论研究大多都围绕二项式定理，二项分布而展开。 在实际应用方面，有关二项式应用的研究则相对较少，其中二项式期权定

4、价模 型就是二项式最重要的应用之一，随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式 期权定价模型的分布函数就越来越趋于正态分布，其优点是简化了期权定价的 计算并增加了直观性，因此现在已经成为全世界各大证券交易所的主要定价标 准之一。 介于二项式的理论发展近于完备，其发展趋势必然会朝着实际应用方面发 展，只有将理论与实际联系起来，理论知识才有可能有新的发展。 . . 第一章第一章 特殊二项式和两个特殊的方程特殊二项式和两个特殊的方程 1.11.1 二项式简介二项式简介 在初等代数中，二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和。二项式 是仅次于单项式的最简单多项式,二项式定理实际上是初中学习的多项式乘法的

5、 继续,是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,与概率理论中的二项分布 有其内在联系,是学习概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识,二项式系 数都是一些特殊的组合数,。众所周知，二项式定理是高中数学中的一个较为重 要的知识点，那么二项式定理是怎样被发现的呢？通过探索,13 世纪阿拉伯人 已经知道两项和的 n 次方的展开结果： 0 1 222 33224 554322345 ()1 () ()2 ()33 ()510105 . ab abab abaabb abaa babb abaa ba ba babb 为了便于研究其中的规律, 1544 年德国数学家 Stifel 把公式中字母的系 数

6、提取出来,称为二项式系数。他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和。用公 式表示为: 1 1 kkk nnn CCC 这个结果，中国数学家杨辉早在 13 世纪就发现了。 1654 年法国数学家 Pascal 发现二项式系数的规律,即通项公式: k knnnn knk n F k n 321 ) 1()2)(1( )!( ! ! 1713 年,荷兰数学家 Bernoulli 对上面的公式给出了证明。于是便得出高 中课本上的二项式定理：一般地，对于有： Nn 01122211 ()n nnnrn rrnnnn nnnnnn abC aC abC abC abCabC b 1665 年牛顿大胆的猜想：二

7、项式定理对于任意有理指数都是正确的。但是 牛顿未能给出证明。直到 1811 年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿 的猜想是正确的。 1.21.2 求解二项展开式中系数最大项求解二项展开式中系数最大项 常见的求二项展开式中系数最大项的题型主要有以下两类（例 1，例 2） 。 例 1，求二项式展开式中系数最大的项。 20 1 2 x . . 解：二项展开式的通项为，不妨令二项展开式中的第 20 120 1 2 r rr r TC x 项系数最大。1r 则： 1 1 2020 1 1 2020 11 22 11 22 rr rr rr rr CC CC 由第一个不等式得：7r 由第二个不等式得

8、：6r 故展开式中第 7 项和第 8 项得系数最大。 例 2，求二项式展开式中系数最大的项。 20 1 2 x 解：二项展开式的通项为，故二项展开式中系数最大的项 20 120 1 2 r rr r TC x 只可能出现在奇数项中。 则： 2 1 2020 2 1 2020 11 22 11 22 rr rr rr rr CC CC 且 r为偶数 由第一个不等式得： 2 20!120!1 ! 20! 22 ! 22! 2 rr rrrr 即： 2 3394620rr 由此我们可以得到方程的判别式 2 339462 0rr 2 1 394 3 462 7065 故: 11 3939 66 r 即

9、： 20.57.5r 由第二个不等式得： . . 2 20!120!1 ! 20! 22 ! 18! 2 rr rrrr 即： 2 3513720rr 由此我们可以得到方程的判别式0372513 2 rr 2 2 514 3 372 7065 故 22 5151 66 rr 或 即 22.55.5rr 或 所以，即二项式展开式中第七项的系数最大。6r 20 1 2 x 思考：通过 2 的解答过程我们可以看到：一元二次方程 与方程的表达式不同，但两者的判别式却相 2 339462 0rr 2 3513720rr 同，会不会是巧合呢？我们注意到例 2 中二项式的指数是偶数 20，下面我们来 讨论当

10、指数是某一奇数(不妨取 19)时，又会不会出现这样的两个方程呢？ 例 3，求二项式展开式中系数最大的项。 19 1 2 x 解：二项展开式的通项为，故二项展开式中系数最大的项 19 119 1 2 r rr r TC x 只可能出现在奇数项中。 则： 2 2 1919 2 2 1919 11 22 11 22 rr rr rr rr CC CC 且 r为偶数 由第一个不等式得： 2 19!119!1 ! 19! 22 ! 21! 2 rr rrrr 即： . . 2 3374200rr 由此我们可以得到方程的判别式 2 3374200rr 2 1 374 3 420 6049 由第二个不等式得

11、： 2 19!119!1 ! 19! 22 ! 17! 2 rr rrrr 即： 2 3493340rr 此我们可以得到方程的判别式 2 3493340rr 2 2 494 3 334 6049 既得 。 12 通过例 2、例 3 我们可以看到二项式的指数是 20、19 的时候，我们在求解 过程中得到的两组方程虽然每组中的一元二次方程的表达式不同，但每组中两 个方程的判别式都相同。显然这不仅仅是巧合这么简单。 1.31.3 两个特殊的方程两个特殊的方程 通过例 2，例 3 我们可以发现 2 2 339462 0 351372 0 rr rr 2 2 337420 0 349334 0 rr r

12、r 是两组特殊的方程，这是当指数为 20,19 时我们找到的，那么对于任意的 指数我们是否还能找到这样的两个一元二次方程呢？其实，只要二项式的指n 数是大于或者等于 4 的整数，我们都可以找到这样的两个表达式不同，但却有 相同判别式的一元二次方程。这就是我们下一章要讲的内容。 第二章第二章 一般二项式和两个特殊的方程一般二项式和两个特殊的方程 . . 2.12.1 求解一般二项展开式中系数最大的项求解一般二项展开式中系数最大的项 例 1，求二项式展开式中系数最大的项。 1 ,4 2 n xnZ n 解：二项展开式的通项为，故二项展开式中系数最大的项 1 1 2 r rn r rn TC x 只

13、可能出现在奇数项中。 则： 2 2 2 2 11 22 11 22 rr rr nn rr rr nn CC CC 且 r为偶数 由第一个不等式得： 2 !1!1 ! 22 !2! 2 rr nn rnrrnr 即： 22 321320rnrnn 我们可以得到方程的判别式 22 321320rnrnn 2 22 1 214 332163225nnnnn 由第二个不等式得： 2 !1!1 ! 22 !2! 2 rr nn rnrrnr 即： 22 321180rnrnn 由此我们可以得到方程的判别式 22 321180rnrnn 2 22 2 2114 383225nnnn 16n 既得： 。

14、12 思考：例 1 中我们对中，的猜想给 n axb,0,4,a bnnZ1a 1 2 b 出了证明，表明确实能找到两个表达是不同，但判别式相同的两个一元二次方 . . 程。那么对于一般情况，我们是否还能找到这样的两个方程呢？ 例 2，求二项式展开式中系数最大的项。 Znnbabax n , 4, 0, 解：二项展开式的通项为，故二项展开 1 ()() r rn rrn rrn x rnn TCaxbC abx 式中系数最大的项可能出现在奇数项中。 则： 222 222 rn rrrnrr nn rn rrrnrr nn C abCab C abCab 且 为偶数。r 由第一个不等式得： 22

15、 )!2()!2( ! )!( ! ! rrnrrn ba rnr n ba rnr n 即： 22222222 ()(32)(32)0ab rbnbarnnb 由此我们可以得到方程： 0)23()23()( 22222222 bnnranbbrba 的判别式 2222222 1 )23)(4)23(bnnbaanbb 422222224 284bbabnabana 由第二个不等式得： 22 )!2()!2( ! )!( ! ! rrnrrn ba rnr n ba rnr n 即： 2222222222 ()(32)(2)0ab ranbb ran bnb 由此我们可以得到方程： 0)2()

16、23()( 2222222222 nbbnarbnbarba 的判别式 )2)(4)23( 2222222222 2 nbbnababnba 422222224 284bbabnabana . . 既得 。 12 事实表明，对于一般情况，这样的两个特殊方程我们也能找到。 2 2. .2 2 与与两两个个特特殊殊方方程程对对应应的的二二项项式式命命题题 我们可以看到，下列方程组中： 2 2 ( ) 339462 0 ( ) 351372 0 fxxx g xxx 2 2 ( ) 3374200 ( ) 3493340 f xrr g xrr 22 22 ( ) 321320 ( ) 321180

17、 fxrnrnn g xrnrnn 22222222 22222222 22 ( ) ()(32)(32)0 ( ) ()(32)(2) 0 f xabrbnbarnnb g xabranbbran bnb 每组方程中的两个方程表达式不同，但均有相同的判别式。 思考：若两个方程有两个相同的判别式，是否一定有这样的一个二项式命 题与之对应呢？或者说，什么样的两个方程可以找到这样的一个二项式命题呢？ 显然，不是所有的具有相同判别式的两个方程都有这样一个二项式命题与 之对应，下面我们讨论什么样的，具有相同判别式的两个方程可以找到这样的 一个二项式命题。 第三章第三章 规范二项式与标准二项式规范二项式

18、与标准二项式 3.13.1 求与两个特殊方程对应的二项式命题求与两个特殊方程对应的二项式命题 令方程和方程具有相同的判 2 111 ( )0f xa xb xc 2 222 ( )0g xa xb xc . . 别式，由 3.1 节中例 2 的解题过程我们可以令： (1) 22 1 aab 222 1 23bnbba 22 1 (32)cnnb (2) 22 2 aab 222 2 32banbb 2222 2 2can bnb 由(1)得： 111 11 2()abc n ab 2 11 22 ab b n 22 2 1111 11 111 (23)4 22224 nabaa cb a na

19、bc 由(2)得： 222 22 2() 3 acb n ab 2 22 3 22 ba b n 22 2 222222 222 (21)4 221064 nabaa cb a nabc 由可知： 22 aa 211 4bab 由可知： 22 bb 211 4bab 由可知：nn 2111 42cabc 注：由上述解题过程可以看到，要找到这样一个二项式命题，那么， 1 a ，必须满足下列条件。 1 b 1 c 2 a 2 b 2 c 1，且；nZ4n 2，则： 22 0,0ab ； 11 0ab ； 22 11 11 111 4 0 224 aa cb abc ； 22 2222 222 4

20、0 1064 aa cb abc 。 22 30ba 3，nn 找出该二项式命题的一般步骤：对于方程。0)(, 0)(xgxf 1，判断4n是否相等，且大于或者等于的整数； 2，；是否等于是否等于判断 1112112 24,4cbacbab 3，的值；求ba, . . （1） 若；,na b为偶数，则取同号即可 （2） 若。,na b为奇数，则取同正即可 4，写命题。 例 1：若。372513)(, 0462393)( 22 xxxgxxxf 所对应的二项式命题。和求0)(0)(xgxf 解：由题意知： 121212 3,39,51,462,372aabbcc 显然 1112112 24,4c

21、bacbab 从而 20 )(2 11 111 1 ba cba n 20 3 )(2 22 222 2 ba cba n 故，为偶数。4 21 nnn且 4 22 ) 12( 22 )32( 22112 n ban n ban a 1 22 3 22 22112 n ab n ba b 从而1, 21, 2baba或者 故所求的二项式为,命题为：求二项式展开式中系数最 20 ) 12(x 20 ) 12(x 大的项。 3.23.2 和两个特殊方程对应的二项式和两个特殊方程对应的二项式 我们可以发现，在 1.2 中例 2 我们给出的二项式为，而在 3.1 中的 20 2 1） （ x 例题 1 中我们求出的却是。这是因为我们在 2.2 中例 2 的计算中将等 20 ) 12(x 式两边同时扩大了倍，其实我们也可以把命题 “求二项式展开式 20 2 20 ) 12(x 中系数最大的项”写为：“求二项式展开式中系数最大的项。 ”为了表 20 ) 2 1 ( x 达规范，我们把时满足条件的二项式称为方程的标准二1a0)(, 0)(xgxf 项式，把时满足条件的二项式称为方程的规范二项式。1a0)(, 0)(xgxf . . 3.33.3 规范二项式与标准二项式的区别与规范二项式与标准二项式的区别与联系联系 关于方程的规范二项式和标准二项式，我们有如下述：0)(, 0)(xgxf 1,方