正交群、幺模群和Euler转动.ppt

1、3.3 正交群、幺模群和Euler转动,一、正交群 一个转动可用三个实数表征：转轴的极面角和方位角，以及转角。可方便地用33正交矩阵R描述：不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程，这33正交矩阵的9个元素只有3个是独立的。 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，该群叫SO(3)群。这里S表示特殊，即只考虑了转动，而无反演；O表示正交，即RRT=1；而3表示空间维数。,SO(3)群的基本性质,所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素： 封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵 2.结合律： 这是矩阵代数的结果 3.有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1R

2、=R 4.有逆存在（对应于相反角度的转动）：,二、幺模群,对二分量旋量，可用一个22矩阵的作用来表征一个任意转动： U = 该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变的模。 幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺模矩阵的一般形式为： 且 U(a,b)的行列式显然为1 ，且是幺正的：,对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于: 幺模矩阵的集合所构成的群称为SU(2)群。 S：特殊，即模为1；U：幺正。 1）封闭性： 2）逆： 2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）：,SU(2)与SO(3)的关系,虽然SU(2)与SO(3)均表征转动，但非同构，即SU(2)与SO(3)不是一一对应的。其实，S

3、U(2)与SO(3)的对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2对应于-1，转4对应于1，但SO(3)中转2和4都对应于1，把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，则可认为SO(3) 与SU(2)局部同构。,三、Euler转动,三维空间的最一般转动也可用三个相继Euler转动表征： 1)将刚体绕z轴转角.空间坐标轴与刚体坐标轴在转动前是重合的,转动后刚体y轴变为y轴 2)使刚体绕y轴转角，刚体z轴变为z轴 3)使刚体绕z轴转角，y轴变为y轴。 用33正交矩阵描述这三个Euler转动，结果为:,y与y差角，绕y转角可等价为：先用Rz(-)将

4、y转回到y，然后绕y转角,再将y转回到y轴，即 上式左右两边对y轴效果自然相同，对zz(z)的操作也相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。 类似可证： 于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为： 即：,化关于刚体轴y、z的操作为关于空间固定轴的操作,对应Euler转动的转动算符,与正交矩阵的乘积对应，存在相应转动算符的乘积： 对自旋1/2体系为 该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 上式的exp(-i2)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。,是转动算符D(,)的j=1/2的不可约表示，其矩阵元记为,3.4 密度算符与混合系综,一、极化与非极化粒子束 前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组

5、成的系综的统计预言，系综粒子均由态矢|表征。 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子，其自旋朝向是随机的。按前描述任意态的方法， 所描述的态有特定自旋方向，其极角和方位角由 决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综。,二、分数分布,自旋朝向无规的系综可看作由50%|+和50%|-的粒子组成，可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述 注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可看作由50%|Sx+和50%|Sx-组成。 2）几率权重( w+，w-)是实数，没有关于不同态的相对相位的信息，用于描述不同态的非相干混合态

6、。 3）不能混淆w+ (w-)和|c+|2 (|c-|2)， |c+|2 (|c-|2)包含了重要的相位信息，用于描述态的相干线性叠加，如 ，该相干叠加的结果是Sx+态。 w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。,三、非极化、部分极化和完全极化,SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子，原子束被称为是非极化的，自旋无特定方向。 经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的，自旋有特定朝向。 完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如一混合系统中有70%的态由|描述，而30%由|描述，则称为部分极化的。这里|和|不一定要正交。例如， |是|Sx+，而|是|Sz- 。

7、非纯系综必须用分数分布数描述（分布数一般不唯一，但要满足描述系综总体性质的要求）,四、系综平均,混合系综可看作纯系综|(i)的混合叠加。 分数分布要满足归一条件: 不同态|(i)不必正交 i的数目可大于态空间的维数。例如一系综可由40% |Sz+ 、30% |Sx-和30%|Sy-组成. 对混合系综测量A，测量的统计结果是A的系综平均 这里|a是A的本征矢。由于是A在态|(i)的期待值，系综平均要对期待值作权重平均，即几率概念出现两次:一是在态|(i)找到A本征态的量子力学几率，二是|(i)在系综的几率权重。,五、密度算符,利用一般基求A的系综平均： 对b或b的求和项数是态矢空间的维数，而i的

8、项数则与混合系统被看作由怎样的纯态混合而成有关。 定义与特定观测量A无关的系综密度算符： 其矩阵表示即密度矩阵的矩阵元为 密度算符包含了所讨论系综的所有物理信息。,观测量的系综平均 由于迹与表象无关，可在任意方便的基中计算，因而上式是非常有用的。,六、密度算符的基本性质,1）厄米性：+ = 2）满足归一化条件： 由于厄米性及归一条件，对自旋1/2的体系，密度算符的矩阵表示由3个独立参量描述，这是因为厄米矩阵由四实数表述，而归一性将独立参数数降为3。所需三个参数是Sx, Sy和Sz。,七、纯态系综的密度算符,纯系综由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述，对应的密度算符为： 纯系综的具有等幂性

9、: 2 = (故Tr(2)=1)， (-1)=0 对角化时有ii (ii-1)=0，即ii =1或ii =0，具有形式： 可以证明，纯系综的Tr(2)=1为极大，任何混合系统的Tr(2)1 。,八、密度算符在给定基下的矩阵表示,上式其实给出了密度矩阵的算法。下面以自旋1/2体系在Sz表象为例。 1）对纯Sz+系综： 2）纯Sx系综： 3）对完全非极化系综，将其看作50%|+和50%|-的非相干组合，则 ：,S=0,4）由75%|Sz+与25%|Sx+组成的部分极化系综容易求得：注：给定，其对纯系综的分解可以是多样化的。,九、系综的时间演化,对 ，若系综不受干扰，则wi不变，系综的时间演化由态矢

10、|(i)的时间演化决定， 这方程形式与Heisenberg运动方程反号。但这并不矛盾，因不是Heisenberg图象中的动力学观测量。其实，是由Schrdinger图象中的态矢组成的，而态矢则是按Schrdinger方程演化的。,十、连续谱空间中的密度算符,对应于连续本征谱的态矢，则 此时密度矩阵实际上是x和x的函数，即 i(x)是对应于|(i)的波函数。 的对角元素是几率密度的权重和（可见密度矩阵这一名称很合适）。,十一、密度算符与量子统计力学,对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有： 该与纯系综的很不相同。 为定量表征不同系综的，定义为： 在本征态为基矢时,十二、熵,由于 ，是半正定的（0）。 对完全随机系综 对纯系综， =0 可见可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有序，既无序度为零；随机系统完全无序，故是个大数。其实，在归一化限制下，ln(N)是的最大值。 在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与的关系为，S=k，k为Boltzmann常数。 S=k可看作是量子统计力学中熵的定义。,十三、热平衡系综的密度矩阵,对具有确定H的系综,热平衡时取极大:=0.因/ t=0,与H可同时对角化,可用H的本征态为基. 粒子的平均内能：H=Tr(H)=U 由 用Lagranger乘子法可得 其解为， 利用归一化条件有 对应于能量本征态