计算机数学教学第一章课件

1、第 1 章 函 数,知识点 函数概念 基本初等函数 复合函数 难点 分段函数 复合函数,要求 熟练掌握 复合函数的复合过程 了解 函数的一般性质 理解 基本初等函数 初等函数 分段函数 复合函数概念,1.1 函数1.1.1 常量与变量,定义1设在某个变化过程中有两个变量x和y， 变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空 数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f 总有一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x的函数。记为,其中, x叫做自变量，y叫做因变量或函数。 数集D称为这个函数的定义域，记为 D（f）。相应 地，y值的集合 称为函数y=f（x）的值域。 当自变量x在其定义域内取某确定值x

2、0时,因变 量y按照所给的函数关系 求出的对应值y0 ， 称做当x=x0时的函数值，记为 或 。,注意 函数的定义有两个要素，即定义域与对应规则。所以，只有当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，他们才是同一个函数。,1.1.2 函数的表示方法,常用的表示方法有三种：解析法（公 式法）、表格法和图示法。 解析法是指用解析表达式（或公式） 去表示函数关系。 例如 等。,表格法是用列表的方法来表示函数关系，例如 水文监测站统计了某河流20年内平均月流量V， 如表1.1所示。 表1.1 这是用表格表示的函数，当自变量x取112之 间任意一个整数时，从表格里可得出y的一个对应 值。,图示法是用直角坐标

3、系x 0 y平面上的 曲线表示函数关系，例如图1.1是某气象记 录仪记录的某地一昼夜气温变化曲线。这 是用图形表示函数。y与x的关系是由曲线 给出的。 （见书中图1.1所示）,1.1.3 分段函数,例 他们的图形分别为图1.2，图1.3所示。,1.2 函数的几种性质1.2.1 函数的单调性,定义2 设函数 在区间（a，b）内 有定义，如果对于（a，b）内的任意两 点 或 则称函数f（x）在区间 （a，b）内是单调增加的或单调减少的。 若 或 则称f（x）为严格单调增加或严格单调 减少，如图1.5，图1.6所示。,1.2.2 函数的奇偶性,定义3设函数 在D上有定义，若对于 任意的 恒有 则称f

4、 (x)为偶函数。如果对于任意的 恒有 ，则称f (x)为奇函数。 注意 当函数具有奇偶性时，其定义域必定 是关于原点对称的，即若 , 则 。 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。,例 判定函数 的奇偶性,1.2.3 函数的周期性,定义4若存在常数 ，对任意的x，恒 有 ，则称 为周期函数。 使得上述等式成立的最小正数T，称为 的最小正周期，简称函数 的周期。 例如， 就是一个周期函数，他 的周期为 。,1.2.4 函数的有界性,定义5 设函数 在区间（a，b）内 有定义，若存在正数 使得对于任意 的 ，恒有 ，则称函数 在 （a，b）内是有界的。否则，称函数 在（a，b）内是

5、无界的。 例如 函数 在 内是有界的，因为 对于任意 的恒有 。函数 在（0，1）上是无界的，而在 上 是有界的。,1.3 反函数,定义6 设给定y是x的函数， ， 如果 对其值域R中的任一值y，都可通过关系式 在其定义域D中确定唯一的一个x 与之对应，则得到一个定义在R上的以y为 自变量，x为因变量的函数，我们称其为 的反函数。 记为,1.4 初等函数 1.4.1基本初等函数及其图形,下列函数称为基本初等函数 常量：y=c (2) 幂函数： (3) 指数函数： (4) 对数函数： (5) 三角函数： (6) 反三角函数：,常量 幂函数 函数 称为幂函数。 3. 指数函数 函数 称为指数函数。

6、 4. 对数函数 函数 称为对数函数。 5. 三角函数 函数 称为正弦函数 函数 称为余弦函数。 函数 称为正切函数。 函数 称为余切函数。,(5) 函数 称为正割函数。 (6) 函数 称为余割函数。 6. 反三角函数 正弦函数 和余弦函数 的反函数依次为反正弦函数 和反余弦函数 。 正切函数 和余切函数 的反函数依次为反正切函数 和反余切函数 。,1.4.2 复合函数,定义7 设y是u的函数 而u又是x的函 数， 且函数 的值域的全部或 一部分包含在函数 的定义域内，则 对 的定义域内的某些x，通过变量u， 变量y有确定的值与之对应，从而得到一个 以x为自变量，以y为因变量的函数，称此函 数是由函数 与函数 复合而成 的复合函数，记作 其中u称 为中间变量。,注意 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，例如， ， 就不能复合成一个复合函数，因为 的定义域 中的任何值x所对应的u值都大于或等于2，即全部落在 的定义域之外。,例 已知 求 的表达式。 解：令 解出 两边取对数得 于是原式成为： 将u换成x，得出 例 设 ，求复合函数 的定义域。 解：已知 的定义域为 ， 即-3，3； 的定义域为 。由 得 定义域为 -4，2。,1.4.3 初等函数,定义8由基本初等函数经过有限次的四则运 算及有限次复合过程所构成的函数，叫作 初