立体几何大题练习(文科)

1、最新资料推荐立体几何大题练习（文科） ：1如图，在四棱锥 s abcd中，底面 abcd是梯形，ab dc，abc=90，ad=sd，bc=cd=，侧面 sad底面 abcd（ 1）求证：平面 sbd平面 sad；（ 2）若 sda=120，且三棱锥 sbcd的体积为，求侧面 sab的面积【分析】（1）由梯形 abcd，设 bc=a，则 cd=a，ab=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得 ad，由线面垂直的判定定理可得 bd平面 sad，运用面面垂直的判定定理即可得证；（ 2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得 bc=1，运用勾股定理和余弦定理，可得 sa，sb，运用三角形的面

2、积公式，即可得到所求值【解答】（1）证明：在梯形 abcd中， abdc， abc=90，bc=cd=，设 bc=a，则 cd=a， ab=2a，在直角三角形 bcd中， bcd=90，可得 bd= a， cbd=45， abd=45，由余弦定理可得ad=a，则 bd ad，由面 sad底面 abcd可得 bd平面 sad，又 bd? 平面 sbd，可得平面 sbd平面 sad；（ 2）解： sda=120，且三棱锥 s bcd的体积为，由 ad=sd= a，在 sad中，可得 sa=2sdsin60=a， sad的边 ad 上的高 sh=sdsin60= a，由 sh平面 bcd，可得 a

3、a2= ，1最新资料推荐解得 a=1，由 bd平面 sad，可得 bdsd，sb=2a，又 ab=2a，在等腰三角形 sba中，边 sa上的高为=a，则 sab的面积为saa=a=【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用， 注意运用转化思想， 考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题2如图，在三棱锥 abcd中，abad，bc bd，平面 abd平面 bcd，点 e、f（e 与 a、d 不重合）分别在棱 ad， bd 上，且 efad求证：（1）ef平面 abc；（ 2） adac【分析】（1）利用 abef及线面平行判定定理可得结论；（ 2）通过取线段 cd上点 g

4、，连结 fg、eg使得 fg bc，则 eg ac，利用线面垂直的性质定理可知 fgad，结合线面垂直的判定定理可知 ad平面 efg，从而可得结论【解答】 证明：（1）因为 ab ad， efad，且 a、b、e、f 四点共面，所以 abef，2最新资料推荐又因为 ef? 平面 abc， ab? 平面 abc，所以由线面平行判定定理可知：ef平面 abc；（ 2）在线段 cd上取点 g，连结 fg、 eg使得 fgbc，则 egac，因为 bcbd， fg bc，所以 fgbd，又因为平面 abd平面 bcd，所以 fg平面 abd，所以 fgad，又因为 adef，且 effg=f，所以

5、ad平面 efg，所以 adeg，故 adac【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定， 考查空间想象能力， 考查转化思想，涉及线面平行判定定理， 线面垂直的性质及判定定理， 注意解题方法的积累，属于中档题3如图，在三棱柱 abca1 b1c1 中， cc1底面 abc，accb，点 m 和 n 分别是 b1c1 和 bc的中点（ 1）求证： mb平面 ac1n；（ 2）求证： acmb【分析】（1）证明 mc1nb 为平行四边形，所以c1nmb，即可证明 mb平面3最新资料推荐ac1n；（ 2）证明 ac平面 bccb ，即可证明 ac mb11【解答】证明：（ 1）证明：在三棱柱 abca

6、1b1c1 中，因为点 m ，n 分别是 b1c1，bc的中点，所以 c1m bn， c1m=bn所以 mc1nb 为平行四边形所以 c1n mb因为 c1n? 平面 ac1n， mb?平面 ac1n，所以 mb平面 ac1n；（ 2）因为 cc1底面 abc，所以 accc1因为 acbc， bccc=c，1所以 ac平面 bcc1b1因为 mb? 平面 bccb ，11所以 acmb【点评】本题考查线面平行的判定， 考查线面垂直的判定与性质， 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题4如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 为直角梯形， ad| bc，pd底面abcd， adc=90

7、， ad=2bc，q 为 ad 的中点， m 为棱 pc的中点（）证明： pa平面 bmq；（）已知 pd=dc=ad=2，求点 p 到平面 bmq 的距离【分析】（1）连结 ac 交 bq 于 n，连结 mn，只要证明 mnpa，利用线面平行的判定定理可证；4最新资料推荐（ 2）由（1）可知， pa平面 bmq，所以点 p 到平面 bmq 的距离等于点 a 到平面 bmq 的距离【解答】 解：（1）连结 ac 交 bq 于 n，连结 mn ，因为 adc=90，q 为 ad 的中点，所以 n 为 ac的中点 （2 分）当 m 为 pc的中点，即 pm=mc 时， mn 为 pac的中位线，故

8、 mnpa，又 mn? 平面 bmq，所以 pa平面 bmq（ 5 分）（ 2）由（1）可知， pa平面 bmq，所以点 p 到平面 bmq 的距离等于点 a 到平面 bmq 的距离，所以 vp bmq=vabmq=vm abq，取 cd的中点 k，连结 mk，所以 mkpd，（ 7 分）又 pd底面 abcd，所以 mk底面 abcd又，pd=cd=2，所以 aq=1，bq=2，（10 分）所以 vp bmqa bmq m abq.， （11分）=v=v=则点 p 到平面 bmq 的距离 d=（ 12 分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离5如图，

9、在直三棱柱abc a1 b1c1 中， bc ac，d， e分别是 ab，ac 的中点（ 1）求证： b1 c1平面 a1de；（ 2）求证：平面 a1de平面 acc1a15最新资料推荐【分析】（1）证明 b1c1 de，即可证明 b1c1平面 a1de；（ 2）证明 de平面 acc1a1，即可证明平面a1de平面 acc1a1【解答】证明：（1）因为 d，e 分别是 ab，ac的中点，所以 debc，（2 分）又因为在三棱柱abca1 b1c1 中， b1c1 bc，所以 b1c1 de（4 分）又 b1c1?平面 a1de，de? 平面 a1de，所以 b1c1平面 a1de（6 分）

10、（ 2）在直三棱柱 abca1b1c1 中， cc1底面 abc，又 de? 底面 abc，所以 cc1de（8 分）又 bc ac，debc，所以 de ac，（ 10 分）又 cc1，ac? 平面 acc1a1，且 cc1 ac=c，所以 de平面 acc1a1（12 分）又 de? 平面 a1de，所以平面 a1de平面 acc1a1（14 分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6在四棱锥 p abcd中， pc底面 abcd，m，n 分别是 pd，pa的中点， ac ad， acd= acb=60， pc=ac（ 1）求证： pa

11、平面 cmn；（ 2）求证： am平面 pbc【分析】（1）推导出 mnad，pcad，ad ac，从而 ad平面 pac，进而 ad pa，mn pa，再由 cnpa，能证明 pa平面 cmn（ 2）取 cd的中点为 q，连结 mq、aq，推导出 mq pc，从而 mq平面 pbc，再求出 aq平面，从而平面 amq平面 pcb，由此能证明 am平面 pbc6最新资料推荐【解答】 证明：（1） m ，n 分别为 pd、pa的中点， mn 为 pad的中位线， mnad， pc底面 abcd， ad? 平面 abcd， pc ad，又 ad ac， pcac=c， ad平面 pac， adpa

12、，mn pa，又 pc=ac， n 为 pa的中点， cn pa， mncn=n，mn? 平面 cmn，cm? 平面 cmn， pa平面 cmn解（ 2）取 cd的中点为 q，连结 mq、aq， mq 是 pcd的中位线， mqpc，又 pc? 平面 pbc，mq?平面 pbc， mq平面 pbc， adac， acd=60， adc=30 daq=adc=30， qac=acq=60， acb=60， aqbc， aq?平面 pbc，bc? 平面 pbc， aq平面 pbc， mqaq=q，平面 amq平面 pcb， am? 平面 amq， am平面 pbc【点评】本题考查线面垂直、线面平行

13、的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题7如图，在四棱锥 p abcd中，底面 abcd是边长为 2 的正方形，侧面 pad 底面 abcd，且 pa=pd= ad，e、f 分别为 pc、bd 的中点（ 1）求证： ef平面 pad；7最新资料推荐（ 2）求证：面 pab平面 pdc【分析】（1）连接 ac，则 f 是 ac 的中点， e 为 pc 的中点，证明 efpa，利用直线与平面平行的判定定理证明 ef平面 pad；（ 2）先证明 cdpa，然后证明papd利用直线与平面垂直

14、的判定定理证明pa平面 pcd，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面pab面 pdc【解答】证明：（ 1）连接 ac，由正方形性质可知， ac与 bd相交于 bd 的中点 f，f 也为 ac中点， e 为 pc中点所以在 cpa中， efpa，又 pa? 平面 pad，ef?平面 pad，所以 ef平面 pad；（ 2）平面 pad平面 abcd平面 pad面 abcd=ad? cd平面 pad? cdpa正方形 abcd中 cdadpa? 平面 padcd? 平面 abcd又，所以 pa2+pd2=ad2所以 pad是等腰直角三角形，且，即 papd因为 cdpd=d，且 cd、 pd? 面

15、 pdc所以 pa面 pdc又 pa? 面 pab，所以面 pab面 pdc【点评】本题考查直线与平面垂直的判定， 直线与平面平行的判定的应用， 考查逻辑推理能力8最新资料推荐8如图，在四棱锥 pabcd中，pa平面 abcd，底面 abcd为菱形，且 pa=ad=2，bd=2，e、f 分别为 ad、pc中点（ 1）求点 f 到平面 pab的距离；（ 2）求证：平面 pce平面 pbc【分析】（1）取 pb的中点 g，连接 fg、ag，证得底面 abcd为正方形再由中位线定理可得 fg ae且 fg=ae，四边形 aefg是平行四边形，则 ag fe，运用线面平行的判定定理可得 ef平面 pa

16、b，点 f 与点 e 到平面 pab的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得 ad平面 pab，即可得到所求距离；（ 2）运用线面垂直的判定和性质，证得 bc平面 pab， ef平面 pbc，再由面面垂直的判定定理，即可得证【解答】（1）解：如图，取 pb 的中点 g，连接 fg、ag，因为底面 abcd为菱形，且 pa=ad=2，所以底面 abcd为正方形 e、 f 分别为 ad、 pc中点， fgbc，ae bc， fgae 且 fg=ae，四边形 aefg是平行四边形， agfe， ag? 平面 pab，ef?平面 pab， ef平面 pab，点 f 与点 e 到平面 pab的距离相等

17、，由 pa平面 abcd，可得 paad，又 adab， paab=a，ad平面 pab，则点 f 到平面 pab的距离为 ea=19最新资料推荐（ 2）证明：由（ 1）知 ag pb，agef， pa平面 abcd， bc pa， bcab，abbc=b， bc平面 pab，由 ag? 平面 pab， bcag，又 pb bc=b， ag平面 pbc， ef平面 pbc， ef? 平面 pce，平面 pce平面 pbc【点评】本题考查空间点到平面的距离， 注意运用转化思想， 考查线面平行和垂直的判定和性质， 以及面面垂直的判定， 熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题9在四棱锥 p

18、abcd中，底面 abcd为直角梯形，bad=adc=90，dc=2ab=2ad，bcpd， e， f 分别是 pb， bc的中点求证：（1）pc平面 def；（ 2）平面 pbc平面 pbd【分析】（1）由中位线定理可得pc ef，故而 pc平面 def；（ 2）由直角梯形可得bc bd，结合 bcpd 得出 bc平面 pbd，于是平面 pbc10最新资料推荐平面 pbd【解答】 证明：（1） e，f 分别是 pb，bc的中点， pcef，又 pc?平面 def，ef? 平面 def， pc平面 def（ 2）取 cd的中点 m，连结 bm，则 ab dm，又 adab，ab=ad，四边形 abmd 是正方形， bm cd， bm=cm=dm=1，bd= ， bc= ， bd2 +bc2=cd2， bcbd，又 bcpd，bdpd=d， bc平面 pbd，又 bc? 平面 pbc，平面 pbc平面 pbd【点评】 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题10如图，在三棱锥 abcd中，e，f 分别为 bc，cd上的点，且 bd平面 aef（ 1）求证： ef平 abd面；（ 2）若 ae平面 bcd，bdcd，求证：平面 aef平面 acd11最新资料推荐【分析】（1）利用线面平行的性质可得bd ef，从而得出 ef平面 abd；（ 2）由 ae平面 bcd可得