平面向量知识点归纳

1、第一章平面向量2、向量得基本概念与基本运算6、向量：既有大小,又有方向得量。数量：只有大小，没有方向得量.有向线段得三要素:起点、方向、长度。零向量 :长度为得向量。单位向量 :长度等于个单位得向量。平行向量 (共线向量 )：方向相同或相反得非零向量。零向量与任一向量平行。相等向量 :长度相等且方向相同得向量。17、向量加法运算:三角形法则得特点：首尾相连平行四边形法则得特点：共起点。三角形不等式:.运算性质 :交换律： ；结合律 :; .坐标运算：设，,则 .18、向量减法运算:三角形法则得特点:共起点，连终点,方向指向被减向量坐标运算 :设，则。设、两点得坐标分别为,则 .9、向量数乘运算

2、:实数与向量得积就是一个向量得运算叫做向量得数乘，记作。 ;当时 ,得方向与得方向相同;当时，得方向与得方向相反；当时,.运算律 :； ;。坐标运算 :设 ,则 .20、向量共线定理:向量与共线 ,当且仅当有唯一一个实数,使。设， ,其中 ,则当且仅当时，向量、共线。2、 2 平面向量得基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理:如果、就是 同一平面内 得两个 不共线 向量 ,那么对于这一平面内得任意向量 ,有且只有一对实数、 ,使。 (不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底 ) 22、分点坐标公式 ：设点就是线段上得一点 ,、得坐标分别就是 ,，当时 ,点得坐标就是 (当2、 3 平面

3、向量得数量积23、平面向量得数量积(两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与。） :。零向量与任一向量得数量积为.性质：设与都就是非零向量,则。当与同向时,;当与反向时，;或 .。运算律：；; .坐标运算 :设两个非零向量,，则。若,则，或设 ,，则。设、都就是非零向量,， ,就是与得夹角，则.知识链接 : 空间向量空间向量得许多知识可由平面向量得知识类比而得、下面对空间向量在立体几何中证明求值得应用进行总结归纳、,1、 直线得方向向量与平面得法向量直线得方向向量:若 a 、就是直线上得任意两点,则为直线得一个方向向量;与平行得任意非零向量也就是直线得方向向量、。平面得法向量:若向量所在直线

4、垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作得法向量、,如果 ,那么向量叫做平面 .平面得法向量得求法(待定系数法 ): 建立适当得坐标系。设平面得法向量为。求出平面内两个不共线向量得坐标。根据法向量定义建立方程组、解方程组 ,取其中一组解 ,即得平面得法向量、（如图）1、用向量方法判定空间中得平行关系线线平行设直线得方向向量分别就是，则要证明，只需证明,即、即 :两直线平行或重合两直线得方向向量共线.线面平行（法一）设直线得方向向量就是，平面得法向量就是，则要证明，只需证明,即、即 :直线与平面平行直线得方向向量与该平面得法向量垂直且直线在平面外 (法二）要证明一条直线与一个平面平行 ,也可以在

5、平面内找一个向量与已知直线得方向向量就是共线向量即可、面面平行若平面得法向量为 ,平面得法向量为 ,要证 ,只需证 ,即证、即 :两平面平行或重合两平面得法向量共线。3、 用向量方法判定空间得垂直关系线线垂直设直线得方向向量分别就是，则要证明,只需证明 ,即、即 :两直线垂直两直线得方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线得方向向量就是，平面得法向量就是,则要证明，只需证明，即、 (法二 )设直线得方向向量就是，平面内得两个相交向量分别为,若即：直线与平面垂直直线得方向向量与平面得法向量共线直线得方向向量与平面内两条不共线直线得方向向量都垂直。面面垂直若平面得法向量为,平面得法向量为,要证 ,只需

6、证 ,即证、即：两平面垂直两平面得法向量垂直。、 利用向量求空间角 求异面直线所成得角已知为两异面直线,a ， c 与 b,d 分别就是上得任意两点,所成得角为 ,?则求直线与平面所成得角 定义： 平面得一条斜线与它在平面上得射影所成得锐角叫做这条斜线与这个平面所成得角求法 :设直线得方向向量为 ,平面得法向量为 ,直线与平面所成得角为 ,与得夹角为， 则为得余角或得补角 ?得余角、即有 :求二面角 定义 : 平面内得一条直线把平面分为两个部分，其中得每一部分叫做半平面；从一条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角，这条直线叫做二面角得棱 , 每个半平面叫做二面角得面二面角得平面角就是指在

7、二面角得棱上任取一点, 分别在两个半平面内作射线a为二面角得平b面角、 l如图 :oboa求法：设二面角得两个半平面得法向量分别为 , 再设得夹角为 , 二面角得平面角为面角为得夹角或其补角根据具体图形确定就是锐角或就是钝角:如果就是锐角, 则 ,即；如果就是钝角, 则 ,即、5、 利用法向量求空间距离 点 q到直线距离若 q为直线外得一点 , 在直线上 , 为直线得方向向量， , 则点 q到直线距离为点 a 到平面得距离, 则, 则二若点 p 为平面外一点，点m 为平面内任一点,平面得法向量为，则p 到平面得距离就等于在法向量方向上得投影得绝对值、即直线与平面之间得距离当一条直线与一个平面平

8、行时 ,直线上得各点到平面得距离相等 .由此可知 , 直线到平面得距离可转化为求直线上任一点到平面得距离，即转化为点面距离。即两平行平面之间得距离利用两平行平面间得距离处处相等,可将两平行平面间得距离转化为求点面距离。即异面直线间得距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间得距离就就是在向量方向上投影得绝对值。即、三垂线定理及其逆定理三垂线定理 : 在平面内得一条直线 , 如果它与这个平面得一条斜线得射影垂直 , 那么它也与这条斜线垂直poaa推理模式：概括为 : 垂直于射影就垂直于斜线、三垂线定理得逆定理： 在平面内得一条直线 , 如果与这个平面得一条斜线垂直 , 那么它也与这条斜线得射影

9、垂直推理模式 :概括为 : 垂直于斜线就垂直于射影、7、三余弦定理设 a就是平面内得任一条直线 ,ad 就是得一条斜线 b在内得射影 , 且 bd a , 垂足为d、设与 ( d)所成得角为 , ad 与 ac所成得角为， ab 与 ac所成得角为。则、ba12dc8、 面积射影定理已知平面内一个多边形得面积为， 它在平面内得射影图形得面积为， 平面与平面所成得二面角得大小为锐二面角，则、一个结论长度为得线段在三条两两互相垂直得直线上得射影长分别为, 夹角分别为，则有、( 立体几何中长方体对角线长得公式就是其特例) 、基础练习一选择题1。如图 ,点 o 就是正六边形 bcdef 得中心，则以图

10、中点a，b,c， ，f,o 中得任意一点为起点，与起点不同得另一点为终点得所有向量中,除向量外，与向量共线得向量共有（）a 6 个?b 7 个c.8 个d。个解析： 选、与向量共线得向量有，,， ,， ,共 9 个，故选 d、.设不共线得两个非零向量e ， e2112），且 k(e +e ) ( ke ） ,则实数 k 得值为 (a 。c。 1d 0答案 :a3已知向量就是不共线向量1,给出下列各组向量：e ， e a=2e1, =1 e2； a e1-e2， = e1+ f(1,2)2； e1 e ， b 2e e ; =e1 e2,b e1-2、其中共线得向量组共有（）a 。 1 个。 2

11、 个c。 3 个个答案： b。已知 、 分别为四边形 c 得边 c、bc 边上得中点 ,设 = ， b,则=（）a 、错误 ! （ +）。 -错误 ! （+b)、 1d、 (1,2)( a)2(a-b)答案： 5。下列计算正确得有 ()（ 7) 6a=4 a； -2b+(2a+2） =3 a; (a+b)=0、a 。 0 个b 。个c.个d。 3 个解析： 对, 对， 错 ,因为 a+b-（ a b） 0、答案 :c1化简所得结果就是(）a 、b、c。 0d、答案 :2。在 c 中， |=| | 1，则 |-|得值为 ()a.0b 。 1、3 .2答案： b3。已知向量 a b,且 a| b|

12、0，则向量 +得方向 ()a. 与向量 方向相同b。与向量a 方向相反c。与向量b 方向相同d。与向量b 方向相反答案 :a。在平行四边形abcd 中,对角线 ac 与 bd 交于点 , =，则 = _ _、答案： 25向量 (+) (+） +等于 ()a 、c、d、解析： (+） (） ( )（ ) +、故选 c、答案： c就是平面 内所有向量得一组基底,那么（ )1。如果 e 、a 。若实数 1、2使 e +e 0,则 12=0 .空间任一向量 a 可以表示为 =1e +2e2,这里 1、 2就是实数对实数 1、 ， 11+2 不一定在平面 内d。对平面中得任一向量a,使 1 2 得实数

13、1、 2有无数对答案： 。如果e1+ e = ,2e1+3 2 b,其中a, 为已知向量, 则 e _,e2=_ _、答案：= a 4b21 - a+ b3。设 1， e2 就是平面内一组基底，如果= e1-2 ,= e +e2 ， 8e1 9e2 ，则共线得三点就是 ()a. a、 b、 b、 c、 d .a、 b、d.a、 d答案 :c4.设 e1 ,e 就是平面内所有向量得一组基底，则下面四组向量中,不能作为基底得就是(）a. e1e2 与 1-eb.3e2e2 与 42 6e1。 1 e2 与 e 2ed。 e 与 e1 e2解析 : e 6e1= (3e1 2e2)， 3e1 2e2

14、 与 4e 6e1 共线，故选 b 、答案 :1。若 错误 ! ,且点 a 得坐标为（ 1， )，则点 b 得坐标为 ()a.(1,1 ）、 错误 !c、错误 !d、错误 !答案： c2.已知平行四边形oabc(o 为原点）， =(2 ，）， =（3,1),则 oc 等于 (）a. （， 1）b 。 ( ,-)c。（ -， 1）。 (-， )解析 := (3,1)（ 2，0） (1,1), 故选 a 、答案： 3。若向量 a (1， ),b=(1,- ),c（ -1,2)，则 c 等于（)。3a f(3， 2)bb、 f(1 ,2)a 2b、 f （ , ) f(1 ,2）d.- 错误 ! a

15、错误 ! 答案 :1.若 （ 2, )， b（ ,-1+ )，且 a b,则 y（ ）a 。 6b 。5c。 7 .8答案： c2 已知点 就是线 段 a 上得 一点 ,点 p 就是平面上任意一点 ,= （ ,5）+ (2，5),若 =，则 等于（)a 、错误 !b 、错误 !c、错误 !d 、错误 !解析 :用，表示向量,、3 2 = = 5 =- f(2 ,5） 错误 ! ,= -+ - 错误 ! + 错误 ! += 错误 ! + 错误 ! , =错误 ! 、答案 :d1、若向量与 b 得夹角为 60，则 等于（)a、 b 满足 | |b| 1, +aba 、错误 !b、错误 !。 1 （

16、 r（ ),)d 2解析：选、 aa ab= a | |cos6 =1+ (1,2） f(3,2）、设 a，,就是任意得非零向量，且相互不共线,则下列结论正确得就是()a.( ab） c（ c)=0.=0 ? a=或 b=垂直c.(bc） a (a )b 不与 c-16 b|d.(3a+ b） (3 -4b) |a|解析 :选 d、由于数量积就是实数，因此(ab) ,(c)b 分别表示与 ， b 共线得向量，运算结果不为 0,故 a 错误 ;当 ab， a 与 都不为零向量时，也有b=0,故错误；( c) -（ ac） b c (b)ac ( c)bc 0,故 c 错误 ;(3 4b） ( -

17、4)= a21 b2-12ab+12ab=|a - 6|b 2、1、 a=( 4, )， (5,6)，则 3 a|2 4ab 等于 ( )a 23b 7c。 63?d. 3解析 :选、 |a 错误 ! 5， ab -4 5+3 =-2 ， 3|a|2-4b 5 -4 （ )=83 、故选、已知 (2,1）， b( ,） ,c（ - ,4），则 abc 就是（）a 。锐角三角形?。直角三角形c。钝角三角形d.任意三角形解析 :选、 =（， 1） (- ， 3） - +3=0 、故选、1.设坐标原点为o，已知过点 错误 ! 得直线交函数 =错误 ! x2 得图象于 a、 b 两点 ,则 得值为 (

18、）a 、错误 !?b 、错误 !3。 ?d 。 -错误 !解析 :选 c、由题意知直线得斜率存在可设为 ,则直线方程为 y kx f（ 1,2),与 y= 错误 ! x联立得 错误 ! x2=kx错误 ! ， x2 2kx- =0, x1 =-1,x1x22k，y1y2错误 ! 错误 ! =k2x x +错误 ! 错误 ! =-k2+k2错误 ! 错误 ! , =x x +y12=-1 错误 ! =-错误 ! 、二 填空题2。已知 a， b， c 就是不共线得三点 ,向量 与向量就是平行向量 ,与就是共线向量，则m _、解析： a,b, c 不共线 ,与不共线 ,又 m 与 ,都共线 , 0、

19、答案 :06已知 | |=3,|=| ,aob=10,则|ab|=_、答案 : 5。已知向量 ,b 不共线 ,实数 x,y 满足 (3-4y)a (2x-3)b6a+3b,则 xy_、解析 : 由题意，得 3x-4y6 且 2x-y3,解得 x6,y3,x-y=3、答案 : 。如下图所示 ,已知 e、f 分别就是矩形 ab d 得边 bc、cd得中点 ,ef 与 a交于点 g,若 a,=b，用 a、b 表示 =_、解析 : e、f 分别为相应边中点， =错误 ! =错误 ! (a+b)=错误 ! a错误 ! b、3答案 : f(3,4）a4b4.已知a= 错误 ! ,b= 错误 ! ,实数x, 满足xa+yb 错误 ! ，则 _、答案： -15.若将向量 =(r （） ,1)按逆时针方向旋转(，2)得到向量 b，则 b 得坐标为 _ _。答案：（-1，r( )6。已知平行四边形ab中,（1,)，(6,),（8，5),则点 d 得坐标为 _答案： 错误 !。作用于原点得两个力 f 错误 ! ,f 2=错误 ! ,为使它们平衡 ,需加力 f 3=_、答案： 错误 !3. 已知 ? abc 四个 顶点 得坐 标为 a (5 ， 7 ） ,b(3 ， x ），c(2,3)