多维随机变量及其概率分布.ppt

1、第三章 多维随机变量及其概率分布,第一节 多维随机变量的概念,一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量的概率 密度和边缘概率密度,一、二维随机变量及其分布函数,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,四、两个常用的分布,五、小结,第一部分 二维随机变量的概念,一、二维随机变量及其分布函数,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二

2、维随机变量 ( H, W ).,说明,2.二维随机变量的分布函数,(1)分布函数的定义,(2) 分布函数的性质,且有,证明,例3-1 判断如下二元函数是否为某二维随机变量的分布函数。,解：,根据二维随机变量分布函数的性质4，对于任意的,若取,则,所以该二元函数不可能是某二维随机变量的分布函数。,若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.,二、二维离散型随机变量,1. 定义,2. 二维离散型随机变量的分布律,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为,例3-2设（,）的分布律如下，求a的值,-1 1,解：由分布律的性

3、质可知：,所以,例3-3设（,）的分布律为,求,解,且由乘法公式得,例3-4,例 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.,( X, Y ) 的可能取值为,解,故 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,所以( X ,Y ) 的分布函数为,说明,离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为,( X, Y ) 所取的可能值是,解,练习 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的

4、盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.,故所求分布律为,1.定义,三、二维连续型随机变量,2.性质,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,3.说明,例3-7,例3-7,解,(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,例3-8 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为,求： (1)常数 ；（2）（X,Y）的概率密度,解,得,得,从而，概率密度为,1.均匀分布,定义3-6 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称 ( X , Y )

5、 在 D 上服从均匀分布.,四、两个常用的分布,两个特殊的情形：,例3-9 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,其中D：,求,0.5,解,0.5,练习 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,2.二维正态分布,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的图形,推广 n 维随机变量的联合分布函数,1. 二维随机变量的分布函数,2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数,3. 二维连续型随机变量的概率密度,五、小结,二、离散型随机

6、变量的边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘分布,一、边缘分布函数,四、小结,第二部分 边缘分布,一、边缘分布函数,为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.,二、离散型随机变量的边缘分布律P64,因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为,例 已知下列分布律求其边缘分布律.,注意,联合分布,边缘分布,解,例3-6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,解：,（1）有放回摸球情况,且事件X=i与事件Y=j相互独立(i,j=0,1),PX=

7、0, Y=0,(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1),=PX=0PY=0,=3/53/5=9/25,PX=0, Y=1=PX=0PY=1,=3/52/5=6/25,PX=1, Y=0=PX=1PY=0,=2/53/5=6/25,PX=1, Y=1=PX=1PY=1,=2/52/5=4/25,例3-6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,所以有放回摸球情况下， (X,Y)的分布律与边缘分布律为,例3-6 设盒中

8、有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,解：,（2）不放回摸球情况,且事件X=i与事件Y=j相互独立(i,j=0,1),PX=0, Y=0,(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1),=PX=0PY=0|X=0,=3/52/4=3/10,PX=0, Y=1=PX=0PY=1|X=0,=3/52/4=3/10,PX=1, Y=0=PX=1PY=0|X=1,=2/53/4=3/10,PX=1, Y=1=PX=1PY=1|X=1

9、,=2/51/4=1/10,例3-6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,所以不放回摸球情况下， (X,Y)的分布律与边缘分布律为,由上例，在有放回摸球与不放回摸球两种情况下， (X,Y)的边缘分布律完全相同，但(X,Y)的分布律却不相同，这表明(X,Y)的分布律不仅反映了X与Y两个分量的概率分布，而且反映了它们之间的关系。 说明：若两个分量的概率分布完全相同，但分量之间的关系却不相同，则它们的分布律也会不同。,解,练习,三、连续型随机变量的边缘分布P6

10、9,同理可得 Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,例3-10,解,且D的面积,例3-12,解,解,练习,例5,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,例3-13 设(X,Y)的概率密度如下所示，求PX1/2,解：,联合分布,边缘分布,四、小结,一、随机变量的相互独立性,二、二维随机变量的推广,三、小结,第二节 相互独立的随机变量,一、随机变量的相互独立性,1.定义,

11、2.说明,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,例3-15 判断例3-6(P65)中X与Y是否相互独立.,有放回摸球情况下,不放回摸球情况下,X与Y相互独立,X与Y不相互独立,二维离散型随机变量的独立性举例,解,例3-16,二维离散型随机变量的独立性举例,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,因为 X 与 Y 相互独立,解,所以,求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.,二维离散型随机变量的独立性举例,例3-14 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为,解,证明X与Y相互独立.,由于,所以,故X与Y相互独立,二维连续型随机变量的独立性

12、举例,例3-17 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,证明X与Y相互独立.,解,由于,所以,故X与Y相互独立,二维连续型随机变量的独立性举例,例3-18 设二维随机变量,证明X与Y相互独立的充要条件是=0.,解,由于（X，Y）的概率密度为,二维连续型随机变量的独立性举例,充分性:若=0, 则,必要性:若X与Y相互独立, 则,令 代入,则,显然=0.,例3-19 设二维随机变量(X,Y)在以原点为圆心,半径为1的圆域上服从均匀分布, 问X与Y是否相互独立.,解,(X,Y)的概率密度为,二维连续型随机变量的独立性举例,易见,因此X与Y不相互独立,例3-20 设X与Y是相互独立的随机变量, X在-

13、1,1上服从均匀分布, Y服从参数=2的指数分布, 求(X,Y)的概率密度.,解,X的概率密度为,二维连续型随机变量的独立性举例,因此,由于X与Y相互独立,Y的概率密度为,解,由于X 与Y 相互独立,练习,例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时,设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,解,于是,二、二维随机变量的推广,1.分布函数,2.概率密度函数,其它依次类推.,3.边缘分布函数,4.边缘概率密度函数,5. 相互独立性,6.重要结论,6. 举例,三、小结,1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合

14、分布律为,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,四、小结,一、问题的引入,第三节两个随机变量的函数的分布,为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,例3-24,解,Z=X+Y的可能取值为0, 1, 2, 3,PZ=0,=PX=0,Y=0=1/4,PZ=1,=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0,=1/6+1/4=5/12,PZ=2,=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1,=1/8+1/8=1/4,PZ=3,=PX=1,Y=2,=1/12,从而Z的分布律为,Z=|X-Y|的可能取值为0, 1, 2,PZ=0,=PX=0,

15、Y=0+ PX=1,Y=1,PZ=1,=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=2,=1/6+1/4+1/12=6/12=1/2,PZ=2,=PX=0,Y=2,=1/8,= 1/4+1/8=3/8,从而Z的分布律为,Z=XY的可能取值为0, 1, 2,PZ=0,=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=0,Y=2+PX=1,Y=0,PZ=1,=PX=1,Y=1,=1/8,PZ=2,=PX=1,Y=2,=1/12,= 1/4+1/6+1/8+1/4=19/24,从而Z的分布律为,结论,解,例3-25 设X,Y是相互独立的随机变量，且,证明,证明:,由题意,由于X,Y相互独立,所以,则对于任意的r=0,1,2,结论：两个相互独立且都服从于泊松分布（参数分别为 ）,的随机变量之和仍服从泊松分布，且具有参数,练习 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,三、连续型随机变量函数的分布,例1,解:,由于X在0,1上服从均匀分布,又由于X,Y相互独立,所以,Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函数为,由于 X 与 Y 对称,当 X, Y 独立时,由公式,解,例