浙江师范大学《高等数学》d10-2二重积分计算

1、第二节 二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,X型区域、,Y 型区域,直角坐标下二重积分的计算公式,应注意的问题,极坐标下二重积分的计算公式,一、利用直角坐标计算二重积分,X型区域：,D ： j1(x)yj2(x)，axb ,例如：,特点：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.,D ： y1(y)xy2(y)，cyd ,Y 型区域：,例如：,D：0 y 2， y2 x 2y,特点：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.,若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,练习：把下列区域表为X-型区域和Y-型区

2、域：,曲顶柱体体积的计算： 设f(x，y)0，则以曲面z f(x，y)为顶， 以闭区域 D 为底的 曲顶柱体的体积为,根据求截面面积为已知的立体体 积的方法，曲顶柱体的体积为,设 D 为X型区域： D ： j1(x)yj2(x)，axb ,任意取一点x0 a，b ，平面xx0 截曲顶柱体得一截面，,其面积为,类似地，如果区域D 为Y 型区域： D ： y1(y)xy2(y)，cyd .，,或记为,二重积分的计算公式：,设 D 为X型区域： D ： j1(x)yj2(x)，axb ,则有,则有,成的闭区域,解法1，画出区域D，,可把D看成是X型区域： 1x2，1yx ,y=x,于是,1yx,1x

3、2,例1,也可以把D看成是Y型区域： 1y2，yx2 ,成的闭区域,解法2，画出区域D，,1y2,yx2,于是,例1,应注意的问题：,已知,比较,已知,比较,及yx 所围成的闭区域,解 画出区域D，,于是,可把D看成是X型区域：1x1，xy1,-1,1,y=x,例2,及yx 所围成的闭区域,解 画出区域D，,于是,还可把D看成是Y型区域： 1y1，-1xy,-1,y=x,1,哪个二次积分容易计算？,可把D看成是X型区域：1x1，xy1,于是又有,例2,说明: 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,在化二重积分为二次积分时，

4、为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序.,所围成的闭区域,解 画出区域D，D 可表为DD1+D2：,D1,D2,例3,解 画出区域D，,D 也可表为：1y2，y2xy2,于是,例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的 体积,解 设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R 2及x2z2R 2,所求立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的底为,V1,；,讨论 1下列积分还可以怎样写？,2积分,是否能看成是积分 与积分 的乘积？,或,，,二 利用极坐标计算二重积分,有些二重积分， 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表 示比较方便， 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单,

5、这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 ,下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆 构成的网将区域D 分为n 个小闭区域，,s i,其中r i表示相邻两圆弧的半径的 平均值,r=ri,r=ri+ri,qi,ri,小闭区域的面积为：,D,r=ri,q=qi,s i,，,于是,即,若积分区域可表示为 j 1(q)rj 2(q)， aqb，,q=a,q=b,则,r,讨论： 区域如下图，如何确定积分限?,？,的圆周所围成的闭区域,解 在极坐标系中，闭区域D可表示为 0ra ，0q 2 ,r = a,利用上述结果可计算出概率积分P150：,于

6、是,r,)q,例5,讨论 1下列积分还可以怎样写？,2积分,是否能看成是积分 与积分 的乘积？,例6 求球x2y2z24a2体被圆柱面x2y22ax所截得的（含在 圆柱面内的部分）立体的体积,解 由对称性,于是,D可表示为：,内容小结,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,极坐标系情形: 若积分区域为,计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,作业,P156 1 (2); 2 (3); 5;