3 立体的投影.ppt

1、第三章 立体的投影,本章重点介绍立体的投影特性、平面与立体的截交线以及立体相贯线，进行立体投影训练。 通过学习，应该达到以下要求： 1、掌握基本几何形体的投影特性、作图方法，并能综合运用； 2、掌握平面与基本几何形体相交的截交线的特点，能够作出特殊平面与基本立体的截交线； 3、了解立体相贯的概念、相贯线的作图方法。,学习目标及教学要求,内容 3.1 立体的投影 3.2 平面和立体相交 3.3 两立体相贯 复习思考题见P47,3.1 立体的投影 每个建筑形体都是由一些简单的几何体构成的。 常见的立体有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等，其中棱柱、棱锥等是由平面组成的立体，称为平面立体；而圆柱、圆锥、球

2、等则是由曲面或曲面与平面组成的立体，称为曲面立体。,（一）棱柱 棱柱的棱线互相平行。常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。 以图3-1（a）所示正五棱柱为例，分析其投影特性和作图方法。,1、投影分析 图示正五棱柱的顶面和底面平行于水平面，后棱面平行于正面，其余棱面均垂直于水平面。,在这种位置下，五棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形正五边形。五个棱面的水平投影分别积聚为五边形的五条边。正面和侧面投影上大小不同的矩形分别是各棱面的投影，不可见的棱线画虚线。,2、作图步骤 （1）先画出反映主要形状特征的投影，即水平投影的正五边形，再画出正面、侧面投影中的底面基线和对称中心

3、线，如图3-1（b）。,（2）按长对正的投影关系及五棱柱的高度画出正面投影，按高平齐、宽相等的投影关系画出侧面投影，如图3-1（c）。,3、棱柱表面上点的投影 如图3-1（d）所示，已知五棱柱棱面ABCD上点M的正面投影m，求作另外两投影m、m。,由于点M所在棱面ABCD是铅垂面，其水平投影积聚成直线abcd，因此点M的水平投影必在abcd上，即可由m直接作出m，然后由m和m作出m。由于棱面ABCD的侧面投影为可见，所以m为可见。,（二）棱锥 棱锥的棱线交于一点。 常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 以图3-2所示四棱锥为例，分析其投影特性和作图方法。,1、投影分析 图3-2所示四棱锥的底

4、面平行于水平面，水平投影反映实形。左、右两棱面垂直于正面，它们的正面投影积聚成直线。前、后两棱面垂直于侧面，它们的侧面投影积聚成直线。与锥顶相交的四条棱线既不平行、也不垂直与任何一个投影面，所以它们在三个投影面上的投影都不反映实长。,图3-2（a）,2、作图步骤 （1）先作出底面的水平投影（矩形）以及正面、侧面投影中的对称中心线和底面基线，如图3-2（b）。,图3-2（b）,（2）按四棱锥的高度在正面投影上定出锥顶的投影位置s，在正面和水平投影上分别过锥顶与底面各点的投影连线，即得四条棱线的投影（sa与sd重合、sb与 sc重合）。由于是正四棱锥，四条棱线的水平投影为矩形的对角线。再由水平、正

5、面投影画出侧面投影，如图3-2（c）。,图3-2（c）,3、棱锥表面上点的投影 如图3-2（c）所示，已知四棱锥棱面SAB上点M的正面投影m，求作另外两投影m、m。 在棱面SAB上过M点作辅助线SE，作出SE的正面投影se和水平投影se，由于M点在直线SE上，则M点必在SE的同面投影上，由m作出m。因为SAB是侧垂面，所以也可以利用积聚性由m直接作出m，再利用宽相等的投影关系作出m。,圆柱体由圆柱面与上、下两端面围成。圆柱面可看作由一条母线绕平行于它的轴线回转而成，圆柱面上任意一条平行于轴线的直母线称为圆柱面的素线。,（三） 圆柱,1、投影分析,如图所示，当圆柱轴线垂直于水平面时，圆柱上、下端

6、面的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。圆柱面的水平投影积聚为一圆周，与两端面的水平投影重合。,在正面投影中，前、后两半圆柱面的投影重合为一矩形，矩形的两条竖线分别是圆柱面最左、最右素线的投影，也是圆柱面前、后分界的转向轮廓线。 在侧面投影中，左、右两半圆柱面的投影重合为一矩形，矩形的两条竖线分别是圆柱面最前、最后素线的投影，也是圆柱面左、右分界的转向轮廓线。,（a） （b） （c） 图3-3 圆柱的投影分析与作图,2、作图步骤 画圆柱体的三面投影图时，先画出圆柱体各投影的中心线，再画出形状为圆的水平投影，然后根据圆柱体的高度以及投影关系画出形状为矩形的正面和侧面投影，如图3-3（b）

7、。,3、圆柱表面上点的投影 如图3-3（c）所示，已知圆柱面上点M的正面投影m，求作m和m。 根据圆柱面水平投影的积聚性作出m，由于m是可见的，则点M必在前半圆柱面上，m必在水平投影圆的前半圆周上。再由m、m作出m，由于点M在右半圆柱面上，所以（m）为不可见。,（四）圆锥 圆锥体由圆锥面和底面围成。圆锥面可看作由一条直母线绕与它斜交的轴线回转而成。圆锥面上任意一条与轴线斜交的直母线，称为圆锥面上的素线。,1、投影分析 如图3-4所示，当圆锥轴线垂直于水平面时，锥底面平行于水平面，水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。圆锥面的三面投影都没有积聚性，其水平投影与底面的水平投影重合，全部可见。

8、,正面投影由前、后两个半圆锥面的投影重合为一等腰三角形，三角形的两腰分别是圆锥最左、最右素线的投影，也是圆锥面前、后分界的转向轮廓线。 圆锥的侧面投影由左、右两半圆锥面的投影重合为一等腰三角形，三角形的两腰分别是圆锥最前、最后素线的投影，也是圆锥面左、右分界的转向轮廓线。,（a） （b） （c） 图3-4 圆锥的投影分析与作图,2、作图步骤 先画圆锥体各投影的中心线，再画出形状为圆的水平投影，按圆锥高度以及投影关系画出形状为三角形的正面和侧面投影，如图3-4（b）。,3、圆锥表面上点的投影 由于圆锥面的投影没有积聚性，所以求作圆锥表面上点的投影时，必须包含该点作辅助素线或辅助纬圆的方法作图。

9、图3-4（c）所示为用辅助素线法求锥面上点的投影。过锥顶包含点M作辅助素线SA （sa、sa、sa），再由已知的m作出m和m。,图3-5（a）所示为用辅助纬圆法求锥面上点的投影。在锥面上过点M作一水平纬圆（垂直于圆锥轴线的圆），点M的各投影必在该圆的同面投影上。 如图3-5（b）所示，过m作圆锥轴线的垂直线，交圆锥左、右轮廓线于a、b， ab即为辅助纬圆的正面投影。以s为圆心，ab为直径，作纬圆的水平投影。由m求得m，由于m是可见的，所以m在前半锥面上。如图3-5（c）所示，再由m、m求得m，由于M点在右半圆锥面上，所以（m）为不可见。,（a） （b） （c） 图3-5 用辅助纬圆法求圆锥表面

10、上点的投影,（五）圆球 圆球的表面可看作由一条圆母线绕其直径回转而成。,1、投影分析 从图3-6可看出，圆球的三个投影都是等径圆，并且是圆球表面平行于相应投影面的三个不同位置的最大轮廓圆。正面投影的轮廓圆是前、后两半球可见与不可见的分界线；水平投影的轮廓圆是上、下两半球面可见与不可见的分界线；侧面投影的轮廓圆是左、右两半球面可见与不可见的分界线。,（a） （b） （c） 图3-6 圆球的投影分析与作图,2、作图方法 先确定球心的三个投影，过球心分别画出圆球轴线的三面投影，再画出三个与圆球直径相等的圆，如图3-6（b）。,3、圆球表面上点的投影 图3-6（b）所示为已知圆球表面上点N的正面投影n

11、，求n和n。 n在圆球的正面投影圆周上，而该圆周是前、后半球的分界线，它的水平投影与圆球水平投影中平行于X轴的中心线重合（不画X轴投影），所以n必在该中心线上。同样道理，n必在圆球侧面投影中平行于Z轴的中心线上。,图3-6（c）所示为已知圆球表面上点M的正面投影（m）；求m和m。 由于球面的三个投影都没有积聚性，必须用辅助纬圆法求解。过（m）作水平纬圆的正面投影（积聚成水平线）ab，再作出其水平投影（以O为圆心，ab为直径画圆）。在该圆的水平投影上求得（m），由于（m）是不可见的，则（m）必在下半、后半球面上。然后由（m）、（m）求出m，由于点M在左半球面上，所以m为可见。,3.2 平面和立体

12、相交 1、棱锥的截交线 2、棱柱的截交线 3、圆柱的截交线 4、圆锥的截交线 5、球的截交线,如图3-7所示：平面与平面立体相交，可看作平面立体被平面所截，该平面称为截平面；截平面与立体表面的交线称为截交线；截交线所围成的平面图形称为断面；截交线的顶点称为截交点。,在求作棱柱或棱锥的截交线时，常常先作出截交点，即棱线或底边与截平面的交点，然后连成截交线。 平面体的截交线是封闭的平面折线，即平面多边形。 1、棱锥的截交线 2、棱柱的截交线,1、棱锥的截交线 例：平面切割四棱锥,分析：图3-8（a）,分析：图3-8（a） 由于截平面P是正垂面，所以截交线的正面投影积聚成直线，水平投影和侧面投影都是

13、四边形（类似形），只要求得四棱锥的四条棱线与P面的交点，依次连接即可完成作图。如图3-8（b）。,（a） （b） 图3-8 平面与四棱锥相交,2、棱柱的截交线 例：平面切割四棱柱 分析：图3-9（a） 截平面P与四棱柱的四个棱面及上底面相交，截交线是五边形，如图3-9所示。,（a） （b） 图3-9 平面与四棱柱相交,五边形的五个顶点分别是P面与四棱柱三条棱线以及底面两条边线的交点。由于P为正垂面，所以截交线的正面投影与P重合。四棱柱的各棱柱为铅垂面，截交线的水平投影与四棱柱的各棱柱的水平投影重合。截交线与棱柱上底面的交线为正垂线，其正面投影积聚为一点，水平投影反映实长。,3、圆柱的截交线 平

14、面与曲面立体的截交线，也是截平面与围成这个曲面立体的表面的交线。 截交线是截平面与回转体表面的共有线，截交线上的点（截交点）是截平面与回转体表面的共有点，截交线所围成的平面图形就是断面。因此，求截交线的投影需要先求出这些共有点的投影，然后再连成截交线的投影。,步骤： 1、通常应求出截交线上诸特殊点的投影，包括对称的截交线在其对称轴上的顶点，回转面的投影面外形线上的点，截交线上的极限位置点（最左、最右、最前、最后、最高、最低的点）等。 2、在连点较稀疏处或曲率变化较大处，按需要再作截交线上的一些一般点。 3、连成截交线的投影。,当平面与圆柱相交时，由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，将得到不同形

15、状的截交线。 表3-1所示： 当截平面垂直于圆柱的轴线时，圆柱面上的截交线和圆柱的断面都是圆； 截平面与圆柱的轴线倾斜时，圆柱面上的截交线和圆柱的断面都是椭圆； 截平面与圆柱的轴线平行时，圆柱面上的截交线为两条直线，即圆柱上的两条直线素线，而圆柱的断面则为矩形。,表3-1 圆柱面上的截交线与圆柱的断面,垂直于圆柱的轴线,投影图,截交线：圆 断面： 圆,倾斜于圆柱的轴线,截交线：椭圆 断面：椭圆,投影图,平行于圆柱的轴线,截交线：两条直线 断面：矩形,投影图,图3-10所示为圆柱被正垂面P斜切，截交线为椭圆的作图过程。 分析 由于截平面P是正垂面，所以椭圆的正面投影积聚在P上，水平投影与圆柱面的

16、水平投影重合为圆，侧面投影为椭圆。 作图 见图3-10,（a） 图3-10 作平面切割圆柱的截交线和截面的实形,（b） 图3-10 作平面切割圆柱的截交线和截面的实形,（c） 图3-10 作平面切割圆柱的截交线和截面的实形,4、圆锥的截交线 当平面与圆锥相交时，由于截平面与圆锥的相对位置不同，截交线的形状也不同。 如表3-2所示。,表3-2 圆锥面上的截交线与圆锥的断面,垂直于圆锥的轴线,投影图,截交线：圆 断面： 圆,倾斜于圆锥的轴线，与素线都相交,截交线：椭圆 断面：椭圆,投影图,平行于一条素线,截交线：抛物线 断面：抛物线和直线组 成的封闭的平面图形,投影图,平行于两条素线,截交线：双曲

17、线 断面：双曲线和直线组 成的封闭的平面图形,投影图,通过锥顶,截交线：两条直线 断面：三角形,投影图,如图3-11所示为圆锥被正平面切割后形成截交线的作图过程。 分析 由于截平面为正平面，所以截交线的水平投影积聚为直线。可由截交线的水平投影用辅助纬圆法或辅助素线法求作正面投影，如图3-11所示。 作图 见图3-11,图3-11 正平面切割圆锥,5、球的截交线 平面截割球时，截交线总是圆。 当截平面平行于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影反映真形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影积聚成一条长度等于截交线圆的直径的直线；,当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影为

18、椭圆，这时，在作截交线圆的特殊点中，应作出投影椭圆的长短轴顶点。,例3-1 已知网球馆球壳屋面的跨度和球半径R，如图3-12（a），作球壳屋面的投影。,（a） （b） 图3-12 球壳屋面上的截交线,分析 球壳屋面是半径为R的半球，被两对对称的、相距为的正平面和侧平面切割，如图3-12（a）。球面被正平面切割后截交线的正面投影反映圆弧的实形，侧面投影成为两条铅垂线。球面被侧平面切割后截交线的侧面投影反映圆弧的实形，正面投影成为两条铅垂线。 作图 图3-12,3.3 两立体相贯 两立体相交，称为两立体相贯。这样的立体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线。 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点

19、都是两立体表面的共有点。相贯体实际上是一个整体。,1、两平面立体相贯,两平面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间折线，每段折线是两个平面立体上有关表面的交线，折点是一个立体上的轮廓线与另一立体的交点（直线与立体表面的交点，称为贯穿点）。,求作两平面立体的相贯线常采用两种方法： 1、分别求出立体的各轮廓线与另一立体的贯穿点，然后把即位于一个立体的同一表面上、又位于另一立体同一表面上的两点，依次连成相贯线； 2、求出两立体有关表面的交线。当立体表面的投影有积聚性时，就可直接利用积聚性作图。,例3-2 求作高低房屋相交的 表面交线，如图3-13所示。,图3-13 高低房屋的表面交线,分析 高低房屋相交，可看成两个五棱柱相贯，由于两个五棱柱的底面（相当于地面）在同一平面上，所以相贯线是不封闭的空间折线。 两个五棱柱中的一个五棱柱的棱面都垂直于侧面，另一五棱柱的棱面都垂直于正面，所以交线的正面、侧面投影为已知，根据正面、侧面投影求作交线的水平投影。作图结果如图3-13所示。,2、平面立体和回转