阶行列式的定义及性质.ppt

1、1.3 n阶行列式的定义及性质,二、 n阶行列式的性质,一、 n阶行列式的定义,一、n阶行列式的定义,为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列指标排列p1p2p3所决定（称为p1p2p3的逆序数）,三阶行列式可以写成,其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和,三阶行列式的结构一：,特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a,由n2个数aij (i j1 2 n)构成的代数和,称为n阶行列式 记为,简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数

2、表示对所有排列p1p2 pn取和,在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元,n阶行列式的传统定义：,为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一步研究三阶行列式的结构,三阶行列式的结构二：,其中Aij(1)i jMij Mij是D去掉第i行第j列全部元素后, 按原顺序排成的n1阶行列式, 称Mij为元素aij的余子式, 称Aij为元素aij的代数余子式.,n阶行列式的递归法定义：,由n2个数aij (i j1 2 n)组成的n阶行列式,是一个算式. 当n =1时 定义D=|(a11)|= a11;,当n2时 定义 Da11A11a12A12 a1nA1n ,余子式与代数余子式的一个

3、例子,A23(1)23M23M23,例如 已知,则a23的余子式和代数余子式分别为,方阵与行列式,设,为n阶方阵,则A的行列式可记为|A|或detA, 即,(3) 只有方阵才有行列式!,矩阵与行列式的区别,(1) 行列式是一个算式, 一个数字行列式经过计算可求得其值.,(2) 矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和列数可以不同.,例1 证明n阶下三角行列式,证,对n作数学归纳法. 当n=2时 结论成立.,假设结论对n1阶下三角行列式成立, 则由定义得,例2 计算n阶行列式(副对角线以上元素全是0),解,利用行列式定义, 可得.,递推可得,n阶行列式的性质：,性质1 设A为方阵,则|AT|=|A|,

4、即转置不改变方阵的行列式.,由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然,性质2(行列式按行展开法则) 行列式等于它的任一行各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i=1 2 n) ,推论(行列式按列展开法则) 行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Da1j A1ja2j A2j anj Anj (j=1 2 n),例 设,则,(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素;,(2)A的第3列元素的余子式,正好是|AT|的第3行元素的余子式的转置,故|A|=|AT|

5、= AT的第3行元素与其对应的代数余子式乘积的和 = A的第3列元素与其对应的代数余子式乘积的和,又对应元素的代数余子式的符号关系一致,性质3(线性性质） (1)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式,(2),推论 (1)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 (2)某一行(列)的所有元素全为0的行列式其值为0.,性质4 行列式中如果有两行(列)完全相等 则行列式等于零,推论 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零,性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去 行列式不变 即,性质6(反对称

6、性质) 行列式的两行(列)对换 行列式的值反号,证,即,初等变换与行列式,性质3 (1),设以下A,B都是方阵.,则|B|=k|A|.,则|B|=k|A|.,性质5,则|B|=|A|.,性质6,则|B|=|A|.,综上, 我们有,命题,则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.,(2)设n阶方阵A满足|A|0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.,则|B|=|A|.,则|B|=|A|.,注 在计算行列式中, 经常需要用初等变换来“打洞”, 可以看出“打洞”中起主要作用的是性质5.,性质7 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij) 或 a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij),综合结论,则A12A22+4A32+2A42=,D=57,A21+2A22+4 A23+2 A24=,0.,例 对于n阶上三角行列式, 有,提示,利用性质1及下三角行列式的结果,上三角形