理论力学 第十三章 动量矩定理1.ppt

1、1,第十三章 动量矩定理,授课教师：薛齐文 土木与安全工程学院力学教研室,2,131 质点的动量矩定理 132 质点系的动量矩定理 133 刚体的定轴转动微分方程 134 转动惯量 135 质点系相对于质心的动量矩定理， 136 刚体的平面运动微分方程,第十三章 动量矩定理,3,动力学,若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。,质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢）,4,动力学,13-1质点（系）的动量矩,一质点的动量矩,正负号规定

2、与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正,质点对轴 z 的动量矩： 代数量,动量矩是表征质点绕某点或某轴运动强度的一种量度，不仅与质点的动量相关，而且与质点的速度矢至某点的距离相关。,质点对点O的动量矩： 矢量,等于 对点O的矩.,5,质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：,二质点系的动量矩,动力学,kg2/s。,动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱,刚体动量矩计算：,1平动刚体,平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量 对该点（轴）的动量矩。,合矢量,投影量,质系对轴z 动量矩：,质系对点O动量矩：,6,2定轴转动刚体,3平面运动刚体,动力学,定轴

3、转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对 该轴转动惯量与角速度的乘积。,平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩， 等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩 与绕质心轴作转动时的动量矩之和。,7,13-2动量矩定理,一质点的动量矩定理,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。,动力学,故：,设O为定点,有,8,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。,动力学,投影式:,9,二质点

4、系的动量矩定理,质点系对固定点的动量矩定理,动力学,对质点系，有,对质点Mi ：,由于 ：,令：,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。,10,动力学,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:,投影式:,定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。,11,三 动量矩守恒定理,1. 质点的动量矩守恒定理,若作用于质点上的力对于某一点（固定轴) 之矩等于零，即,则：,常矢量,2. 质点系的动量矩守恒定理,若作用于质点系上的外力对于某一点（固定轴）之矩 的代数和等于零，即,时，则可得：,质点系的动量矩守

5、恒 当时，常矢量。 当时，常量。,动力学,12,13-3刚体定轴转动微分方程,刚体定轴转动微分方程,动力学,一 定轴转动微分方程的推导,主动力:,约束力:,即:,或,或,13,动力学,14,13-4 刚体对轴的转动惯量,一定义,转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。,动力学,若刚体的质量是连续分布，则,刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量， 它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。,15,积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） 1 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求：对z轴的转动惯量 ； 对z 轴的转动惯量 。,动力学,二转动惯量的计算,解：,16,2 均质薄圆环对中心

6、轴的转动惯量,3均质圆板对中心轴的转动惯量,式中：,或,动力学,17,由所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。,2. 回转半径,对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。,动力学,3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。,18,证明：设质量为m的刚体，质心为C，,动力学,例如，对于例1中均质细杆z 轴的转动惯量为,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。,19,当物体由几个规则几何形状的物

7、体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。,动力学,4计算转动惯量的组合法,解：,例1 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。,20,解：,因为已知,应该为:,例 2 匀质细直杆长为L，质量为m ，已知 求：对zC 轴的转动惯量JzC 。问下面的作法是否正确？,动力学,21,13-5质点系相对于质心的 动量矩定理 刚体平面运动微分方程,一质点系动量矩,质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关

8、系。,动力学,二质点系相对质心的动量矩定理,质点系对于质心 C 的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在系统上所有外力对于质心的主矩，而与内力无关。,22,三刚体平面运动微分方程 设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系 可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内。,动力学,23,刚体平面运动微分方程,投影式：,刚体平面运动微分方程只能对质心写出,动力学,24,一基本概念 1动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。 2质点的动量矩： 3质点系的动量矩： 4转动惯量：物体转动时惯性的度量。,对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯

9、量要熟记。,动力学,动量矩定理基本内容小结,25,5刚体动量矩计算 平动： 定轴转动： 平面运动：,二质点的动量矩定理及守恒 1质点的动量矩定理,2质点的动量矩守恒, 若，则 常矢量。 若，则 常量。,动力学,26,三质点系的动量矩定理及守恒 1质点系的动量矩定理,动力学,2质点系的动量矩守恒, 若，则常矢量 若，则常量,四质点系相对质心的动量矩定理,27,或,动力学,28,六动量矩定理的应用 应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）,动力学,1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。 2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变