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文档简介

1、第八章 重积分第四节 重积分的应用,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为,设曲面的方程为：,如图，,一、曲面的面积,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,二、质心,当薄片是均匀的

2、，质心称为形心.,由元素法,由元素法,解:,下页,例3 求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心,所以,.,1,.,.,.,.,.,.,.,例4.,.,1,三、平面薄片的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,立体对于x 轴的转动惯量,立体对于y 轴的转动惯量,立体对于z 轴的转动惯量,解,例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量,取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a,解,球体所占空间闭区域可表示为,(x y z)| x2y2z2a2,所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz ,首页,四、引力,下页,设物体占有空间有界闭区域 其密度(x y z)为 上的连续函数 求物体对于物体外一点M0(x0 y0 z0) 处的质量为m的质点的引力,由于,所以,例7 设均匀柱体密度为 占有闭区域(x y z)|x2y2R2 0zh 求它对于位于点M0(0 0 a)(ah)处单位质量的质点的引力,解:,由柱体的对称性可知 沿x轴与y轴方向的分力互相抵消,故FxFy0 而,几何应用：曲面的面积,物理应用：

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