华中科技大学-杨超-运筹学13-存储论

1、第十三章 存储论,13.1 确定型经济订货批量模型 13.2 单周期随机需求模型,存储论的提出,？,？,？,水库蓄水问题; 生产用料问题; 商店存货问题; 等,存储论的基本概念,存储系统 是一个由订货、存储、需求三个环节紧密构成的现实运行系统。,主要作用 将供给与需求分离，为整个系统的平稳运行提供保障。,两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用,需求: 由于需求，从存储中取出一定的数量，使存储量减少，这是存储的输出。 需求类型：间断的, 连续的; 确定性的, 随机性的,几种相关的费用 订 购 费：包括联系、质检、运输、入库等与订购数 量无关的一次性费用 物资单价：是否与时间有关？是否与批量

2、有关？ 存 储 费：包括保管费、仓库占用费、流动资金利 息、存储损耗费等，与时间和数量成正比 缺 货 费：两种形式，停产形成的真正损失；商店断 货形成的机会损失,存储系统、费用和管理,补充(订货和生产)：由需求存货减少，必须加以补充，这是存储的输入。 拖后时间(订货时间): 补充存储的时间或备货时间 订货时间：可长，可短， 确定性的, 随机性的,常用的变量,单位存储费用 C1 缺货费用 C2 订货费用C3 需求速度 D 订货数(批)量 Q 货物单价 K 订货时间间隔 t 总平均费用 C(t),存储策略,How ？ Much？ When !,存储策略的类型： t0 -循环策略: 每隔 t0补充存

3、储量 Q。 (s, S)策略: 当存量 xs 时不补充, 当存量 x s 时不补充, 当存量 x = s 时, 补充量 Q = S - x。,13.1 确定型经济订货批量模型,模型1: 瞬间供货， 不允许缺货的经济批量模型,假设 缺货费用无穷大； 当存储降至零时，可以得到立即补充； 需求是连续的、均匀的； 每次订货量不变，订货费用不变（每次生产量不变，装配费不变）； 单位存储费不变。,经济订货批量,假定每隔 t 时间补充一次库存 R - 单位时间的需求量 Rt - t时间内的总需求量 Q = Rt - 订货量 订货费 C3 - 订货费，K - 货物单价 订货费为: C3 + KQ= C3+KR

4、t 平均订货费: C3/t+KR 存储费 平均存储量 : Rt/2 单位时间存储费: C1 平均存储费: RtC1/2,求极小值(用微分方法),最佳订货间隔,最佳订货批量,最佳费用,t 时间内的平均总费用,Annual cost (dollars),Lot Size (Q),Ordering cost (OC),Holding cost (HC),Total cost = HC + OC,C(t),1/2C1Rt,C3/t,t0,例1 某厂按合同每年需提供 D 个产品，不许缺货。假设每一周期工厂需装配费 C3 元。存储费每年每单位产品为 C1 元，问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者之和

5、最少。,解 设全年分 n 批供货，每批生产量 QDn，周期为 1/n 年(即每隔 1/n 年供货一次)。 每个周期内平均存储量为(1/2)Q， 每个周期内的平均存储费用为 全年所需存储费用,全年所需装配费用 全年总费用(以年为单位的平均费用)， 为求出 C()的最小值，把看作连续的变量 最佳批次 最佳周期 另外：t0 要取整数。,模型2: 瞬时供货，允许缺货的经济批量模型,假设 允许缺货； 立即补充定货，生产时间很短； 需求是连续的、均匀的； 每次订货量不变，订货费用不变（每次生产量不变，装配费不变）； 单位存储费不变。,天数,存储量,t1,t,t1,t,假设：C1 - 单位存储费用 C2 -

6、 缺货费 C3 - 每次订货费用 R - 需求速度 S - 最初存储量,天数,存储量,t1,t,t1,t,S,R(t-t1),S =Rt1,决策变量: S 和 t 存储费 t时间平均储量: t时间的存储费: 缺货费 平均缺货量: t时间内的缺货费,订货费：C3 t期间内的平均总费用 上式对t和S求偏导： 对S和t求偏导, 令其等于零, 求解得:,最佳周期 t0是模型1的最佳周期 t 的 倍， 又由于 ，所以两次订货时间延长了。 不允许缺货量，订货量为 最大缺货量为：,例：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批装配费用为5元，每月每件产品存储费用为0.4元，缺货费用为0.15元，

7、求E.O.Q及最低费用。 解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，,模型3: 边供应边需求，不允许缺货的经济批量 模型,假设 缺货费用无穷大； 不能得到立即补充，生产需一定时间； 需求是连续的、均匀的； 每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）； 单位存储费不变。,T 天数,存储量,T 天数,存储量,T 天数,存储量,t,t,假设：Q - 生产批量 T - 生产时间 P = Q/T - 生产速度 R - 需求速度 (R P) P - R - 存储速度 (生产时，同时也在消耗),天数,存储量,t,t,斜率 = -R,斜率

8、= P-R,决策变量: t 和 Q 在0,T区间内存储以P-R速度增加，在T,t内存储以R速度减少。且有(P-R)T = R(t-T) ，即 PT = Rt， 所以 T = Rt/P 又因 Q = PT，所以 Q = Rt 存储状态: 每一期的存储量: 每一期的存储费:,生产费(订货费)： 不考虑变动费: C3 单位时间总平均费用,最佳周期,最佳批量,最佳费用,最佳生产时间,库存的最高量,例：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批装配费用为5元，每月每件产品存储费用为0.4元，求E.O.Q及最低费用。 解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4,模

9、型4: 边供应边需求，允许缺货的经济批量 模型,假设 允许缺货； 不能立即补充定货，生产需要一定时间； 需求是连续的、均匀的； 每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）； 单位存储费不变。,假设：C1 - 单位存储费用 C2 - 缺货费 C3 - 每次订购费用 R - 需求速度 P - 生产速度,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,取 0, t 为一个周期，设 t1时刻开始生产。 0, t2 时间内存储为零，B为最大缺货量。 t1, t2 满足需求及 0, t1 内的缺货。 t2, t3 满足需求，存储量以P-R速度增加。 t3时刻

10、达到最大。 t3, t 存储量以需求速度R减少。,P - R,R,S,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,缺货费用：最大缺货量：B = Rt1 = (P - R)(t2 - t1) 平均缺货量：(1/2)Rt1 得： 0, t 内缺货费用1/2Bt2c2,B,P - R,R,S,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,B,P - R,R,S,存储费用：最大存储量：S = R(t - t3 ) = (P - R)(t3 - t2) 平均存储量: (1/2)(P - R)(t3 - t2) 得：,0, t 内存储费用:1/2(t-t2)SC1,装配费用：C3 t 时间内总平均费用：,上式对 t

11、和 t2 求偏导数得：,最佳生产间隔期,最佳生产批量,最大存储量,最大缺货量,最小费用：,模型5:不允许缺货，批量折扣模型,假设 不允许缺货； 立即补充定货，生产时间很短； 需求是连续的、均匀的； 每次订货量不变，订购费用不变； 单位存储费不变。 单价随购物数量而变化。,单价 K(Q),1,2,3,Q1,Q2,记货物单价为 K(Q)，设K(Q)按三个数量级变化：,单价 K(Q),1,2,3,Q1,Q2,当订购量为 Q 时，一个周期内所需费用为：,平均每单位货物所需费用为：,Q,C(Q) 平均单位费用,0,Q1,Q2,C1(Q),C2(Q),C3(Q),价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：

12、1、对 C1(Q1)（不考虑定义域）求得极值点为 Q0： 2、对 Q0 Q1，计算 由 得到单位货物最小 费用的订购批量 Q* 3、对 Q1= Q0 Q2，由 得到单位 货物最小费用的订购批量 Q* 4、对 Q2 Q0，则取 Q* = Q0。,上述步骤易于推广到单价和折扣分 m 个等级的情况。 如订购量为Q，单价为K(Q)，,平均每单位货物所需费用为：,平均每单位货物所需对 C1(Q)求得极值点为Q0。若 Qj-1= Q0 Qj，求 得到单位货物最小费用的订购批量 Q*,例：某厂每年需某种元件5000个，每次订购费用为50元，每年每件产品存储费用为1元，元件单价随采购数量的变化如下： 求E.O

13、.Q及最低费用。 解：R = 5000, C3 = 50, C1 = 1， 利用E.O.Q.公式计算：,因 Q0 = 707 1500，分别计算每次订购707个和1500个元件所需平均单位元件费用： 因C(1500) C(707)知最佳订购批量 Q = 1500。,13.2 单周期随机需求模型,？,？,问题的引入 需求为随机的，其概率或分布为已知 例：商店对某种商品进货300件，这300件商品可能在一个月内售完，也有可能在两个月之后还有剩余。,例 某商店拟在新年期间出售一批日历画片。每售一千张可赢利7元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损

14、4元。市场需求的概率见下表每年只订一次货，问应订购多少张使利润的期望值最大？,解：如果订货4千张，获利的可能数值为： 当市场需求为0时获利为一44 = -16(元) 当市场需求为1时获利为一43 + 7 = -5(元) 当市场需求为2时获利为一42 + 72 = 6(元) 当市场需求为3时获利为一41 + 73 = 17(元) 当市场需求为4时获利为一4O + 74 = 28(元) 当市场需求为5时获利为一40 + 74 = 28(元) 订购量为4千张时获利的期望值 EC(4) =(-16)0.05 +(-5)0.10+ 60.2 + 170.35 + 28O.15+ 28O.10 = 13.

15、15(元),本例还可以从相反的角度考虑求解。当订货量为 Q 时， 供过于求的情况，可能发生滞销赔损； 求过于供的情况，可能发生因缺货而失去销售机会的损失。 把这两种损失合起来考虑，取损失期望值最小者所对应的 Q 值。,与确定性模型不同的特点： 不允许缺货的条件只能从概率的意义方面理解，如不缺货的概率为0.9等等。 存储策略的优劣： 以赢利的期望值的大小作为衡量的标准。,当该店订购量为2千张时，计算其损失的可能值 当市场需求量为O时滞销损失为(-4)2-8(元) 当市场需求量为l时滞销损失为(-4)1-4(元) 当市场需求量为2时滞销损失为 0(元) (以上三项皆为供货大于需求时滞销损失) 当市

16、场需求量为3时缺货损失为(-7)l-7(元) 当市场需求量为4时缺货损失为(-7)2-14(元) 当市场需求量为5时缺货损失为(-7)3-21(元) (以上三项皆为供货小于需求时，失去销售机会而少获利的损失) 订购量为2千张时缺货和滞销两种损失的期望值 EC(2) =(-8)0.05+(-4)0.10+ 00.25 +(-7)0.35 +(-14)O.15+(-21)O.10 = -7.45(元),订购3000张时，损失最小为4.85元。,模型6:离散型随机需求存储模型,报童问题 报童每天售报是 个随机变量。报童每售出一份报纸赚 k 元，报纸未能售出，每份赔 h 元。每日售出报纸份数的概率为

17、P(r)，问报童每日最好准备多少份报纸。,1、损失期望值最小法 设售出报纸数量为r，其概率为P(r)， 设报童订购报纸数量为Q， 供过于求(rQ)，报纸因缺货的损失的期望值,当订货量为Q时，总的损失期望值为 决定Q值，使C(Q)最小。,R 是离散变量，不能求导求极值。 求C(Q)步骤如下： 设报童订购报纸数量为Q， 若C(Q)最小，则有： 由(1)式有： 简化后有：,由(2)式有： 简化后有：,由上面两个不等式得报童应准备的报纸是佳数量为： 从上面的不等式出发，确定最优批量Q。,2、赢利期望值最大法 供过于求(rQ)，只有r份报纸可售，报纸赢利期望值为：,当订货量为Q时，总的赢利期望值为： 决

18、定Q值，使C(Q)最小。,r是离散变量，不能求导求极值。 求C(Q)步骤如下： 设报童订购报纸数量为Q， 若C(Q)最大，则有：,由(1)式有： 简化后有：,由(2)式有：,由上面两个不等式得报童应准备的报纸是佳数量为： 从上面的不等式出发，确定最优批量Q，上面不等式与方法1求得的结果相同。,例 某商店拟在新年期间出售一批日历画片。每售一千张可赢利7元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损4元。市场需求的概率见下表每年只订一次货，问应订购多少张使利润的期望值最大？,解：,该店订购3千张日历为最佳。,模型7:连续型随机需求存储模型,需求为连续的随机变量 设货物单位成本为K 单位售价为P， 单位存储费用为C1， 需求r是连续随机变量，密度函数为（r），其分布函数为 生产或订货量为Q,Q,T,W,S,连续需求,当订购数量为Q时： 实际的售量应当是： minr