用微分方程建模.ppt

1、用微分方程建模,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,引言 Malthus模型和Logistic模型 正规战与游击战,X代表一大群居民在某个时刻 t 的人数,表示当前的人口数量,人数变化,从物理上解释成 x 在时间段t上的平均变化率,(差分方程),引 言,由导数的定义得到下面的微分方程,导数起着两种不同的作用,（1）在连续问题中表示瞬时变化率,（2）在离散问题中逼近平均变化率,常见的有瞬时速

2、度，切线斜率,英国人口统计学家马尔萨斯（17661834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年（23岁）在人口原理一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型。,人口增长（Malthus）模型,1）世界人口增长概况,2）中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,基本假设： 在人口自然增长过程中, 单位时间内出生率为b,死亡率为c，净相对增长（出生率与死亡率之差：r=b-c）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数为r,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.,1、指数增长模型,或,用瞬间变化率来逼近平均变化率,

3、精确解为,结论：随着时间增加，人口按指数规律无限增长,r=0.2743/10年，xm=4.188,数据拟合：,r=0.2022/10年， xm=6.0450,可以求出r,指数增长模型的应用及局限性：,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,2.阻滞增长模型(Logistic模型)马尔萨斯模型的改进,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设：,r固有增长率(x很小时

4、),xm人口容量（因资源、环境等能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型)：,Logistic曲线,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型

5、),x(2010)=306.0,分析讨论,人口极限xm。 这说明人口是时间t的单调递增函数； 在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期,模型推广应用,人体身高变化 体重变化 分形模型 产量变化,存在问题,r的计算 数据的采集 模型比较 预测范围 软件实现,正规战与游击战,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结

6、局的模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t), v(t),f, g 取决于战争类型,x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py, ry 射击率， py 命中率,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加

7、而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率,c = ry py ry射击率 py 命中率,游击战争模型,线性律 模型,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),实验目的,实验内容,2学会用MATLAB求微分方程的数值解,1学会用MATLAB求简单微分方程的解析解,1求简单微分方程的解析解,2求微分方程的数值解,求微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,（二）建立数值解法的一些途径,（三）用MATLAB软件求常微分方程的数值解,返 回,微分方

8、程的解析解,求微分方程（组）解析解的命令:,dsolve(方程1,方程2,方程n,初始条件,自变量),To MATLAB（ff1）,结 果：u = tg(t-c),解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）,To MATLAB（ff2）,解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z),结 果 为：x = (

9、c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,To MATLAB（ff3）,返 回,微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的,返 回,（二）建立数值解法的一些途径,1用差商代替导数,若步长h较小，则有,

10、故有公式：,此即欧拉法,2使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法,故有公式：,3使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法,4数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）（其中k为正整数，h为步长）时，称它是一个k阶公式,k越大，则数值公式的精度越高,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式 线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式,返 回,（三）用MATLAB软件求常微分方程的数值解,t，x=solver(f,ts,x0,

11、options),1在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量，M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出,2使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组,注意:,解: 令 y1=x，y2=y1,1建立M文件vdp1000m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2取t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3结果如图,To MATLAB（ff4）,解 1建立M文件rigidm如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y