次课随机变量的函数的分布.ppt

1、电子课件,史 册 主讲,概率论与数理统计,随机变量 随机变量的分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布,第二章 一维随机变量及其分布,教学基本要求,掌握：二项分布 、泊松（Poisson）分布、均匀分布 、指数分布、正态分布及其应用。 熟悉：计算与随机变量相联系的事件的概率，求随机变量函数的分布。 理解：随机变量的概念，分布函数的概念及性质，离散型随机变量及其概率分布的概念，连续型随机变量及其概率密度的概念。 了解： 01分布，几何分布，超几何分布，泊松定理的结论和应用条件，用泊松分布近似表示二项分布。 重点：二项分布 、正态分布及其应用，离散型随机变量及其概

2、率分布，连续型随机变量及其概率密度。 难点：随机变量函数的分布,例：若随机变量 且 则,例：设随机变量 ，且二次方程 无实根的概率为0.5，则,例：在电源电压不超过200伏，在200-240伏，和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.0001,0.2。假设电源电压服从正态分布 ，试求（1）该电子元件损坏的概率 （2）该电子元件损坏时电源电压在200-240伏的概率,求 P ( X 0 ).,解一,解二 图解法,0.2,由图,练习：设 试计算,解：,对于标准正态随机变量,的定义.,三、本节小结,2. 常见连续型随机变量的分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界和社

3、会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量.,3. 正态分布是概率论中最重要的分布,二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布.,C.F. Gauss是 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉（1+2+100,尺规作图：正三角形，正17边形，墓碑为正17边形），被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。 高斯在数学上的理论若全部贡献，数学将前进半个世纪。阿基米德、牛顿、高斯是世界上三大数学贡献者。,高斯资料

4、,一、离散型随机变量的函数的分布,二、连续型随机变量的函数的分布,三、小结,第五节 随机变量的函数的分布,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,例如，已知圆轴截面直径 D 的分布，,设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,一、离散型随机变量的函数的分布,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.,离散型随机变量的函数的分布,Y 的分布律为,解,求: (1) Y=3X+2的分布律 (2) Y=X2的分布律,练习 设离散型随

5、机变量X的分布律为,二、连续型随机变量的函数的分布,（1）如果在X的取值区间上，函数Y=g(X)的可能取值 为有限或者可列个，则Y是离散型随机变量，其分布律为,连续型随机变量的函数Y=g(X)未必是连续型随机变量 ，需要根据函数的具体情况分析。以下记X的密度函数为,设随机变量 ，定义X的函数,求Y的分布律,（2）如果在X的取值区间上，函数Y=g(X)的可能取值充满整个区间，则Y是连续型随机变量,第一步 先求Y=2X+8 的分布函数,解,例,第二步 由分布函数求概率密度.,本例用到变限的定积分的求导公式:,本例用到变限的定积分的求导公式:,由分布函数的定义,先求Y=g(X)的分布函数:,FY(y

6、)=P(Yy)=P(g(X)y),求Y=g(X)的概率密度的一般方法 (分布函数求导法):,然后求上式对y的导数,得Y的概率密度:,fY(y)=FY(y),在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X,从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,试证 X 的线性函数 Y=aX+b (a 0) 也服从正态分布.,证 X 的概率密度为,例 设随机变量 X(, 2 ),显然 y = g(x) = a x+b可导且g =a 保号,Y=aX+b 的概率密度为,由定理知, Y = aX+b (a +b, (|a| )2 ),即,注 取 , 验证函数可导且单调, 求反函数及其导数

7、, 代入定理公式即得函数的密度,注意取绝对值,有 , 确定y的取值范围,先转化为分布函数, 再求导,已知 X 的概率密度为,求Y = sinX 的概率密度.,练习,利用分布函数求概率密度：,函数 y = g(x) = sinx 在0,上为非单调函数，,解,故不能用定理求.,x0, 时,y 0 时,0y1时,= P(0 X arcsin y)( -arcsin y X ),y 1时,= P(0 X arcsin y) + P( -arcsin y X ),= 1.,分布函数法,不必计算积分,练习 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,思考 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单增的连续函数, 证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明: 设Y的分布函数是G(y),于是,对y1, G(y)=1;,对y0 , G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X) y),=P(X (y),=F( (y)= y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度