函数的上升与下降单调性.ppt

1、,一、函数的上升与下降（单调性）,o,o,a,b,a,b,从导数的几何意义考察函数的单调性：,Th. 1 （导数的正负与函数升降的关系）,证明：由极限保号性、中值定理可证.,Corollary（严格单调的充分条件）若f (x)在a,b连 续，在(a,b)可导，且 不变号，则,注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: 确定 的定义域； 求 ，令 求出分界点； 用分界点将定义域分成若干个开区间； 判别 在每个开区间内的符号，即可 确定 的严格单调性（严格单调区间）.,例1. 讨论 的上升、下降情况.,解：该函数的定义域是 R. 由,它们将 R 分成三个区

2、间：,例2.,解：定义域是 R. 由,现列表讨论如下：,Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：,(1) 在a,b上可导;,注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式,y,x,M,o,a,x,b,Th. 2 若F(x)满足,证明：,例3. 证明,证明：,从而得证.,例4.,证明：,例5. 证明方程,证明：,二、函数的极值,1. Def（局部极值）,o,a,b,x,y,注3. 函数的极值的局部性. 定义中可以有,结论,o,x,y,y=2x,y=x,Th.3 （极值的必要条件）,由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后，如何判定 它是取极大值还是极小值呢？,

3、图示可见, 由导数符号可判定极大极小值点.,Th. 4 （极值判别法之一）,证明：由函数的升降性及极值定义得到.,列表如下：,注4.,Th.5 （极值判别法之二）,证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.,Th. 5,(1),(2),定理5是定理5的特殊情形.,证明：根据Taylor公式, 有,例6.,解：,现列表讨论如下：,例7.,解：,例8.,解：,三、函数的最大值和最小值,最大、最小、最省的问题,如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？,最大值、最小值问题,y,x,a,O,b,注1： 函数在某一区间上的最大值和最小值, 也叫全局极值.,可导函数在a,b上的最大、最小值的求解步骤：,

4、注2：,例9.,解：,所以函数的最大值是0, 最小值是2.,例10. 某生产队要建造一个体积为 50 立方米的有盖圆柱形氨水池. 问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？,解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小. 设氨水池的底半径是 r, 高是 h, 它 的表面积,h,r,O,用V50立方米代入，得到,答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。,四、函数的凸性,是描述函数性状的一个更深入的概念.,例如：,上凸,下凸,几何角度：,1. Def（函数的凸性）,注：函数的凹凸性，下凸即是上凹.,2. 函数的凸性与其导数的关系,Th. 6,证明：,由Lagrange公式，得：,In fact,

5、其中，,由得 上凸，故 下凸.,Def: 若曲线 在其上一点 的 一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线 的拐点.,x,y,o,y =f (x),注：,y,x,o, 求 ； 令 ，求解，并划分f (x)的定义域为若干 个开区间. 判别 在每个开区间的符号. 设 , 列表讨论如下：,3. 讨论 f (x) 的凸性及拐点的步骤,注：对 不存在的点亦可类似讨论.,例1. 讨论 的凸性及拐点.,解：,x,y,o,1,例2.,解：其定义域是 R. 由,x,y,o,1,1,-1,-1,又,列表如下：,统一列表如下:,4. 曲线的渐近线,x,y,o,双曲线,的渐近线,如何求之？,曲线的渐近线有两种： 垂直

6、渐近线； 斜渐近线 （包括水平渐近线）,y,x,o,P,K,M,Def: 当曲线 C 上动点 M 沿着曲线 C 无限远移时，若动点 M 到 某直线 l 的距离无限趋于零，则称直线 l 是曲线 C 的渐近线.,(1)垂直渐近线,例如：, 斜渐近线,如何求出渐近线 呢？,因 是常数，故,Prop: 直线 是曲线 的斜渐近线 a与b 由与式分别确定.,因此得,从而,由得,特别，当 a = 0 时，就是水平渐近线. 即：,直线 是水平渐近线,例3.,解：由于,故 x = 1 为 f (x) 的垂直渐近线.,又,故,故 是渐近线.,例4. 求双曲线 的渐近线.,解：,因函数在,例5. ,利用函数特性描绘

7、函数图形, 一般步骤：,5. 函数的图形,(1) 确定函数 的定义域, 讨论函数的奇偶性、 对称性、周期性等性态;,(2) 求出使 不存在的点, 把函数的定义域划分成几个部分区间;,(3) 根据 的符号, 确定函数的上升或下降区间, 图形的上凸或下凸区间, 以及极值和拐点; 可列表讨论;,(4) 确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线;,(5) 描点作图. 描出极值点、拐点, 曲线与坐标轴的交点.,例12.,解：,(3) 列表讨论如下：,表1. 函数的上升、下降和极值.,表2. 函数的上凸、下凸和拐点.,表3. 统一列表,(5) 曲线与坐标轴的交点为 (1,0) . 作图如下：,Matlab程序,例13.,解：,（3）列表讨论如下：,上 凸,下 凸,无 定 义,又因为,(5) 曲线与坐标轴交于原点, 作图如下：,Matlab程序,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,五、小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,注意最值与极值的区别