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文档简介

1、6.2.1 可分离变量的微分方程,6.2 典型的一阶微分方程.,转化,解分离变量方程,一、可分离变量方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,二、典型例题,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:

2、,通解为,解,设一物体的温度为,将其放置在空气温,变化规律.,解,设物体的温度 与时间 的函数关系为,下面来求上述初值问题,其中 为比例常数.,的解.,根据冷却定律:,温度的变化率,物体,与物体和当时空气温度之差成正比,建立该问题的数学模型:,于是,两边积分,得,即,其中,从而,得,所求规律为,分离变量,得,注：,物体冷却的数学模型在多个领域有着广泛的应,度推断这个人死亡时间,算解决.,用.,例如,法医要根据尸体当时的温,警方破案时,就可以利用这个模型来计,例 6,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中

3、容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,时,解,则,已知,当,求,设,所以原方程变为,即,所以,故,1.分离变量法步骤:,(1)分离变量;,(2)两端积分-隐式通解.,三、小结,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如: P275,(6.1) ),2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例5 , 例 6 ),3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例7 ),(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.,2

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