电磁场与微波技术第三章 1

1、1,第3章 静态场,电感,能量,边界条件,分离变量,电容,镜像法,电流场,磁场,电场,2,第3章 静态场,3.1 静电场 3.2 静磁场 3.3 恒定电流场和恒定电场 3.4 静态场的边界条件 3.5 静态场中的双导体系统 3.6 静态场的能量 3.7 静态场的比拟 3.8 静态场的边值问题及镜像法,3,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位 3.1.2 静电场中的导体 3.1.3 静电场中的介质 3.1.4 方程及性质,4,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位,（1） 电压,移动单位正点电荷电场力所作的功，即,式中Aab在电场中将试验电荷qt从a移至b，电场力所作功,性质静电场中任意两

2、点间的电压与积分路径无关。,（2） 电位 场点相对于参考点的电压,设场中Q点为电位参考点，则场中某点a至参考点的电压即a点的电位为,电位为标量和，标量积分。,5,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位,（1） 电压,（2） 电位,电位参考点选择原则上可任意选择，应使电位表达式简单。 一般电荷在有限区域,（3） 电位参考点,取定参考点，各点至参考点电压为定值，成为场点函数，可用于描述场的性能。,工程上,6,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位,（1） 电压,（2） 电位,（3） 电位参考点,注意, 场中任意两点的电位差与参考点无关。, 同一个物理问题，只能选取一个参考点。, 选择参考点尽可

3、能使电位表达式比较简单，且要有意义。, 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；, 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。,7,例 点电荷产生的场中的电位,表达式无意义,（4） 电位的表达式,点电荷,连续分布电荷,式中,8,例 求半径为a、均匀带电量为q的圆环轴线上距环中心点为z的p点的电位。,解 在带电圆环上取电荷微元dq，得电荷微元在p点产生的电位为,注意：叠加求电位为标量积分或标量和。,积分得,9,例 设球壳半径为a，球壳表面上的电荷为q；求均匀带电球壳内部和外部的电位。 解在球壳上取半径为 ，宽度为 的圆环，圆环在轴上z点产生的电位为,其中，,当,10,3.1 静电场,3.1

4、.1 静电场的电位,将单位试验正电荷从a移至b，电场力所作功A等于位能的减少，即,（5）电位梯度,设场中有相距很近的两点a、b，其间距为l，电位差为,表征电场强度和电位之间的关系,可得,一般表达式应为,11,直接求电场强度。,解 取坐标系如图，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度l 。,12,根据电位的表达式,13,在静电场中可通过求解电位函数，再利用上式可方便地求得电场强度。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。,上式表示，在静电场中，任意一点电场强度的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位,（5）电

5、位梯度,问题：静电场中的某一点,14,设P0为参考点，则,电场强度与电位的微分关系为,电场强度与电位的积分关系为,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位,（5）电位梯度,15,即,（6）电位方程,由场论公式,可得,及高斯定律,，当为常数时，有,拉普拉斯方程。,，则,；又,，则,，在场论中,，则有,泊松方程；,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位,16, 电力线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度的方向一致，若 是电力线的长度元，电场强度的方向将与 方向一致，,故电力线微分方程,在直角坐标系中，微分方程,的解即为电力线的方程。,（7）电力线和等位线（面）,3.1 静电场,3.1.1 静电

6、场的电位,17,当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。, 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即,等位线(面)方程:,电力线与等位线（面）的性质：, 电力线不能相交；, 电力线愈密处，场强愈大；, 电力线与等位线（面）正交。, 电力线起始于正电荷，终止于负电荷；,（7）电力线和等位线（面）,3.1 静电场,3.1.1 静电场的电位,18,点电荷与接地导体的电场,点电荷与不接地导体的电场,电偶极子的电力线和等位线,19,均匀场中放进了介质球的电场,均匀场中放进了导体球的电场,点电荷位于一块介质上方的电场,点电荷位于一块导平面上方的电场,20,3.1 静电场,3.1.2 静电场中的导

7、体,电荷分布在导体表面，且,21,A C D B,d,Ex.1 (a),求极板间 及极板上的,22,A C D B,d,Ex.1 (b),求极板间 及极板上的,a,23,Ex.2 线间电压,求导线表面最大及最小电荷密度,y,x,a,d,24,3.1 静电场,3.1.3 静电场中的介质,无极性分子,有极性分子, 电介质在外电场E 作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。,25,式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向正极化电荷。,用极化强度P 表示电介质的极化程度，即,实验结果表明，在各向同性、线性、均匀

8、介质中,各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。,-电介质的极化率,无量纲量。,3.1 静电场,3.1.3 静电场中的介质,引入D-电位移矢量,26,解 建立坐标系，,代入上式，得,用二项式展开，又有，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,例,求电偶极子的电位表达式 。,在球坐标系中，,27,根据一个电偶极子产生的电位,极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：,式中,电偶极子产生的电位,体积V内电偶极矩产生的电位,28,矢量恒等式：,散度定理,令,极

9、化电荷体密度,极化电荷面密度,这就是电介质极化后，由面极化电荷和体极化电荷共同作用在真空中产生的电位。,29, 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度, 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和, 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为,30,D,E,P,电力线、电位移线和极化强度线,31,A B,d,Ex.3 (a),求极板间 及极板上的,32,A B,d,Ex.3 (b),求极板间 及极板上的,33,A B,d,Ex.3 (c),求极板间 及极板上的,34,3.1 静电场,3.1.4 方程及性质,静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：

10、,35,解 根据静电场的旋度恒等于零的性质,例 已知 试判断它能否表示个静电场？,对应静电场的基本方程 ，矢量 A 可以表示一个静电场。,能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?,36,3.2 静磁场,3.2.1 静磁场的磁矢位 3.2.2 磁标位 3.2.3 静磁场中的媒质 3.2.4 方程及性质,37,3.2 静磁场,3.2.1 静磁场的磁矢位,(1) 磁矢位 A 的引出,由,磁矢位A也可直接从 Biot Savart Law 导出。,A - 磁矢位(Magnetic vector potential)， 单位： wb/m（韦伯/米）。,在直角坐标系下， 可以展开为,38,令无限远

11、处A的量值为零（参考磁矢位），则各式的特解分别为,每个电流元产生的磁矢位 A 与此元电流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。,矢量合成后，得,面电流与线电流引起的磁矢位为,3.2 静磁场,3.2.1 静磁场的磁矢位,(1) 磁矢位 A 的引出,39,例 空气中有一长度为l，截面积为 S ，位于z 轴上的短铜线，电流 I 沿 z 轴方向，试求离铜线较远处（R l）的磁感应强度。,由于 ，,1) 矢量积分求A,解 取圆柱坐标,位于坐标原点的短铜线,3.2 静磁场,3.2.1 静磁场的磁矢位,(2) 磁矢位 A 的应用,40,根据, 能否用安培环路定律来求解此问题?,位于坐标原点的短铜线,3.2

12、静磁场,3.2.1 静磁场的磁矢位,(2) 磁矢位 A 的应用,得,41,例 应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。,解,长直载流细导线的磁场,42,例 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。,解 这是一个平面磁场。,由上例计算结果, 两导线在 P点的磁矢位,圆截面双线输电线,43,在工程数值中经常用此公式此公式计算磁通，并由此得到其它等效参数。,3) 在平面磁场中， ，等 A 线可表示磁感应强度B 线。,2) 从磁矢位 A 计算磁通,（韦伯）,在直角坐标系中，B 线方程为,44,即平面磁场中的等 A 线可以代表 B 线。,可以证明：在轴对称磁场中， ,代表 B 线。,等 A 线不是 A

13、线，只涉及 A的大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映B的大小分布。,A 线,等 A 线与 B 线关系,45,如前面例题，两线输电线的B线即等 A 线的方程为,等 A 线（B 线）是一束包围导线的偏心圆族。其圆心坐标是 圆的半径是 。,46,可见双线输电线的磁场的等 A 线 ( B 线 )的图形与静电场中两根线电荷的等电位线的图形是一致。,双线输电线的磁场,双线输电线的电场,47,解 采用圆柱坐标系， 且,例 一半径为a的带电长直圆柱体，其电流面密度 , 试求导体内外的磁矢位 A 与磁感应强度 B。（导体内外媒质的磁导率均为0 ）,通解为,长直带电圆柱导体,4) 微分方程法求A,48,3.2 静

14、磁场,3.2.2 磁标位,恒定磁场和静电场不同, 它是有旋场, 因而不能用标量位函数来表示。但是在没有传导电流的区域中, H的旋度等于零, 在这种无传导电流的区域中, 可写为,上式m称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位, 式中负号是为了与静电场相对应而人为地引入的。 在均匀介质中, 根据B=0, B=H, 及H=- m, 可得,49,-标量磁位，简称磁位（Magnetic Potential）， 单位：A（安培）。, 磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。,磁位 的特点：, 等磁位面（线）方程为 常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直。, 的多值性,3.2 静磁场,3.2.2 磁

15、标位,50,磁位 的边值问题,在直角坐标系中,（适用于无自由电流区域）,微分方程,3.2 静磁场,3.2.2 磁标位,51,2）媒质的磁化,无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，,磁偶极子,磁偶极子受磁场力而转动,1）磁偶极子,I-分子电流，电流方向与ds 方向成右手螺旋关系,Am2,磁偶极矩,在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 转矩为Ti=miB， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。,媒质的磁化,3.2 静磁场,3.2.3 静磁场中的媒质,52,2）媒质的磁化,用磁化强度（Magnetization Intensity）M 表示磁化的程度，即,A/m,3.2 静

16、磁场,3.2.3 静磁场中的媒质,3）磁化电流,体磁化电流,面磁化电流, 有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化电流共同作用在真空中产生的磁场。,结论：, 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应,53,3.2 静磁场,3.2.4 方程及性质,媒质的性能方程,恒定磁场的基本方程表示为,磁通连续原理,安培环路定律,恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源,54,例 试判断 能否表示为一个恒定磁场？,F2不可能表示恒定磁场。,F1可以表示为恒定磁场。,解：,55,3.3 恒定电流场和恒定电场,3.3.1 恒定电流场及电流连续性方程 3.3.2 欧姆定律 3.3.3 焦耳定律 3.3.4

17、电源及电动势 3.3.5 恒定电场 3.3.6 恒定电场方程,56,I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。,电流面密度矢量,单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。,3.3.1 恒定电流场及电流连续性方程,57,根据电荷守恒原理, 单位时间内由闭合面S流出的电荷应等于单位时间内S面内电荷的减少量。因而得,在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间变化,故dQ/dt=0所以得,恒定电流连续性方程的微分形式,3.3.1 恒定电流场及电流连续性方程,58, 恒定电流场与恒定电场相互依存。电流J与电场E方向一致。, 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即U=RI,欧姆定律的微分形式。,

18、式中 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。,电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明, 在各向同性导电媒质中，电位移矢量D 线与电流密度J 线方向是否一致？,3.3.2 欧姆定律,59,可以证明其功率的体密度为,（W/m3）,-焦耳定律的微分形式,-焦耳定律的积分形式,3.3.3 焦耳定律,导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。根据电路理论, 有,（W）,60,要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。,(1) 电源,恒定电流的形成,3.3.4 电源及电动势,61,因此,局外场 Ee 是非保守场。,考虑局

19、外场强,(2) 电源电动势与局外场强,设局外场强为 ，则电源电动势为,电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。,电源电动势与局外场强,3.3.4 电源及电动势,62,3.3.5 恒定电场,恒定电流场物理量 电流密度J(r),恒定电场物理量 电场强度E(r),63,3.3.6 恒定电场方程,在恒定电场中,散度定理,恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。,故,电荷守恒定律,(1) J的散度,64, 恒定电场是无源无旋场。,(2) E的旋度,-恒定电场是无旋场。,(3) 恒定电场（电源外）的基本方程,所取积分路径不经过电源，则,斯托克斯定理,得,3.3.6 恒定电场方程,65,3.4

20、静态场的边界条件,3.4.1 静电场的边界条件 3.4.2 静磁场的边界条件 3.4.3 恒定电场的边界条件,根据,以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。,（1） 电位移矢量D的边界条件-电场的法向分量,分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。,则有,3.4.1 静电场的边界条件,根据 则有,（2） 电场强度E的边界条件-电场的切向分量,以点P 作为观察点，作一小矩形回路（ ）。,分界面两侧 E 的切向分量连续。,3.4.1 静电场的边界条件,表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量； （2）导体表面上任一点的D 就等于该点的

21、自由电荷密度 。,当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的边界条件为：,导体与电介质分界面,例 导体与理想介质的交界面分析,3.4.1 静电场的边界条件,在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。,折射定律,分界面上E线的折射,（3） 静电场的折射定律,3.4.1 静电场的边界条件,因此,表明 在介质分界面上，电位是连续的。,（4） 电位的边界条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则,电位的边界条件,3.4.1 静电场的边界条件,表明 一般情况下 ,电位的导数是不连续的。,对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的边界条件应是如何呢？,（4） 电位的边界条件,3.4.1 静

22、电场的边界条件,72,E=12ax+24ay-36az V/m,x,例 如图，4层介质的交界面均为平面。已知各层介质的介电常数及第3层介质中的电场强度。求各层介质中的电场强度和电位移矢量的表达式。,解 忽略边缘效应,例 如图所示平行板电容器,已知 和 ,且已知极板间电压U0 , 试分别求其中的电场强度。,解 忽略边缘效应,例 如图所示平行板电容器,已知 和 , 且已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。,75,(1) B 的边界条件-磁场的法向分量,在媒质分界面上，包围P点作一小扁圆柱，,令 ，则根据 ,可得,B 的法向分量连续,3.4.2 静磁场的边界条件,76,H 的切向分量不连续,H

23、 的切向分量连续,当K=0,在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路 。,令 ,根据,可得,(2) H 的边界条件-磁场的切向分量,3.4.2 静磁场的边界条件,77,当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度K，则,折射定律,(3) 磁场的折射定律,3.4.2 静磁场的边界条件,例 分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。,解,表明 只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。,78,即,A/m,T,解,例 设x=0平面是两种媒质的分界面。 ,分界面上有面电流,A/m,且 A/m， 试求B1,B2与 H2 的分布。, 若面电流 , 答案？,79,说明分界

24、面上电场强度的切向分量是连续的，电流密度法向分量是连续的。,折射定律为,电流线的折射,(1) 分界面上的边界条件,3.4.3 恒定电场的边界条件,80,例 两种特殊情况分界面上的电场分布。,由折射定理得,，则,解 a) 媒质1(电极)是良导体，,媒质2(土壤)是不良导体,它表明，只要 ，电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。,(1) 分界面上的边界条件,3.4.3 恒定电场的边界条件,b） 媒质1是导体， 媒质2是理想介质 情况。,81,说明 导体表面是一条电流线。, 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的）面电荷分布。, 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面

25、。,若 （理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。,导体周围介质中的电场,导体与理想介质分界面,载流导体表面的电场,解 忽略边缘效应,例 如图所示平行板电容器,已知 和 , 且已知极板间电压U0 , 试分别求其中的电场强度。,如果电容器中两种介质的漏电导分别为 和 求平行极板间场量的分布，以及电荷的分布。,83,例 如图所示厚度为h的薄圆弧形导电片，由两种导电媒质组成。求导电片的电位分布。,解 建立如图所示的圆柱坐标系。由于圆弧厚度小，恒定电场沿z方向的变化可以不计。根据导体与理想电介质分界面条件，半径为R1和R2,的圆弧线是电流线，即没有沿半径方向的电流。因此电位沿

26、半径方向不变。,这样导电片中电位只与,有关。电位满足拉普拉斯方程,84,解之得,边界条件,电位,85,3.5 静态场中的双导体系统,3.5.1 电容 3.5.2 电感,86,3.5.1 双导体系统的电容,定义： 单位：,电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。,电容的计算思路：,工程上的实际电容：,电力电容器， 电子线路用的各种小电容器。,87,电容的计算思路：,例 试求球形电容器的电容。,解 设内导体的电荷为 ,则,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当,时,（孤立导体球的电容）,3.5.1 双导体系统的电容,88,3.5.1 双导体系统的电感,(1) 自感,在线性各向

27、同性媒质中，L 仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。,回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。,即,单位：H（亨利）,89,自感计算的一般步骤：,设,自感又分为内自感 Li 和外自感 L0 。,-内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回 路电流比值。,-外自感是导体外部 闭合的磁链与回路 电流的比值。,3.5.1 双导体系统的电感,(1) 自感,90,解 总自感,例 试求图示长为 的同轴电缆的自感 L。,同轴电缆内导体纵截面,1)内导体的内自感,2）外导体内自感,91,3） 内、外导体间的外自感,总电感为,92,例 设传输线的长度为 ,试求图示两线传输线的自感。,解 总自

28、感,设,内自感,解法一,93,设,总自感为,解法二,94,例 设环形铁心的内、外半径分别为a、b，高度为h，线圈匝数N，铁心开裂口的圆心角，试求该铁心开裂前后线圈的自感。,95,(2) 互感,式中，M21 为互感， 单位：H（亨利）,在线性媒质中，回路1的电流 产生与回路2相交链的磁链 与 成正比。,同理，回路2对回路1的互感可表示为,可以证明,3.5.1 双导体系统的电感,96,(2) 互感,互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。,计算互感的一般步骤：,电流I1 产生与回路2交链的磁链,设,3.5.1 双导

29、体系统的电感,97,(3) 聂以曼公式,应用磁矢位 A 计算互感与自感的一般公式。, 求两导线回路的互感,得,则两细导线回路间的互感,设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为,穿过回路2的磁通为,两个细导线电流回路,98,例 试求图示两对传输线的互感。,解 根据互感定义，只需假设一对传输线的电流方向；另一对传输线的回路方向。,导线 B 的作用,导线 A的作用,两对传输线的互感,由于这两个部分磁通方向相同,99,a,b,c,例 试求图示直导线与N匝矩形线圈之间的互感。,100,例 设环形铁心的内、外半径分别为a、b，高度为h，线圈匝数N，铁心开裂口的圆心角，试求该铁心开裂前后线圈与中心

30、直导线之间的互感。,101,3.6 静态场的能量,3.6.1 静电场的能量 3.6.2 静磁场的能量,102,3.6.1 静电场的能量,静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。,1) 连续分布电荷系统的静电能量,假设： 电荷系统中的介质是线性的；,(1) 带电体系统中的静电能量, 电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为 、 ,在充电过程中， 与 的增长比例为 m， 。, 建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。,103,这个功转化为静电能量储存在电场中。,体电荷系统的静电能量,t 时刻，场中P点的电位为 若将电荷增量 从无穷远处移至该点，,外力作功,t时刻电荷增量为,

31、电位为,面电荷系统的静电能量,线电荷系统的静电能量,104, 式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。,即,3.6.1 静电场的能量,(1) 带电体系统中的静电能量,2) 带电导体系统的静电能量, 是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。,1) 连续分布电荷系统的静电能量,105,(2) 静电能量的分布及能量密度,V-扩大到无限空间，S-所有带电体表面。,应用散度定理,推导能量密度用图,得,矢量恒等式,3.6.1 静电场的能量,106,得,J,静电能量,能量密度,凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。,结论,注,(2) 静电能量的分布及能量密度,3.6.1 静电场的能量,

32、推导能量密度用图,107,例 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 的介质球产生的静电能量。,应用高斯定理，得,解法一,体电荷分布的球形域电场,108,例 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 的介质球产生的静电能量。,有限,，,由微分方程法得电位函数为,解法二,体电荷分布的球形域电场,109, 媒质为线性；, 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；, 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。,假设,推广,3.6.2 静磁场的能量,(1) 磁场能量,110, 是回路k 独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。, 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通

33、是相互增加的，互有能为正；反之为负。, 对于单一回路,3.6.2 静磁场的能量,(1) 磁场能量,111,(2) 磁场能量的分布及磁能密度,磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。,3.6.2 静磁场的能量,磁能密度,单位,上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。,例 长度为l,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I，试求电缆储存的磁场能量与自感。,同轴电缆截面,解 由安培环路定律，得,112,磁能为,自感,同轴电缆截面,即,113,3.7 静态场比拟,3.7.1 静电场与恒定电场的比拟 3.7.2 静电场与静磁场的比拟,114,3.7

34、.1 静电场与恒定电场的比拟,两种场所满足的基本方程和重要关系式,导电媒质中恒定电场（电源外）,静电场,例 同轴电缆,115,3.7.1 静电场与恒定电场的比拟,两种场对应物理量,静电场,导电媒质中恒定电场（电源外）,E,E,D,J,I,q,两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，则通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。, 两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;, 相应电极的电压相同;,静电比拟的条件, 若两种场中媒质分布片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条件 时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。,116,3.7.2

35、 静电场与静磁场的比拟,两种场所满足的基本方程和重要关系式,静磁场,静电场,例 同轴电缆,117,3.7.1 静电场与恒定电场的比拟,两种场对应物理量,静电场,E,H,D,B,I,q,两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，则通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。, 两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;, 相应电极的电压相同;,静电比拟的条件, 若两种场中媒质分布片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条件 时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。,静磁场,118,3.8 静态场的边值问题及镜像法,3.8.1 静态场的边值问

36、题 3.8.2 唯一性定理 3.8.3 镜像法 3.8.4 分离变量法,119,已知场域边界上各点位函数值,自然 边界条件,参考点电位 有限值,边值问题,微分方程,边界条件,场域 边界条件,分界面 边界条件,第一类 边界条件,第二类 边界条件,第三类 边界条件,已知场域边界上各点位函数的法向导数,一、二类边界条件的线性组合,3.8.1 静态场的边值问题概述,120,边值问题 研究方法,计算法,实验法,作图法,解析法,数值法,实测法,模拟法,定性,定量,积分法,分离变量法,镜像法,微分方程法,保角变换法,有限差分法,有限元法,边界元法,矩量法,模拟电荷法,数学模拟法,物理模拟法,边值问题研究方法

37、,121,例 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。,解 根据场分布对称性，确定场域。,（阴影区域）,场的边值问题,缆心为正方形的同轴电缆横截面,122,边界条件,积分，得通解,例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。,解 采用球坐标系,分区域建立方程,参考点电位,体电荷分布的球形电场,123,解得,电场强度（球坐标梯度公式）：,电位,对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系

38、数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。,124,唯一性定理的重要意义, 可判断静电场问题的解的正确性：,例 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,答案：（C ）, 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。,3.8.2 唯一性定理,125,(1) 导平面镜像法,边值问题,（导板及无穷远处）,（除 q 所在点外的区域）,（S 为包围 q 的闭合面）,平面导体的镜像,上半场域边值问题,（除 q 所在点外的区域）,（导板及无穷远）,（S 为包围q 的闭合面）,3.8.3 镜像法,126,解 设点

39、电荷 离地面高度为h，则,（方向指向地面）,整个地面上感应电荷的总量为,例 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,点电荷q在地面引起的感应电荷的分布,127,(2) 导体球面镜像,设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。,(1) 边值问题,（除q点外的导体球外空间),点电荷对接地导体球面的镜像,128,由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为,点电荷位于接地导体球附近的场图,接地导体球外的电场计算,129,点电荷对不接地金属球的镜像,例 试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。,在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置,解 边值问题

40、,( 除 q 点外的导体球外空间）,(S 为球面面积 ),感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。,正负镜像电荷绝对值相等。,正镜像电荷只能位于球心。,130,任一点电位及电场强度为,试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?,补充题,点电荷对导体球面的镜像,131,(3) 介质分界面的镜像,边值问题,(下半空间),(除q点外的上半空间),点电荷对无限大介质分界面的镜像,132,(3) 介质分界面的镜像,点电荷对无限大介质分界面的镜像,133,镜像法小结,镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；

41、 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数（根数），大小及位置； 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。,134,分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或泊松方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。,3.8.4 分离变量法,(1) 基本分析方法,分离变量法将三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。,135,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,3.8.4 分离变量法,136,分离变量,两边积分,得到,即为所求的通解。,3.8.4 分离变量法,137,分离变量,两边积分,得到,即为所求的通解。,3.8.4 分离变量法,138,通解为,解,3.8.4 分离变量法,139,（2） 直角坐标系中的分离变量法,在直角坐标系中，拉