武大《工程水文学》课件第四章

1、工程水文学,武汉大学水利水电学院,第四章 水文统计,第一节 概述 第二节 概率的基本概念 一、事件 必然事件、不可能事件、随机事件 二、概率 随机事件出现的可能性大小 三、频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值,第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量 水文特征值：年径流、洪峰流量 离散型随机变量 连续型随机变量：水位、流量 二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称为随机变量的概率分布。 对于水文变量，研究大于等于某一取值x的概率，即F(x),水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数,三、随机变量的统计参数 描述水文现象基本特性和分布

2、特点的某些数字特征，例如平均降雨量、年平均流量等，称为统计参数。 总体统计参数、样本统计参数 总体：随机变量所有取值的全体， 样本：从总体中抽取的一部分， 样本容量：样本包括的项数，样本大小。 水文系列都是有限长度，是样本，其统计参数就是样本统计参数，有均值、均方差、变差系数、偏态系数等。,（一）均值 模比系数：,（二）均方差 放映系列中各变量值集中或离散的程度 5，10，15 = 4.08 1，10，19 =7.35,（三）变差系数（Cv） 5，10，15 x=10 =4.08 Cv=0.48 995，1000，1005 x=1000 =4.08 Cv=0.0048,（四）偏态系数（Cs）

3、反映系列在均值两边的对称程度。,（五）矩 （1）原点矩 随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望，称为随机变量X的r阶原点矩。 r=1时，就是算术平均数,（2）中心矩 随机变量X对分布中心E(X)离差的r次幂的数学期望，称为随机变量X的r阶原点矩。 r=1时，一阶中心矩为0 r=2时， r=3时，,第四节 水文频率曲线线型 一、正态分布,二、P型分布,水文计算中，一般需求出指定频率p所对应的随机变量取值，例如，频率为1%（百年一遇）的设计洪峰流量。这需要对密度曲线进行积分，求出等于及大于xp的累积频率p值。 令 是均值为零，标准差为1的标准化变量 （离均系数） 则有,该式包含 Cs、P与p的关系

4、，查附表1，由已知的Cs值，查表可得不同P的 p值，然后利用已知的 和Cv值，通过下式即可求出与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。 如何求 Cv Cs，在以后介绍。,例：某站年径流系列符合p型分布，已知该系列的R=650mm，=162.5mm，Cs =2Cv，试结合下表计算设计保证率p=90%的设计年径流量。 解：Cv=/R=162.5/650=0.25，Cs=2Cv=0.5 查表得=-1.22，代入 R90%=650(1-0.251.22) =6500.695=541.8mm,三、经验频率曲线 经验频率曲线由实测资料绘制而成，它是水文频率计算的基础，具有一定的实用性。 设某水文要素

5、（如年径流量）的实测系列共n项，按由大到小的次序排列为x1、x2、.、xm、.、xn。经验频率就是在系列中大于及等于样本xi的出现次数与样本容量之比值，即 当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年数的增多，总会出现更小的数值。,对上式进行修正，有： 数学期望公式 切哥达也夫公式 海森公式,水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p50%） 例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100年会遇到一次。 2. 当研究枯水或年径流时（一般p50%） 例如，对于p

6、=90%的枯水流量，则T=10年，称此为十年一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均10年会遇到一次。,第五节 频率曲线参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参数，如P型的 、Cv、 Cs。 一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关系，来估计频率曲线的参数。 均值 的无偏估计：,Cv的无偏估计量： Cs 的无偏估计量： 模比系数 由有限的样本资料算出的统计参数，去估计总体的统计参数总会出现一定的误差，称为抽样误差。,二、权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计的参数将产生误差，其中尤以Cs的计算误差最大，为了提高Cs的计算精度，马秀峰（1984）提出了权函数法。,第六节

7、水文频率计算适线法 适线法（或称配线法）是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条理论频率曲线。 目估适线法、优化适线法 一、目估适线法 （1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率）。 （2）选定水文频率分布线型（一般选用P型）。 （3）假定一组参数 、Cv、 Cs。为了使假定值大致接近实际，可用矩法或权函数法求出3个参数，作为3个参数第一次的假定值。当用矩法估计时，因,Cs 的抽样误差太大，一般不计算Cs，而是根据经验假定 Cs为 Cv的某一倍数（如 Cs=2Cv）。 （

8、4）根据假定的 、Cv、Cs，查附表1或附表2，计算xp值，以xp为纵坐标，p为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况，若不理想，则修改参数（主要调整 Cv、Cs）再次进行计算。 （5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。 （6）求指定频率的水文变量设计值。,统计参数对频率曲线的影响： （1）均值 对频率曲线的影响,（2）Cv对频率曲线的影响,（3）Cs对频率曲线的影响,二、优化适线法 在一定的适线准则（即目标函数）下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数

9、的方法。 优化适线法准则： 离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法） 离差绝对值和最小准则（ABS） 相对离差平方和最小准则（WLS）,离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法）： 使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差的平方和达到最小。即使目标函数： 取极小值，即： 欲使S(Q)为最小，则要使,第七节 相关分析 一、相关关系的概念 目的：研究两个或多个随机变量之间的联系。例如：降雨与径流之间、上下游洪水之间、水位与流量之间等。 水文计算中的应用：资料的展延、水文预报等。 必须注意的问题：必须先分析变量在成因上是否有联系，不能在两个毫不相关的变量之间硬凑出相关关系。,两变量之间关系的三种情况

10、：,简单相关：研究两个变量之间的相关关系，在水文计算中应用较多。 复相关：研究3个或3个以上变量的相关关系，在水文预报中应用较多 此外还可分为：直线相关和非直线相关。,二、简单相关关系 （一）相关图解法 a：直线截距，b：直线斜率,（二）相关分析法 观测点与配合的直线在纵轴方向的离差为： 要使直线拟合“最佳”，须使离差yi的平方和为“最小”，即使 为极小值。,欲使上式取得极小值，可分别对a和b求一阶导数，并使其等于零，即令 解方程组，可得 r：相关系数，表示x、y 间关系的密切程度,将a、b代入 ，得 是回归线的斜率，一般称为y倚x的回归系数，记为 ，即 必须注意： 回归线是在一定标准情况下与实测点的最佳配合线,（三）相关分析的