第13章 网络的图、网络矩阵及网络方程

1、,第13章 网络图 网络矩阵与网络方程,本章介绍利用图论工具分析电路的方法。利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。主要内容有：图、子图、连通图、树、基本回路和基本割集等概念；图的矩阵表示、基尔霍夫定律的矩阵表示；借助矩阵运算将电路方程表达成矩阵形式；借助专用树列写电路的状态方程。,本章目次,13.2 基本回路和基本割集,13.1 网络的图 树,13.3 关联矩阵及基尔霍夫 定律方程的关联矩阵形式,13.4 基本回路矩阵及基尔 霍夫定律方程的基本回路 矩阵形式,13.5 基本割集矩阵及基尔霍夫 定律方程的基本割集矩阵形式,13.6 广义支路及其方程的矩阵 形式

2、,13.7 用矩阵运算建立节点电压 方程,13.8 用矩阵运算建立回路电流 方程和割集电压方程,引言,1. 欧拉与哥尼斯堡桥： 有条名叫 Pregel 的河流经哥尼斯堡(现加里宁格勒)，河中有两个岛，把市区分成四块陆地(A,B,C,D)，陆地间有七个桥相通。能否从任一陆地出发，走遍七桥而每桥只走一次？,哥尼斯堡市区图,图论趣话,七桥问题的解决,欧拉规则 (a)连接奇数个桥的陆地只有一个或超过两个以上时，不能实现一笔画。 (b) 连接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者中任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一陆地。 (c) 每块陆地都连接有偶数个桥时，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。

3、,用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图。问题变成该图能否实现一笔画？,3. 四色定理,四色问题：只须4种不同颜色，就能使平面地图上任何两个相邻的国家的颜色不同。 图论问题：用点表示国家，用边表示国家直接相邻。证明只须4种颜色就可使所有相邻顶点具有不同颜色。 1890年P.J. Heawood 提出用五种颜色着色。 1969年O.Ore 在40个国家的地图上证明了四色定理。 1976年，K.Appel, W.Hahen, J.Koch 用计算机工作1200小时宣布证明了四色定理。,4. 图论的主要应用,(1)电网络的分析与综合。 (2)印刷电路与集成电路的布线和测试。 (3)通讯网络。

4、(4)在理论物理和统计力学的应用(杨振宁、李政道)。 (5)在化学领域的应用(同分异构体)。 (6)在心理学领域的应用(1936年,K.Lewin:拓扑心学)。 (7)在经济学领域的应用(税率涨落、商品流通、供求关系) 。 (8)在计算机科学领域的应用(计算机网络)。,图(graph) :由“点” 和“线”组成。 “点”也称为节点或顶点(vertex)，“线”也称为支路或边(edge)。 图通常用符号G来表示。,1. 网络的图,基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树等概念。,连通图：图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为 连通图 ；否则称为非连通图。 子图： 图的一部分称为子图。

5、一个孤立的节点也是一个子图。,含互感电路及其图,有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反之为无向图。,回 路： 从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。 割 集： 连通图的割集是一组支路集合，并且满足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路(保留支路的两个端点)，则此图变成两个分离的部分。(2)如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图仍是连通的。,分别表示支路数、树支数和连数,1. 基本回路,基本回路：每一个连支和必要的树支都构成一个单连支回路，称为基本回路。基本回路的方向规定为所含连支的方向。,基本回路的性质：,基本要求：掌握

6、基本回路和基本割集的定义；理解基本回路KVL的独立性和基本割集KCL的独立性、树支电压的独立性和连支电流的独立性。,再增加一个由支路1、4、5、构成的回路,结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。,2. 基本割集,基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。,单树支割集,基本割集：每取一个树支作一个单树支割集，称为基本割集。 基本割集的方向规定为所含树支的方向。,基本割集的性质,任一树支电流都可通过KCL表达成连支电流的线性组合。,任一连支电流不能仅通过KCL表达成其它连支电流的线性组合，因为仅由连支不能形成割集。,结论：在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量。,推广为一般情况：

7、基本割集的基尔霍夫电流定律方程是一组独立方程因此称基本割集是一组独立割集。,基本割集数等于树支数,在上图所示网络的图。(1)选择一组独立的支路电压，并用以表达其它支路电压；(2)选择一组独立的支路电流，并用以表达其它支路电流。,选择一树:1,2,3,4，树支电压是一组独立的支路电压，连支电流是一组独立的支路电流。,对基本回路列写KVL， 可以求得连支电压：,(2)对基本割集列写KCL 可以求得树支电流：,例题13.1,1.关联矩阵,对于n个节点b条支路的图，定义一个矩阵(行号对应节点 号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为,节点支路关联阵,基本要求：熟练掌握关联矩阵的定义，并用以表

8、达基尔霍夫定律。,除去节点对应的第4行,的任意一行都可由其他n-1行来确定，它只有n-1个独立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减的矩阵，简称关联矩阵，记为A 。,例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点-支路关联矩A为,2. 基尔霍夫定律的关联矩阵形式,(1) KCL的关联矩阵形式,(1) KVL的关联矩阵形式,此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵A 的转置。,选下图的节点为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式,推广到一般情况：设网络有b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作,则节点电压与支路电压的关系即KVL,表示基本回路与支路的关联关系。定义B 的行

9、对应基本回路列对应支路，B的元素定义为,基本要求：掌握基本回路矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律。,1.基本回路矩阵B,与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为,例：,如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵 B 的右边存在单位矩阵。,推广到一般情况：设U 表示支路电压向量，基氏电压定律的基本回路矩阵形式为,2. 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式,对左图所示基本回路列写KVL方程，并写成矩阵形式,其系数矩阵是上图的基本回路矩阵,(1) KVL的基本回路矩阵形式,如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成,对下图所示基本割集列写KCL方程并写成矩阵

10、形式,(a),(2) KCL的基本回路矩阵形式,推广到一般情况: 基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为,如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成,基本要求：理解基本割集矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律。,矩阵的行对应基本割集，列对应支路，其元素为,1. 基本割集矩阵C,如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵 C 的左边存在单位矩阵。,与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为,2. 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式,对左图所示的基本割集列写基尔霍夫电流定律方程并写成矩阵形式为,上述方程的系数矩阵刚好是上图的基本割集矩阵。,(1) KCL的基本

11、割集矩阵形式,推广到一般情况：设I表示支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式是,如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方 程可写成,对左图所示的基本回路列电压方程，并写成矩阵形式得,再扩展到全部支路电压,(2) KVL的基本回路矩阵形式,推广到一般情况：设树支电压向量为，则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是,如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成,由连支电流求得树支电流为,由欧姆定律求得树支电压,最后求出连支电压,特勒根定理 设两个集中参数电路 的有向图相同，其支路电压向量分别为 及 支路电流向量分别为 及 ，则有,证明：将电路

12、的KVL关联矩阵形式， 转置，得,两边同时右乘电路 N 的支路电流向量I，并引用 ，得,再将电路N的KCL的关联矩阵形式，即 代入上式，得,同理可证,3.网络矩阵之间关系,如果对支路、基本回路和基本割集的编号使得矩阵B和矩阵C中均出现单位子矩阵，则上式可进一步写成分块矩阵的形式,第k条广义支路的方程可以表示成,(k=1,b),b条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量s),基本要求：掌握广义支路的定义及其方程的矩阵形式、定义广义支路的目的。,若矩阵Z存在逆矩阵 ，令 ，并乘 两端，得,含有互感元件,互感支路,其支路方程的矩阵形式为,与其它支路方程合在一起并写成矩 阵形式得,以图(a)为例，含VCCS支路的支路方程为,故支路导纳矩阵为,节点电压方程简化为,AI0,基本要求：掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节点电压方程的步骤。,利用本节方法列写图(a)所示电路的节点电压方程，并求出各广义支路的电压和电流。,(1) 按广义支路定义，对照图(a)作出网络的图 (b),(2)根据图写出关联矩阵A,(3) 根据