计算固体计算力学---第三章-材料非线性问题-2

1、博士研究生课程 计算固体力学 课程编号：017090 王生楠，谢伟 西北工业大学 航空学院,第三章 材料非线性问题及其有限元求解 材料弹塑性本构关系 塑性力学中的变分原理 弹塑性增量有限元分析 弹塑性全量有限元分析,弹性力学问题的变分提法及其解法：,基本思想：,在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,将定解问题转变为求解线性方程组。,弹性力学中的变分原理, 能量原理,直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。,（变分解法也称能量法）,（a）以位移为基本未知量，,得到最小势（位）能原理等。,（b）以应力为

2、基本未知量，,得到最小余能原理等。,（c）同时以位移、应力、应变为未知量，,得到,广义（约束）变分原理。, 位移法, 力法, 混合法, 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。,求解方法：,里兹（Ritz）法，,伽辽金（Galerkin ）法，,加权残值（ 余量）法等。,补 充：,1. 形变势能的一般表达式,单向拉伸：,P,l,外力所做的功：,由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：,令：, 单位体积的变形能，,称为比能。,三向应力状态：,一点的应力状态：,由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。

3、,假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：,（a）,整个弹性体的形变势能：,（b）,（c）,若用张量表示：,形变比能：,整体形变势能：,2. 泛函与变分的概念,（1）泛函的概念,函数：,x 自变量；,y 因变量，或称自变量 x 的函数。,泛函：,x 自变量；,y 为一变函数；,F 为函数 y 的函数，,称为泛函。,例1：, 弯矩方程,梁的形变势能：, 泛函,（2）变分与变分法,设,当自变量 x 有一增量：,函数 y 也有一增量：,dy 与 dx ，分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。, 微分问题,设：,函数 y 有一增量：,泛函 U 也有一增量：,：,函数

4、的增量y 、泛函的增量 U 等称为变分。,研究自变函数的增量与泛函的增量 间关系称为变分问题。,3 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理,弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。,（1）平衡方程,（2）应变位移关系,（在V内）,（在V内）,（3）应力应变关系,（4）边界条件,在力的边界上,在位移边界上,小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）A和余应变能泛函（余应变能密度）B可以表示为。,不难看出，A和B存在以下关系,并容易证明,弹性体的总位能 等于总应变能U与外力势V（即外力功E取反）之和。,对上式取驻值，即一阶变分等于零，则,即总位能驻值条件可导出平衡方程及力的边界条件。,最小位能

5、原理：在满足应变-位移关系和位移边界条件的所有容许的ui中，实际的ui使弹性体的总位能取最小值。,弹性体的总余能,对上式取驻值，即一阶变分等于零，则,由总余能驻值条件可导出位移边界条件,最小余能原理：在满足平衡方程式和力的边界条件的所有容许的应力 中，实际的应力 使弹性体的总余能取最小值。,八、塑性力学变分原理,1. 塑性力学形变理论的变分原理,形变理论，即全量理论的特点是认为塑性体在瞬间，如果应变已知，则应力的决定是唯一的。但是反过来，应力已知，应变的决定则可以是唯一的，也可以是不唯一的。 本章的变分原理推导，将只限于在加载过程中有不变的应力-应变关系，这就是说，只限于单向加载的形变理论。本

6、章的问题还将限定于小位移的范围。,则应变能密度和余应变能密度，即 和 ，并有最小位能原理和最小余能原理,其中,（1）平衡方程,（2）应变位移关系,（在V内）,（3）应力应变关系（加载过程）,（在V内）,（4）边界条件,在 上,在 上,全量的塑性形变理论的问题为：,1）应变硬化材料,研究正割模量理论的材料，其应力应变关系为,这里,与,代表应力偏量与应变偏量，即,为一般标量，它和应变状态有关，从 式可知,其中,应该指出，应力偏量,和应变偏量,代表形变部分，它与体积变形无关。,有,或写为变分形式,假若是的单值连续函数，即,而且,，或,有,，或,上式中，只有五个关系式是独立的，所以应该有第六个独立的关

7、系式，它就是可压缩性关系，即,其中,是材料的体积模量，可由弹性模量,和泊松比,表示为,利用以上关系，我们可以把正割模量理论的,和,表示成下式,正割模量理论材料的塑性力学变分原理。,这两个变分原理称为卡恰诺夫（）变分原理。,卡恰诺夫原理I：对于一切容许的位移,，使泛函,必为正割模量材料塑性变形的正确解。,极小的,卡恰诺夫原理II：对于一切满足平衡方程式和外力已给的表面边界条件的容许,，使泛函,必为正割模量材料塑性应力问题的正确解。,极小的,2）理想塑性材料,理想塑性材料服从密塞斯（Von Mises）屈服条件，如图所示,对于,的范围而言，材料服从虎克定律，当,的时候，材料发生塑性流动，,为纯剪时

8、的屈服极限。,为一正常数，对于理想塑性材料，它应该等于零。,并由,，,，得到应力应变关系式,这里,是一个正的、未定的和有限的标量，由下式定义,满足上式构成关系的材料，被称为汉盖（Hencky）材料。,对于汉盖材料，有下面的哈尔-卡门变分（Harr-Krmn）原理成立,哈尔-卡门变分（Harr-Krmn）原理：对于一切满足平衡方程,的外力已给边界条件,（在,上），,的容许的,而言，使泛函,为极小的,必为汉盖材料塑性应力的正确解。,3）刚塑性材料,此种塑性材料是略去弹性问题，认为材料是不可压缩的且到处都处于塑性，其 关系如图所示。,这种材料的应变能A与余应变能B可以写成,由图可知应变能A为,在刚塑

9、性材料中，假定材料是不可压缩的。上式均可写为,为应力应变关系式。,刚塑性材料的最小位能原理可以叙述为：在一切满足位移边界,和应变位移关系,和不可压缩的,中，正确解必须使泛函,为最小。,，屈服条件,，和,上的外力已知边界条件,的应力分布,中，正确解必使泛函,为极小。,最小余能原理为：在一切满足平衡方程,八、塑性力学变分原理,2. 塑性流动理论的变分原理,在塑性区域中，一般说来，应力应变关系并不存在；应变不仅和最后的应力状态有关，也和加载过程有关，所以其应力应变关系只能用应力增量和应变增量的关系来代替原有的应力应变关系，这些增量与塑性的发展过程有关，这种理论称为增量理论，也称为流动理论。,在流动理

10、论中，我们采用欧拉描述法。设在某一瞬间,处于平衡，设应力状态,和它的加载历史是已知的，这时，在,上外力增量为,，在,上，位移增量为,，要计算体内的应力增量,和体内发生位移,。现在假定增量都很小，一切线性方程都是满足的，有 （1） 平衡方程（认为体力为常值）,（2） 应变位移关系,（3） 应力增量与应变增量之间的关系仍为线性的，且有,（4） 边界条件,（在 上）,（在,这里除了应力增量与应变增量的关系而外，其它各方程都与小位移弹性理论相同， 最后，求得增量解，通过积分，就能求得塑性大变形的解。,时，物体在静力作用下,（在 上）,增量理论的最小位能原理与最小余能原理，其形式上与小位移变分相同。,以

11、下将根据不同塑性材料研究其变分问题。,1） 应变硬化材料,应变硬化材料的应力应变关系可以写成,上式中的,可以分为两部分，即,和,两部分，即,其中,（弹性部分和塑性部分）,上式中的,都是应力偏量,是待定,的正定函数，,也是,的正定函数，函数,称为屈服条件，而,则称为屈服曲面，,表示应变硬化的最后状态。一般情况下，在体内各点，,可以是不同的值，它可以是体内各点的函数。 当,时，屈服,时，未屈服,的增量是用来表示加载、卸载和中性过程的，因为,当,可以用,来表示,所以，对于任何一组应力增量来说，有三种受载过程,加载过程,中性过程,卸载过程,中性过程是指该点既无加载又无卸载过程,根据不同的受载过程和屈服

12、情况,取不同的值，有如下规定：,在屈服条件下加载或中性过程 当,，,时，,在屈服条件下卸载过程 当,，,时，,在未屈服时，不论何种过程 当,，,时，,参数,也可以作为总塑性变形功的函数，即,有,把 式代入上式，并在两侧消去,可导出,此处省去中间过程,因为上式只有在,，并处于加载和中性时，即,时，才起作用（,）。其它情况，此式并不起作用，所以上式改为以下形式，并不影响其结果,可导出,所以，从上式中不难看到，在塑性流动理论中，加载与卸载的关系不同，弹性常数,和当时的应力状态有关，也和增量开始前一阶段的受载历史有关。,应变能增量密度,和余能增量密度,，它们是,2） 理想塑性材料,这种材料只是一种极限

13、材料。这里 ，,为一正常数，一种极限情况为,为有限而不定的。于是，理想材料的应力应变关系为,应变能,与余能,，均可求得，同前。,3）普朗特耳-路斯（Prandtl-Reuss）方程理想刚塑性材料,普朗特耳-路斯方程是应变硬化材料流动理论的应力应变增量关系的一种特殊形式。,则理想弹塑性材料的应力应变关系为,同样，可以写出二个变分原理的泛函。,4）圣维南-李维-密塞斯（St. Venant-Levy-Mises）方程 刚塑性材料,全部处于塑性状态中的刚塑性材料，它的变分原理略有不同，讨论问题是 （1）平衡方程,（2）屈服条件,（3）应力应变速度关系,（4）应变速度与位移速度关系,（5）不可压缩条件

14、,（6）边界条件,第一变分原理（马克夫（）原理）：在满足应变速度位移速度关系式， 不可压缩条件和边界位移速度已知条件的一切,中，使泛函,为最小的，必为本问题的正确解。,第二变分原理（希尔（Hill）原理）：在满足平衡方程式，屈服条件和外力已知 的边界条件的一切容许的,中，使泛函,最小的，必为本问题的正确解。,九、弹塑性全量有限元分析,弹塑性全量有限元法与其线弹性有限元法的差别，在于单元刚度矩阵计算不同。,弹塑性矩阵Dep,弹性矩阵De,1. 有限元方程,有限元法常用的全量应力-应变关系矩阵形式,线弹性阶段：,非线弹性阶段：,单元刚度矩阵：,有限元方程：,式中，,2. 求解方法,求解全量有限元方

15、程一般采用初应力法、初应变法和全量型的M-N-R法,（1）初应力法,假设有一个初应力 ，使其非线性应力-应变关系,与其线性应力-应变关系,等效。,假设外载荷仅考虑常量，即,将,代入单元平衡方程，则有,组成整体平衡方程，即,式中，,相当于在单元上给出了一个初应力场，并将这种场转换成等效结点载荷。,建立如下迭代计算公式,（2）初应变法,假设有一个初应变 ，使其非线性应力-应变关系,与其线性应力-应变关系,等效，并且,假设外载荷仅考虑常量，即,将,代入单元平衡方程，则有,组成整体平衡方程，即,式中，,相当于在单元上给出了一个初应力场，并将这种场转换成等效结点载荷。,建立如下迭代计算公式,（3）两种方

16、法比较,初应力法和初应变法是求解材料非线性问题的两种基本方法。 它们的共同优点是计算过程简单，计算量小，特别是对材料非 线性中的蠕变问题，初应变法更为有效。但这两种方法都不能 用来求解几何非线性问题，即使是材料非线性问题，若材料是 （或接近）理想塑性，则求解时也不会收敛或收敛速度极慢。,十、弹塑性增量有限元分析,1. 有限元方程,式中， 过渡弹塑性矩阵（或称为加权平均弹塑性矩阵）。,当载荷增量 足够小时，相应的应力-应变关系为,有限元方程为：,式中：,有限元方程为：,式中：,（弹性状态）,（过渡状态）,（塑性状态）,称为整体结点位移增量；,称为整体结点载荷增量；,2. 弹塑性矩阵的显式,多数工程结构的弹塑性问题一般是指在Mises屈服条件下各向同性强化材料的 弹塑性问题。这里仅从下式讨论 的显式，并且在推演所涉及的应力和应变均为工程应力和应变。,（1）三维空间问题的,三维空间弹性矩阵 由下式给出,对 称,为,为了推导简便并考虑矩阵计算的规律性，将上式中所涉及的导数，均用应力偏量表示。,又因为,则：,式中：,（2）平面问题的,对于平面应力问题，,式中：,对于平面应变问题，,平面应力与平面应变变换公式,（3）过渡状态的,也称为加权平均弹塑性矩阵,式中m为比例