机电传动控制(第三章)免费

1、第三章 系统的时 间响应分析,第三章 系统的时间响应分析,系统在外加作用激励下，其输出量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。 它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。,时间响应的概念,按振动性质分为：自由响应与强迫响应 自由响应：频率为固有频率n 强迫响应：频率为激振频率 按振动来源分为：零输入响应与零状态响应 零输入响应：与y（0）零输入有关 零状态响应：与输入、零状态有关,时间响应的组成,系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的 响应过程。它反映系统的快速性和稳定性,瞬态响应,时间趋于无穷大时，系统的输出状态。它反映了系统的准确性。,稳态响应,对稳定系统,

2、实际中经常使用的有两类信号。 其一：系统正常工作时的输入信号。这类信号既简便又不会因外加干扰而破坏系统的正常运转，然而，它并不能保证获得对系统动态性能的全面了解。 其二：外加测试信号。这是更常用的一类输入信号。其中，单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和一些随机函数在实验中经常用到。,(1)单位脉冲函数(t) lim =, 0t 0其它 L(t)=1 (2)单位阶跃函数u(t) u(t)=1,t 0 Lu(t)=,1,s,典型输入信号及其拉氏变换,(3)单位斜坡函数r(t) r(t)=t,t0 Lr(t)= (4)单位抛物线信号 xi(t)=t2/2,t0 Lt2

3、/2 = (5)正弦函数 Asin t LAsin t = A,t,o,xi(t),典型输入信号及其拉氏变换,其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。,第三章 线性系统的时域分析,1、一阶系统的数学模型,当初始条件为零时，其传递函数为,T-时间常数,第三章 线性系统的时分析,2、一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统单位阶跃响应的特点,第三章 线性系统的时域分析,xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大，且无振荡。xo() = 1，无稳态误差。,当t=0时，初始斜率为,时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T越小，C(t)响应越快，达到稳

4、态用的时间越短，即系统的惯性越小。,通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。,第三章 线性系统的时域分析,当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即,3、一阶系统的脉冲响应,一阶系统单位脉冲响应的特点,xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减,对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。,同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号都如此。,当t=0时，初始斜率为,即：系统对输入信号导数的响应等于系

5、统对该输入信号响应的导数。 此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变系统及非线性系统。,第三章 线性系统的时域分析,规律,凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。,1、二阶系统的数学模型,二阶系统的传递函数的标准形式为：,二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示,第三章 线性系统的时域分析,第三章 线性系统的时域分析,2、二阶系统的单位阶跃响应,下面分四种情况进行说明：,(1)欠阻尼,（两特征根为共轭复根，左半平面）,h(t),第三章 线性系统的时域分析,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点:,瞬态分量为振幅等于 的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。 振荡幅值随减

6、小而加大。,(2)临界阻尼,第三章 线性系统的时域分析,临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,特点 单调上升，无振荡、无超调 xo () = 1，无稳态误差。,（两特征根为两个相等的负实根，负实轴）,(3)过阻尼,第三章 线性系统的时域分析,（两特征根为两个不等的负实根，负实轴）,第三章 线性系统的时域分析,特点 单调上升，无振荡，过渡过程时间长 xo () = 1，无稳态误差。,(4)无阻尼（=0）状态,（两特征根为共轭纯虚根，虚轴）,第三章 线性系统的时域分析,3、二阶系统的单位脉冲响应,欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且越小，衰减越慢，振荡频率d越大。

7、故二阶欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其衰减的快慢取决于 n（1/n 称为时间衰减常数）。,结论,二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性, 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定, 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长,01时，有振荡，愈小，振荡愈严重,但响应愈快, = 0时，出现等幅振荡,第三章 线性系统的时域分析,假设前提,1）二阶欠阻尼系统在单位阶跃信号作用下的响应来定义 2）初始条件为0，即在单位阶跃输入作用前， 系统处于静止状态。,为了说明欠阻尼系统的 单位阶跃响应的过渡 过程的特性，采用下列 性能指标 (1)上升时间tr (2)峰值时间tp (3)最大超调量Mp (4)调整时间ts (5)振荡次数

8、N,tr,tp,ts,1,0,Mp,t,Xo(t),允许误差,表示性能指标的单位阶跃响应曲线,第三章 线性系统的时域分析,结论,二阶系统的动态性能由n和决定。,通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。,一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。,增加可以降低振荡，减小超调量Mp ，但系统快速性降低，tr、tp增加。,当=0.7时，系统的Mp、ts均小，故称其为最佳阻尼比。,第三章 线性系统的时域分析,二阶系统计算举例 例1 设系统的方框图如图3.4.5所示，其中=0.6，n=5s-1。当有一单位阶跃信号作用于系统时，求其性

9、能指标tp，Mp和ts。 解：(1)求tp wd= wn 1-2 =4s-1故由式(3.4.15)，得 tp= / wd= 0.785s (2)求Mp 由式(3.4.17)，得 Mp=e- / 1-2100 =9.5 (3)求ts由式(3.4.22)和(3.4.23)的近似式，得 ts= 4/(wn )=1.33s (取=0.02) ts= 3/(wn )=1s(取=0.05),Xi(s),Xo(s),+,E(s),Wn2 S(s+2 wn),例2如图所示的机械系统，在质量块m上施加xi(t) =8.9N阶跃力后，m的时间响应xo(t)如图所示，试求系统的m,k和c值。 解：由图3.4.6(a

10、)可知，xi(t) 是阶跃力输入，xi(t)=8.9N， xo(t)是输出位移。有图可知系统的稳态输出xo()=0.03m， xo(tp)- xo() =0.0029m tp为2s，此系统的传递函数显然为 ： G(s)= Xo(s)/ Xi(s)=ms2+cs+k 式中， Xi(s)=N,m,k,c,xi(t),xo(t),xi(t)/m,0.03,0,1,2,3,4,t/s,0.0029,1,8.9,S,(1)求k由Lplace变换的终值定理可知： xo()=lim xo(t)=lims Xo(s) ms2+cs+k(8.9/s)N=(8.9/k )N 而xo()=0.03m,因此k=297

11、N/m。 (2)求m由式（3.4.16)得 =9.6 又由式(3.4.17)求得=0.6。 将tp =2s,=0.6代入tp=/wd中,得wn=1.96s-1 。 再由k/m=wn2求得m=77.3kg。 (3)求c由2wn =c/m，求得c=181.8Ns/m,1,=lims,实际上，大量的系统，特别是机械系统，几乎都可用高阶微分方程来描述。这种用高阶微分方程描述的系统叫做高阶系统。对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。这就要求在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化。因此，本节将利用关于二阶系统的一些结论对高阶系统作定性分析，并在此基础上，阐明将高阶系统简化为二阶系统

12、来做出定量估算的可能性。高阶系统传递函数的普遍形式可表示为：,高阶系统,系统的特征方程式为 还可以表示为：,高阶系统的响应可以看作是多个一阶环节和二阶环节的叠加。了解系统的零极点分布就可以对系统的性能进行分析： 1.闭环极点都在平面的作半部，系统稳定。各个环节分量衰减的快慢取决于极点里虚轴的距离。离虚轴越远，衰减越快。 2.衰减项的幅值既与极点有关还与零点有关。零点对系统的影响反在在此。零点与极点很靠近时，对应项的幅值很小，这对零极点对系统过渡过程影响很小。 3.主导极点：离虚轴最近的极点，其实部小于其他极点实部的1/5，且附近不存在零点。系统的响应主要由这一极点决定。 利用此可以把高阶系统化

13、为低阶系统。,“准确”是对控制系统提出的一个重要性能要求，对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确的达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。当存在随机干扰作用时，可能带来随机误差；当元件的性能不完善、变质或者存在诸如干摩擦、间隙、死区等非线性时，也可能带来误差。,1、误差及稳态误差的概念,但是这些不是本节所要研究的内容。本节讨论的是系统在没有随机干扰作用，元件也是理想的线性元件的情况下，系统仍然可能存在的误差。,系统的误差e(t）与偏差(t) 系统的误差是以系统输出端为基准来定义的，设xor(t)是控制系统所希望的输出， xo(t)式其实际输出，则误差e(t)定义为 e(t)

14、= xor(t)- xo(t) Lplace变换记为E1(s) E1(s)= Xor(s)- Xo(s)(3.6.1),系统的偏差则是以系统输入端为基准来定义的，记为 (t) 。 (t) = xi(t)-b(t) Lplace变换记为E(s)为 E(s)= Xi(s) B(s)= Xi(s) H(s) Xo(s) (3.6.2) 式中H(s)为反馈回路的传递函数。,现求E(s)与E1(s)的关系。 如前所述，一个闭环的控制系统之所以能对输出Xo(s)起自动控制作用，就在于运用偏差E(s)进行控制，即，当Xo(s) Xor(s)时，由于E(s) 0， E(s)就起控制作用，力图将Xo(s) 调节

15、到Xor(s) 值；反之，当Xo(s) =Xor(s) 时，应有E(s) =0，而使E(s)不再对Xo(s) 进行调节。 因此Xo(s) =Xor(s) 时， E(s)= Xi(s) H(s) Xo(s) = Xi(s) H(s) Xor(s)=0 所以， Xi(s) = H(s) Xor(s) 或Xor(s) = H(s) Xi(s) (3.6.3) 由式(3.6.1)、(3.6.2)可求的在一般情况下系统的误差与偏差间的关系为E(s)=H(s)E1(s) 或 E1(s)=H(s)E (s)(3.6.4),由上可知，求出偏差E(s)后即可求出误差，对单位反馈系统来说，H(s)=1，故偏差(t

16、)与误差e(t）相同。如图,第三章 线性系统的时域分析,误差及稳态误差的计算,从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。当R(s)一定时，就取决于开环传递函数。,系统的开环传递函数可写成下面的形式：,2、系统的型别,第三章 线性系统的时域分析,可以看出，与系统稳态误差有关的因素为：,1）静态位置误差系数Kp,3、静态误差系数与稳态误差,2）静态速度误差系数Kv,第三章 线性系统的时域分析,1,3）静态加速度误差系数Ka,第三章 系统的时间响应分析,第三章 线性系统的时域分析,结论,不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输

17、入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。,系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。,如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。,系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。,稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加速度输入有意义。,根据上面的讨论，可归纳如下几点： （1）关于以上定义的无偏系数的物理意义： 稳态偏差与输入信号的形式有关，在随动系统中一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。又输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”无偏系数，（如输入阶跃信号而引起的

18、无偏系数称位置无偏系数，它表示了稳态的精度。“某种”无偏系数越大，精度越高；当无偏系数为零时即稳态偏差为，表示不能跟随输出；无偏系数为则稳态无差。,（2）当增加系统的型别时，系统的准确度将提高，然而当系统采用增加开环传递函数中积分环节的数目的办法来增高系统的型别时，系统的稳定性将变差，因为系统开环传递函数中包含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性是比较困难的，因此型或更高型的系统实现起来是不容易的，实际上也是极少采用的。增大K也可以有效地提高系统的准确度，然而也会使系统的稳定性变差，因此，稳定与准确是有矛盾的，需要统筹兼顾。,（3）根据线性系统的叠加原理，可知当输入控制信号是上述典型信号的线

19、性组合时， 即xi（t）=a0+a1t+a2t2/2，输出量的稳态误差应是它们分别作用时稳态误差之和。,（4）对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单位反馈系统，可由式（3.6.4）将稳态偏差换算为稳态误差。必须注意，不能将系统化为单位反馈系统，再由计算偏差得到误差，因为两者计算出的偏差和误差是不同的，这点读者可自行思考与证明。,4、扰动作用下的稳态误差（R(s)=0),第三章 线性系统的时域分析,由图可知，系统的偏差为 E(s)= R(s) B(s)=B(s)=H(s)Xo(s) 从概念上讲，有干扰引起的输出都是误差。,所以，扰动引起的稳态偏差：,由扰动引起的输出为：,即系统误差：,稳态误差：,第三章 线性系统的时域分析,系统误差：,本 章 小 结,时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。,二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。,稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。,系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这