5-椭球面的几何特征与测量计算 2

1、第五章 地球椭球及 椭球面上的计算,大地测量学基础,山东科技大学地科学院测绘系,第一节 地球椭球及其定位 第二节 椭球面上法截线曲率半径 第三节 椭球面上弧长计算 第四节 地面观测值归算至椭球面 第五节 椭球面上大地问题解算,大地测量学基础,主要内容,第一节 地球椭球及其定位,大地测量学基础,测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表示地球必须解决2个问题： 一是椭球参数的选择； 二是确定椭球与地球的相

2、关位置，即椭球的定位。,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系 基本表达: 第一偏心率 第二偏心率： 扁率f, 椭球长半径a，短半径b,大地测量学基础,两偏心率之间关系,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系,大地测量学基础,，国际上明确了采用椭球长半径,，引力常数与地球质量的乘积,，地球重力场二阶带球谐系数,，地球自转角速度,2. 正常椭球的几何物理特性,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系,几种椭球几何参数,大地测量学基础,西安80的参考椭球常数值：,第一节 地球椭球及其定位,

3、二、垂线偏差及其基本公式 1. 基本概念： 子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆称为子午圈。 平行圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相交的圆称为平行圈。 卯酉圈：其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈称为卯酉圈,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,二、垂线偏差及其基本公式 2.垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角。 3.分类：相对垂线偏差和绝对垂线偏差 垂线偏差 的分量子午圈分量 和卯酉圈分量 4.公式：有球面三角型公式推导得： =-B =(-L)cos,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,二、垂线偏差及其基本公式 Z1p是O点的

4、天文子午面 Zp是O点大地子午面 弧R1MZ1P 弧RZP 天文方位角 大地方位角,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,二、垂线偏差及其基本公式,大地测量学基础,垂线偏差通常都小于10，远小于天文方位角的观 测误差，所以上式可写成拉普拉斯方程式,，,经典大地测量，不能实测大地方位角，只能根据实测的天文方位角以及天文经纬度推算，由此得到的大地方位角称为拉普拉斯方位角，它对于椭球的定向及控制天文大地网的定向都有着重要的作用。利用GPS，直接计算任一基线向量在所选择的椭球面上的大地方位角.,如果椭球的短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧勒角.,设

5、为,此时，垂线偏差公式及拉普拉斯方程扩展为,第一节 地球椭球及其定位,第一节 地球椭球及其定位,三、椭球的定位 1.基本概念 椭球定位将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，一旦确定了椭球与大地体的相关位置，也就可以确定相应的大地坐标系统。 从数学上讲，椭球的定位和定向就是确定大地直角坐标系相对于地心直角坐标系的平移量和旋转角. 椭球的定位满足条件： 椭球的短轴与某一指定历元的地球自转轴相平行； 起始大地子午面与起始天文子午面相平行； 在一定区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大地水准面）最为密合。,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,三、椭球的定位 2.坐标系建立（参心） 在大地原

6、点测定：正常高、天文精经度、天文纬度、天文方位角。 初期定位时，0，0，0未知，可取为0。 根据大地测量和天文测量数据，在 条件下，求出原点的0，0，0值。,第一节 地球椭球及其定位,三、椭球的定位 3.坐标系建立（参心）建立过程 假定：大地原点的铅垂线和法线重合； 大地水准面和椭球面相切；大地子午 面和天文子午面重合-一点定位. 利用大地原点的大地经纬度、大地方位角和大地高作为大地起算数据（基准数据），依据归算到椭球面上的方向和边长观测值，在椭球面上进行各种计算和平差，就可得到天文大地网中各点的大地经纬度。所以，大地原点也可称为大地起算点或大地基准点,第一节 地球椭球及其定位,三、椭球的定位

7、 4.大地原点选择： 某一国家或地区的中部附近； 大地原点的点位要稳固，便于长期保存； 大地原点还应该和天文台、卫星观测网等相联测.。 5.多点定位 一点定位没有顾及椭球定位的第三个条件，即一点定位难以保证椭球面与大地水准面达到最佳密合。 根据天文大地测量资料，按照公式大地原点的垂线偏差和高程异常。这种规定方式称之为多点定位。 多点定位，椭球中心与地心不重合，有此定义为参心坐标系。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,0 基本知识 0.1 基本概念 法截面包含曲面一点法线的平面。 法截线法截面与曲面的截线。 卯酉圈与椭球面上一点与子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。 子午圈包含短轴的平面与椭球面

8、的交线。 平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线。,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,0 基本知识 0.2 基本性质 过椭球面上一点可作无数多个法截面，相应就有无数多个法截线。椭球面上法截线的曲率半径随着它们的方向不同而不相同。 卯酉圈是一条法截线，平行圈是一条斜截线。 椭球面上同一点处的卯酉圈和平行圈具有公共切线。,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,一、平行圈半径r与卯酉圈曲率半径N的关系,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,一、平行圈半径r与卯酉圈曲率半径N的关系,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,二、子午圈曲率半径M,表 M、N随B变化

9、的规律,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,二、子午圈曲率半径M,大地测量学基础,1. 在椭球面上任一点处的法截线中，卯酉圈曲率半径达到最大值，而子午圈曲率半径最小。 2. 规定：任一点的卯酉圈和子午圈的切线方向，就是椭球面在该点的主方向，其曲率半径和称为该点的主曲率半径。 3. 椭球面上任一点处的平行圈与卯酉圈具有公共切线，经线和纬线上每一点的切线也都是椭球面在该点主方向。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,三、任意方向法截线曲率半径RA 任意方向A的法截线曲率半径，不仅与点的纬度有关，还与该点的法截线的大地方位角有关。,大地测量学基础,和,和,、,、,(1)相对于主方向对称位置的

10、法截线具有相同的曲率半径。,(2)椭球面上任一点相互垂直的两个法截线曲率之和是固定值，且等于两个主方向曲率之和。,法截线具有下列特性:,第二节 椭球面上法截线曲率半径,四、平均曲率半径 在测量工作中常常根据定的精度要求，将某一范围内的椭球面当作圆球面来处理，为此就要推求这个圆球面的半径平均曲率半径。,五、曲率半径的数值计算公式,大地测量学基础,作业：,1.基本概念：椭球定位、法截线、斜截线、卯酉圈、主曲率半径、主方向、平均曲率半径 2.卯酉圈、平行圈、子午圈曲率半径的表达 M、N随纬度的变化规律 3.描述参考椭球的几何参数和物理参数。 4.大地起算数据有哪些。 5.椭球定位满足的条件； 6.什

11、么是地球椭球一点定位和多点定位 7. 法截线的性质,第三节 椭球面上弧长计算,一、子午圈弧长公式 （用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算） 1、计算B=0到B的子午圈弧长X 由M=dX/dB得： 将 代入上式，从0到B积分，可得X。 可知，X是B的函数。 相应的数值计算公式,大地测量学基础,第三节 椭球面上弧长计算,一、子午圈弧长公式 2、计算已知纬度B1和B2之间的子午圈弧长X （1）分别计算0到B1和0到B2之间的子午圈弧长X1和X2，然后求X=X2-X1； （2）用上述积分式求B1B2之间的子午圈弧长X。,大地测量学基础,第三节 椭球面上弧长计算,二、平行圈弧长 平行圈是一个半径等于

12、r=NCOSB的圆，纬度B处经度L1L2之间的平行圈弧长 中小比例尺地形图分幅，其图幅面积实际上是两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积。 二、任意两点之间的弧长,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,一、相对法截线 1.定义：设Q1和Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线Q1n1和Q2n2不相交。法截线Q1m1Q2和Q2m2Q1称为两点间的相对法截线。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,一、相对法截线 2. 正反法截线之间的夹角： 令Bm=45，A=45，不同距离S求得的值为： S 100km 0.042 60km 0.015 30km 0.00

13、4 3.在长距离的测量中，对向观测所得3个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,二、大地线及其几何特征 1、大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。 2.密切平面-,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,二、大地线及其几何特征 3、大地线几何特征 1）椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线 2）大地线与相对法截线间的夹角为=/3。 3）大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km时二者之差仅为0.007mm。 4）两点位于同一条子午圈上或赤道上

14、，则大地线与子午圈、赤道重合。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,三、大地线微分方程和克莱劳方程 大地线微分方程：就是大地经、纬度及大地方位角与大地线弧素间的微分关系式，即dB、dL、dA分别与dS的关系式。 大地线的解析特性表述dB、dL、dA与dS的关系： 大地线的三个微分方程： 莱劳方程在椭球大地测量学中有重要意义， 它是经典的大地主题解算的基础。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,四、地面观测方向归算至椭球面 1、垂线偏差改正1 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数1为： 1= -（sinA-cosA）tan 例：A

15、=0，tan=0.01，=5，则1=0.05。 垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,四、地面观测方向归算至椭球面 2、标高差改正2 定义： 因照准点 B高出椭球面某一高度 H2，使得在A点照准B点的法截线Ab与Ab之间有一夹角2。 B2 照准点的大地纬度； A1 测站点至照准点的大地方位角； H2 照准点高出椭球面的高程； M1 测站点子午圈曲率半径。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,四、地面观测方向归算至椭球面 3、截面差改正3 将椭

16、球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数3。 例：A1=45，Bm=45，S=30km 3=0.001 截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,五、地面观测距离归算至椭球面 假定：法截线长度大地线长度 法截线长度曲率半径 所求的和两点间的大地线的长度可以认为就是半径等于的相应的圆弧长。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,五、地面观测距离归算至椭球面 设A、B两点的大地高分别为H1为H2，h=H2-H1，d为空间直线长。由三角形AOB按余弦公式可得： 弦长 弧长 第一项是测距

17、仪与反光镜平均高程面上的水平距离；第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正数；第三项是弦长换算成椭球面上圆弧长的改正数。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,六、椭球面上的三角形解算 目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。 方法一：球面代替椭球面，按球面三角形解算公式： 方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。 球面三角形球面角超 ，为三角形面积。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,六、椭球面上的三角形解算 勒让德定理：对于较小的球面三角形，对其进行改化，使各个平面角等于相应的球面角减去

18、球面角超的三分之一，而边长保持不变，使其改化为平面三角形，然后可用平面三角形公式进行解算。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,大地测量学基础,推导：,第五节 椭球面上大地问题解算,一、概述 （一）基本概念 1.大地元素：椭球面上点的大地经度、大地纬度、两点间的大地线长度及其正反大地方位角，通称为大地元素。 2.大地问题解算：如果知道某些大地元素推求另外一些大地元素，如根据大地测量成果（角度、距离），计算点在椭球面上的大地坐标，或者根据两点的大地坐标，计算它们之间的大地线长和大地方位角，这样的问题就叫做大地问题解算，或称大地坐标解算。,大地测量学基础,第五节 椭球面上大地问题解算,

19、一、概述 3.解算内容 大地问题正解已知P1点大地坐标（B1，L1）、P1P2大地线长S和大地方位角A1，推求P2点大地坐标（B2，L2）和大地方位角A2。 大地问题反解已知P1P2两点的大地坐标（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地线长S和大地方位角A1、A2。,大地测量学基础,第五节 椭球面上大地问题解算,一、概述 （二）解算方法 1、按解算的距离分为短距离（400km)、中距离（4001000km)和长距离（10002000km)的解算。 2、直接解法和间接解法 直接解法直接解求点B、A和相邻起算点的大地经差。主要用于长距离大地问题的解算。 间接解法先求大地经差、纬差和大地方位

20、角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。,大地测量学基础,第五节 椭球面上大地问题解算,大地测量学基础,1. 勒让德级数式：,按照台劳级数将,和,两点的纬差、经差和方位角差展开,的幂级数，称为勒让德级数式。,成为大地线长度,（三）间接解算方法,第五节 椭球面上大地问题解算,大地测量学基础,大地线微分方程：,（三）间接解算方法,第五节 椭球面上大地问题解算,（三）解算方法 2、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。 基本思路：首先把勒让德级数在点展开改为在大地线长度中点展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；其次，考虑到求定中点的复杂性，将点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的点来代替，并借助迭代计算。,大地测量学基础,第五节 椭球面上大地问题解算,二、高斯平均引数公式 （一）按平均引数展开的台劳级数 平均引数xm为xo、xa的中点，将f(xa)、f(xo)都以xm为