计算固体力学第三章-1

1、计算固体力学 Computeational solid mechanics第三章 有限元法(含协调模型分析),补充 ：弹性力学有关方程的矩阵表示,* 本节以二维平面问题为例，同样适用于三维空间问题,* 假定：材料为均匀连续、各向同性的，变形是 微小的 ，受力变形过程材料始终处于线弹性阶段。,弹性力学平面问题：,一点的体积力列阵：,一点的应变列阵：,一点的应力列阵：,一点的位移列阵：,一点的表面力列阵：,边界外法线方向余弦矩阵：,平衡方程：（内力与体积力的关系方程）,写成矩阵形式：,几何方程：(应变与位移的关系方程),其中 A - 微分算子矩阵,其中：,写成矩阵形式：,物理方程（应力与应变的关系

2、方程),写成矩阵形式：,D 弹性矩阵 关系： E=2（1+）G,应力边界条件（在给定的应力L表面上）,写成矩阵形式：,1 有限元法简介,1 有限元法简介,有限元是近似求解一般连续域问题的数值方法，其实质是：,从物理方面看：它是用仅在单元的结点(Element node)上彼此相联系的单元集合体来代替待分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若干个单元（彼此相连接),通过单元的特性分析来求解连续体的特性。,从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体的场函数。显然随着单元数的增加，即单元尺寸的变小，解的近似程度将不断改进

3、。如单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于精确解。,有限元借助于两个重要工具：在理论推导方面采用矩阵方法，在实际计算中采用计算机。,1 有限元法简介,有限元的发展,1956年美国科学家Turner,Clough等人在分析飞机结构时，将刚架位移法推广到弹性力学平面问题，第一次给出用三角形单元求平面应力问题的正确解答。,1960年Clough进一步处理了平面问题，并第一次提出“有限单元法”的名称，并取得了一系列成果。,60-70年代，有限元的巨大成就引起了数学界的注意，对于有限元离散化误差，收敛性，稳定性等方面的研究巩固了有限元的数学基础。,70年代有限元发展异常迅速，从“位移法”开始已经发展成内容

4、十分广泛的计算力学学科，仅分析方法而论，可分为：位移元，杂交元，混合元，边界元，样条元和半解析法等；就分析对象而言，已由固体力学分析，发展为流体，传导，塑性，粘弹性等，近年来，每年发表有关有限元的论文数以千计。,有限元的基本思想 把整个求解区域分成许多个有限小区域，这些小区域称之为单元。 在每个单元上构造近似位移函数，即进行所谓的分片插值。 在每一个单元上求势能。 将所有单元上的势能加起来得弹性体的总势能。 最后应用最小势能原理求解单元节点位移。,1. 有限元法简介,有限元的基本思想,加权余量方法和变分法通过对未知场函数进行试函数近似，能把连续问题化为离散问题，但求解能力有限，一个主要障碍就是

5、试函数是在全场范围内定义的。,有限元单元法的思想是把整个求解区域分成一些既不重叠也无裂缝的子区域（单元）。以未知函数在节点上的值作为基本未知参数，运用各种方法得到单元的刚度方程，这样就可以用离散的方法求解。,几个关键问题,有限元的基本思想,有限元离散过程中，相邻单元在同一节点上场变量相同 达到连续，但未必在单元边界上任一点连续；在把载荷 化为节点载荷的过程中，只是考虑单元总体平衡，在单 元内部和边界上不能保证每点都满足控制方程。 关键问题：单元形状；单元的近似函数；建立单元刚度 方程的方法；收敛、精度等问题. 建立单元刚度方程的方法之一是直接法.,1. 有限元法简介,用内力作为问题的未知量.

6、使用平衡方程,引进协调方程,最后的到一组确定多余力或未知力的代数方程组.,假定节点位移作为问题的未知量. 用平衡方程及力与位移的关系,借助位移表达协调控制方程.,这两种方法在分析中得出的未知量(力或位移)，并得出与其公式相关的不同矩阵（柔度矩阵或刚度矩阵）。由于位移法的公式对于大多数结构分析问题比较简单，因此对于计算机求解，位移法（或刚度法）更符合要求。此外，绝大多数的通用有限元程序编入了求解结构问题的位移公式。,有限元方法涉及用相互连接的，叫做有限元的小单元模拟结构,一个位移函数与每一个有关的单元相关. 每个相互连接的单元通过共同(或共享)界面,包括节点, 边界线表面, 与其他单元连接. 通

7、过使用构成结构的材料的已知应力-应变特性,可以用结构中其他单元的特性确定给定节点的特性. 描述每一节点特性的整组方程得出一系列用矩阵符号最佳表示的代数方程.,在结构力学里介绍的矩阵分析法可以看成是有限元法用于杆系结构的一个特例。 有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维，板壳）分析过程是一样的，一般为：,现在给出建立有限元方法公式和求解结构问题的步骤. 这个一般步骤是为了揭示建立一个问题的有限元公式所遵循的步骤,以后学习 弹簧,杆,梁,平面框架,平面应力,轴对称应力,三维应力,热传导和流体流动等特殊问题时,容易容易理解. 建议以后学习特定单元时,定期的复习这一节.,有限元法基本步骤:,有限

8、元法基本步骤,将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省计算费用.,在有限元分析中,单元类型选择取决于实际受载条件下物体的物理构成,也取决于分析人员所期望的近似程度.必须判断选择 一维,二维或三维单元进行理想化是否适当.,选择每个单元内的位移函数. 该函数是用单元的节点值在单元内部定义的. 线形, 二次和三次多项式是常常使用的位移函数, 因为用它们建立有限元公式比较简单.,每个单元可重复使用同一个通用的位移函数. 一个连续量

9、,如整个物体内的位移,用一个离散的模型来近似,而此离散模型是由每个有限域或有限单元内定义的分片连续组成.,为了推导每一个有限单元的方程,需要应变位移和应力应变关系.,比如, 在一维变形和小应变的情况下,联系节点力和节点位移的刚度矩阵和单元方程是通过基本单元的力平衡条件和力与位移的关系的出.,用功或能量法很容易建立二维和三维单元的刚度矩阵与方程.,加权残余法在推导单元方程时是很有用的，比如伽辽金法. 尤其当泛函(如势能)不容易得到时,这些方法就特别有用. 而且加权残余法使有限元方程直接用于任何微分方程.,得到单元方程后,通过叠加法(称为直接刚度法,其理论基础为节点力平衡)将单个单元方程加在一起得

10、出整个结构的总体方程.,此时刚度矩阵为一个奇异矩阵, 其行列式为零. 为了去掉奇异性问题,必须利用某些边界条件(或约束,或支撑),使结构固定,不能作为一个刚体移动. 即需要修改刚度矩阵.,在修改考虑了边界条件后，形成一组联立代数方程组.,可以用 消去法(高斯消元法)或迭代法求解此方程.,最后的目标是解释和分析用于应力应变分析过程的结果. 在进行设计和分析决策时,确定结构中位移最大和应力最大的位置通常是重要的.,分析人员必须就以下问题作出决定: 将结构或连续体划分为有限元的问题,选择单元类型或分析中要使用的单元类型(步骤1),外加载荷的类型,边界条件的类型,外加支撑的类型问题. 其他的步骤2-7

11、,可以由计算机程序自动进行.,1. 将结构“离散化”为有限个单元的组合体。,2. 对单元进行分析：,(a) 由单元结点位移来描述单元内部位移,(b) 进行单元应变，应力分析,(c)由势能原理或虚位移原理 W外=W内 ，建立单元特性方程（单元刚度方程）,自然离散 (如桁架) (b) 逼近离散 (对连续体),有限元法步骤小结,3. 整体（集合体）分析 用直接刚度法集成整体刚度矩阵和综合等效荷载列阵。,4. 边界条件处理（对已知边界条件）,方法：(a) 划零置1法 (b) 乘大数法,5. 解方程求位移 用适合的数学方法求解整体刚度方程得到全部结点位移。,6. 根据求得位移，进一步求应变，应力等。,有

12、限元法步骤小结,有限元法基本步骤:,2 有限元法的应用,2. 有限元法的应用,应力分析, 包括桁架和框架分析,与孔,凸起,或其他物体几何形状改变相关的应力集中问题. 屈曲; 振动分析.,热传递; 流体流动,包括通过多孔材料的渗流; 电位或磁位的分布.,现给出有限元方法应用的一些例子。用这些例子说明可以用有限元方法求解的问题的类型，规模和复杂程度，并说明典型的离散过程和所用的单元类型。,用带圆圈的数字标出了48个单元,用不带圈的数字表示28个节点. 每个节点有三个转动分量和三个位移分量.,如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析的目的

13、是找出杆端应力集中最高的位置.,有限元法的优点,可以很容易的模拟不规则形状的结构. 可以毫无困难的处理一般的载荷条件. 因为单元方程是单个的建立起来的,因此可以模拟由几种不同材料构成的物体. 可以处理数量不受限制的和各种类型的边界条件. 单元的尺寸大小可以变化,必要时可使用小单元. 改变有限元模型比较容易,花费不大. 可包括动态作用. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.,3 协调模型分析,大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模型”（Conforming model)。,1. 建立协调模型的一般方法,表示单元的总位能，由下式

14、定义：,其中,因此,仅仅包含独立的宗量d, 可以根据最小位能原理的驻值条件得到方程。,其中,该方程可以作为单元集合体的结构的平衡方程。,对于方程具体形式,我们以一维杆单元为例推导。,1.1 用单位-位移定理推导,考虑一个线性单元,承受一组广义力,广义位移:,在外力Fi处施加一虚位移,由虚功原理,得,在线弹性结构中,虚应变是正比于虚位移的,其中, 代表由于在 Fi 方向上施加的单位位移( )引起的协调应变分布.,代入,表示在力 Fi 方向施加单位位移(di=1)所引起的单元内的协调应变分布.,得单位-位移定理:,其中,在力系F作用下所产生的位移与真实应变分布之间存在线形关系:,由应力-应变关系,

15、单元的节点平衡方程，其中K为单元刚度矩阵。,为了方便求解，真实应变分布的 b 的计算比较困难，因此采用近似处理,例 杆单元 考虑图示杆(Bar)单元，长度为 l，截面积A，弹性模量E，节点为1，2。,节点力和节点位移分别表示成：,在节点1处加单位位移d1=1,协调的应变为：,在节点2处加单位位移d2=1,协调的应变为：,假定真实的位移分布是坐标 x 的线形函数，即,由应变-位移关系,因此，有,相应的平衡方程为：,1.2 用求解微分方程来推导,若没有体力，则应力平衡方程为：,仍然以刚才一维杆件为例:,由应变-位移关系,由应力-应变关系,先将2端固定，在1端施加位移u1，其正方向与坐标轴一致，则几

16、何边界条件为：,积分,边界（两个端面）1，2的外法线n1, n2的方向余弦分别为:,则根据力的边界条件（面力与应力的关系），有,同理，将1端固定，在2端施加位移u2，则几何边界条件为：,则根据力的边界条件（面力与应力的关系），可得,因此，如果同时在两端施加位移，相应的边界力为：,写成矩阵形式,与前面用单元-位移定理推导出的形式一样。,1.3 用最小位能原理推导,根据边界条件：,仍然以刚才一维杆件为例:,（1）选择位移函数,代入,得到,记为,得到以节点位移表示的位移函数：,（2）应变-位移函数,对于一维问题：,记为,（3）应力-应变关系,（4）总位能,（4）总位能,单元的应变能：,此时的外力功：

17、,因此系统的总位能：,代入驻值条件,得到节点力-位移关系：,其中：,假定梁(Beam)单元是能够抵抗 轴力，弯矩，扭矩 的等截面直杆，作用在梁元上的力系为：,2. 梁单元,取对应的位移：,因此梁单元刚度矩阵为12*12阶,其中刚度矩阵可以分成4组来考虑,（1）轴向刚度； （2）扭转刚度； （3）xy平面内的弯曲刚度； （4）xz平面内的弯曲刚度。,（1）轴向刚度,根据杆单元的分析，可以得到力-位移关系式为,记为,（2）扭转刚度,其中,（3）xy平面内的弯曲刚度,在无中间载荷作用时，其挠度 v 的微分方程是,取挠度函数为：,根据几何边界条件：,记为,代入挠度函数得,式中,同时可得弯曲时的轴向应变

18、为,代入应变能公式,其中,表示梁在计算平面内的弯曲刚度矩阵,（4）xz平面内的弯曲刚度,此时和（）xy平面情况的符号不同,同理可得：,其中,（）主轴坐标系内的梁单元的刚度矩阵,主轴坐标系内的梁单元的刚度矩阵K可以通过组装前面（），（），（），（）步中的刚度，按照排列组成 12*12 的完整梁单元刚度矩阵,（6）节点坐标系内的力-位移关系式,（7）基准坐标系内的力-位移关系式,一般情况下,梁的形心和节点在空间不重合,他们之间的差距称为”偏心”。因此，要根据虚功原理，把主轴坐标系内导出的梁元关于形心的力-位移模式转换成关于节点的力-位移模式。（相当于移轴）,为了得到整个结构的刚度特性，必须要对单元

19、进行组合，这使得所有的节点位移和他们对应的节点力系将参考一个公共的坐标系，这个坐标系就是基准坐标系。要建立各个单元节点坐标系内的力-位移关系式与基准坐标系内的力-位移关系式之间的转换关系。（相当于移轴加转轴）,例：如图，有中间支点的悬臂梁，端点受载荷 P 作用，假定梁的 EI 是常数，长度为2L ，假定中点有滚轴支撑，右端为固支,确定节点位移，转动和反作用力，并作剪力和弯矩图,按图建立离散单元，个单元，并建立总体坐标轴，得到总体刚度矩阵,及,将已知的位移和转角回代入控制方程， 可以确定总体坐标节点力。,作业1： 参照上面方法，对于图P4.3所示的梁，确定铰支点A的转动以及载荷P作用处的转动和位

20、移确定反作用力，画出剪力和弯矩图，令EI沿梁的长度是常数,. 矩阵位移法,自学,作业2：,. 平面应力和平面应变概念,（1） 平面应力,平面应力定义为一种应力状态，在这种应力状态下，假定垂直于该平面的法向应力和剪应力为零。即应力主要发生在平面内。例如很多薄板，如：,（2） 平面应变,平面应变定义为一种应变状态，在这种应变状态下，假定垂直于该平面的线应变和剪切应变为零。 对于有固定横截面的长物体（如 z 方向），如果仅仅作用有(x,y方向)的载荷，并且沿长度方向不变化，就可以假定为平面应变状态。如：,5. 平面三角形单元,为了能用节点位移表示应变和应力，首先必须假设一个位移模式，也就是假定位移分

21、量为坐标的某种简单函数，这些函数在节点上的数值，应当等于节点上的位移分量的数值。这些函数习惯上称为“形状函数”，或“插值函数”。 在协调模型中，多用多项式作为插值函数。 考察平面三角形单元。,考虑一个薄板受拉伸作用，如图,对薄板采用限元法分析:,考虑从右图中取出基本的三角形单元，每个单元有节点 i, j, 和m。每个节点有两个自由度。这里采用逆时针方向记录节点号。,选择每一个单元的位移函数为线形函数,式中u(x,y)和v(x,y)描述单元内部任何一点 (xi, yi)的位移。,线形函数保证满足协调关系 有指定端点的线形函数只有一条路径（直线）通过两个端点因此，线形函数可以保证沿边界和在相邻单元共享的节点处的位移是相等的利用方程（），可以得到包容函数u 和 v 的广义位移函数为：,（）,回84,将节点坐标代入方程（），可以得到,（）,（）,将方程（3）的前，后三个方程分别写成矩阵形式：,代回方程 （）得到,（4）,A 为三角形面积,其中,（5）,可以将式（）,写成,记为,将方