大学物理下大物量子17

1、量子物理学基础,17.1 热辐射 普朗克的量子假设 17.2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 17.3 康普顿效应 17.4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论 17.5 德布罗意波 波-粒二象性 17.6 不确定度关系 17.7 波函数 薛定谔方程 17.8 势阱中的粒子 势垒 谐振子 17.9 量子力学中的氢原子问题 17.10 电子的自旋 原子的电子壳层结构,第17章 量子物理基础,作业：3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,20,17.1 黑体辐射问题,一、热辐射,任何物体在任何温度下都要向外辐射各种波长的电磁波。这种辐射与物体本身的温度有关。所以叫热辐射。,单色辐

2、射出射度,dM 单位面积上波长在 +d 范围内的辐射功率。,辐射出射度,M(T)只是T的函数。,二、黑体辐射规律,绝对黑体,斯忒藩 玻尔兹曼定律,M(T) = T4, = 5.67108w m2 k4 斯忒藩恒量,维恩位移定律,T m = b,b = 2.897103m k.,例1. 假定恒星表面的行为和黑体表面一样，测得太阳和北极星辐射波谱的峰值波长分别为：,试估计太阳和北极,星的表面温度及每单位表面上单位时间内辐射出的总能量。,解：根据维恩定律：T m = b， 则有,太阳：,北极星：,根据斯忒藩玻尔兹曼定律, 太阳和北极星的辐射出射度分别为：,太阳：M1(T) = T14 = 5.671

3、08 (5700)4,北极星：M2(T) = T24 = 5.67108 (8300)4,= 6 107 w m2,= 2.8 108 w m2,三、普朗克能量子假设,对于一定频率的电磁波辐射，物体只能以h 为单位吸收或发射它。, = h,h = 6.6625 1034 J S, 普朗克常数。,能量子,普朗克公式,c：光速； k玻尔兹曼常数,普朗克能量子假设与经典理论的根本区别：,能量是不连续的。,17.2 光 电 效 应,一、光电效应实验规律,光电效应实验简图,1. 光电流与入射光的强度之间的关系,uS 遏止电压,实验表明：饱和电流强度与光强成正比。,2. 光电子的初动能和入射光的频率之间的

4、关系,光电子的初动能：,k：与金属材料无关的常量。,实验表明：光电子的初动能随入射光的频率线性增加而与入射光的强度无关。,当光照射某一给定金属（或某种物质）时，无论光的强度如何，若入射光频率 0，就不会产生光电效应。,由于,所以 0,0 红限频率,3. 光电效应和时间的关系,实验表明：从光线开始照射至金属释出电子，无论光强如何，几乎的瞬时的（109S）。,二、爱因斯坦的光量子理论,1905年，爱因斯坦提出光子假说：,光不仅在发射和吸收时具有粒子性，而且光在空间传播时也具有粒子性 ，即一束光是一束以光速 c 运动的粒子流，这些光粒子称为光量子（光子），每一光子的能量, = h,h 普朗克常数。,

5、 爱因斯坦光电效应方程。,显然： h A,三、光的波粒二象性,光既具有波动性，又具有粒子性。,由 = h,E2 = p2c2 + m02c4,光子的静止质量为零，可得：,例2. 钨的光电效应红限波长 0 = 2.74105cm 求：钨电子的逸出功； 在 = 2.74105cm的紫外光照下，光电子的遏止电压uS.,解：, 爱因斯坦光电效应方程,例3. 已知 射线的波长 = 1.241012m 。求其光子的能量、动量和质量。,解：光子能量：,= 1.61013 J,光子动量：,光子质量：,17.3 康普顿效应 一、实验规律 二、 Compton 的解释 三、吴有训对研究康普顿效应的贡献,晶体,光阑

6、,探 测 器,一、实验规律,1922-23年 康普顿研究了X射线在石墨上的散射,0,散射波长,散射曲线的三个特点：,1.除原波长0外出现了移向长波方面的新的散射波长,2.新波长 随散射角的增大而增大,称为电子的Compton波长,只有当入射波长0与c可比拟时 康普顿效应才显著 因此要用X射线才能观察到,3波长的偏移只与散射角 有关,c = 0.0241=2.4110-3nm（实验值）,经典理论又一次遇到困难 经典散射理论： 当波长0的射线入射后 使电偶极子受迫振动 发出散射波的波长在各方均是0 康普顿采用了爱因斯坦的光量子假说 成功地解释了实验现象 进一步证明了光量子假说的正确性,二、 Com

7、pton 的解释 1.物理图像 单个光子与单个电子发生弹性碰撞 设入射光子能量为 h0 散射光子能量为h 被碰电子可以看作是自由电子 碰前静止 电子功函数量级几个 eV 电子热运动平均能量量级10-2 eV 与光子能量10 KeV 相比 都很小,自由 静止,2.Compton 散射公式,康普顿假设: 碰撞过程 遵守能量守恒定律和动量守恒定律,利用相对论能量与动量关系,得出结果,反冲电子,散射光子,电子的Compton波长,波长改变最大,实验值 c = 0.0241 =2.4110-3nm,解释在散射线中还有原波长的成分 如果光子与石墨中被原子核束缚得很紧的电子发生碰撞（内层电子）,这样 散射光

8、的能量(波长)几乎不改变 从而散射线中还有与原波长相同的射线 原子序数愈大的散射体原波长的成分愈多,相当于光子和整个原子碰撞（m0是原子质量）,3.康普顿散射实验的意义,支持了“光量子”概念 进一步证实了,首次在实验上证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设,证实了在微观的单个碰撞事件中 动量和能量守恒定律仍然成立,康普顿获得1927年诺贝尔物理学奖,P = E/c = h/c = h/, = h,康普顿 （A. H.Compton) 美国人(1892-1962）,康普顿在做康普顿散射实验,19251926年 吴有训用银的X射线(0 =5.62nm) 为入射线 以15种轻重不同的元素为散射

9、物质,三、吴有训对研究康普顿效应的贡献,1923年 参加了发现康普顿效应的研究工作,对证实康普顿效应作出了重要贡献,在同一散射角( )测量各种波长的散射光 强度 做了大量 X 射线散射实验,1. 与散射物质无关 仅与散射角有关,曲线表明,吴有训的康普顿效应散射实验曲线, 证实了康普顿效应的普遍性 证实了两种散射线的产生机制 外层电子(自由电子)散射 0内层电子(整个原子)散射,在康普顿的一本著作 “X-Rays in theory and experiment”(1935)中 19处引用了吴的工作 两图并列作为康普顿效应的证据,吴有训 (18971977),意义:,0,17.4 氢原子光谱 玻

10、尔的氢原子理论,一、氢原子光谱的实验规律,RH =1.096776107m1 里德伯恒量 n m.,2. 任意一根谱线的波数都可由下列公式计算,二、玻尔的氢原子理论,1. 定态假设 : E1, E2, E3 . En.,2. 量子跃迁假设,3. 轨道角动量量子化假设,(n = 1,2,3, ),n 量子数。, 量子化条件。,氢原子轨道半径和能量的计算。,设可能的定态轨道半径为 rn .,利用量子化条件,(n = 1,2,3, ),对应轨道的定态能量, 基态,(n = 1, 2, 3, ),根据量子跃迁假设，,令,与实验值符合得很好。,三、玻尔氢原子理论的意义和局限性,17.5 实物粒子的波粒二

11、象性,一、德布罗意波,和实物粒子相联系的波。, 德布罗意公式,例4. 试计算下列3种粒子的德布罗意波长,质量为0.01kg，速率v = 300ms1的子弹。 以速率v = 2103ms1运动的质子。 动能为1.6 1017J的电子。,解：根据德布罗意公式,子弹的德布罗意波长,质子的德布罗意波长,电子的德布罗意波长,二、德布罗意假设的实验验证,戴维孙 革末实验,电子绕射与 x 射线衍射照片,电子的双缝衍射照片,三、德布罗意波的统计解释,以电子单缝衍射为例。,只考虑中央主极大，则,a为缝宽。,四、不确定性关系,在x方向的位置不确定量,x = a,在x方向上动量的不确定量,又 p = h, x px

12、 = h,若考虑到衍射图样的次级条纹,x px h,它说明：对粒子的坐标和动量不可能同时有确定值。,对微观粒子，不存在轨道概念。,例5. 试比较电子和质量为1.0102kg的子弹在确定它们的位置时的不准量。假定它们都在 x 方向上以200ms1的速度运动。速度测量误差在0.01%。,解：根据不确定性关系,px = (0.01%) px = (0.01%)mvx,对电子：,px = 0.01102 9.11031200= 1.81032kgms1,对子弹：,px = 0.01102 1.0102200 = 2.0104kgms1,显然：对子弹来说，这种不确定度是可以忽略的；但对电子而言则必须考虑

13、！,17.6 薛定谔方程,一、波函数,平面简谐波的波动方程：,写成指数形式：,类似地，一动量为p，能量为E，沿x方向运动的自由粒子，其德布罗意波的波长,自由粒子的波函数：,推广到三维空间，,二、波函数的统计解释,玻恩在实验的基础上，提出了波函数的统计解释：,波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。,按照这种解释，描写粒子的波乃是几率波。,其中 | |2 = * 表示 t 时刻在(x, y, z)处单位体积内出现的几率即几率密度。,用数学来表达波函数的性质：在空间一很小的区域 xx+dx, yy+dy, zz+dz内，即体元 d=dxdydz内出现的几率（t时

14、刻）,波函数的标准条件：单值、有限、连续。,归一化条件：,三、薛定谔方程：,描写粒子状态随时间变化所遵从的规律,设自由粒子沿 x 方向匀速直线运动，其波函数为,(1),对 t 取一阶偏导：, 一维自由粒子含时间的薛定谔方程。,(2),对 x 求二阶偏导。,考虑一维势场中运动的粒子：,两边同乘以,将(1)、(2)式代入，得，,(3), 一维势场V(x,t)中运动粒子的薛定态方程。,若势能只是坐标的函数与时间无关，波函数可写为,(x, t) = (x) f (t),代入(3)式，整理得：,等式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，令,积分得,由于指数只能是无量纲的纯数，可见E必定具有能量量纲。,或,

15、 一维运动粒子的定态薛定谔方程。,所以，,如果粒子在三维空间运动，则,上式为势场 中运动粒子的定态薛定谔方程。,17.7 薛定谔方程的简单应用,一、一维无限深势阱,设质量为m的粒子，只能在一维势场中运动，,(0 x a),x 0， x a时，(x) = 0。即，,(0) = 0, (a) = 0,令：,则方程可写为,势能不随时间而变化，定态薛定谔方程,该方程的通解：, (x) = Asinkx + Bcoskx, (0) = 0, B = 0,又 (a) = Asinka = 0, A 0.,ka = n (n =1, 2, 3, ),(n =1, 2, 3, ),可见，要使本问题有解，能量只

16、能取不连续的值。,与一定的 En 相对应，可得,(0 x a),根据归一化条件，,得,所以，薛定谔方程的解：,(0 x a),二、一维势垒,定态薛定谔方程,(x 0),(x 0),得,(x 0),(x 0),通解：,(x 0),(x 0),讨论, 1(x)：表明有入射波和反射波。, x 0的区域，,i E u0 ,ii E u0 ,(表明 E u0时，粒子仍能透入势垒中。透射波有一透入深度。),不存在反射波, B = 0,一部分透射，一部分反射。,三、隧道效应,求解定态薛定谔方程，类似地有：,(x a 或x 0),(0 x a ),方程的解：,1(x),(x 0), 2(x),(0 x a )

17、,(x a),说明粒子能量 E a的区域。这种现象称为隧道效应。,例6. 已知无限深势阱中粒子波函数的定态形式,(x) =,(0 x a ),(n =1, 2, 3, ),(x a 或x 0),0,求： 处于基态的粒子在, 处于第一激发态,被找到的几率是多少？,找到的几率是多少？,解： 基态 n =1,1(x) =,(0 x a ),(x a),0,几率, 处于第一激发态, n = 2,(0 x a ),几率,17.8 氢原子的量子力学处理,一、氢原子的薛定谔方程,电子在原子核的库仑场中运动，其势能,其定态薛定谔方程,引入球坐标之后，方程变为,其中， = (r, , ),求解上述方程，可得如下

18、结论：,1. 能量量子化,核外电子的能量,(n =1, 2, 3, ),n 主量子数,2. 角动量量子化,电子绕核运动的角动量,l 角(副)量子数。,(对同一个 n 值，l 可取不同的值，则电子的角动量就有不同的值，而因氢原子内电子的状态必须同时用 n 和 l 两个量子数才能确切表征。例如 n=3, l = 0, 1, 2，电子分别称为3s, 3p 或3d电子。),(l =0, 1, 2, , n1),3. 空间量子化,(ml = 0, 1, , 3, , l ),ml 磁量子数。,二、电子云,求解氢原子的定态薛定谔方程，得到其核外电子定态波函数。,空间各点 (r, , )出现的几率密度,径向几率密度,17.9 电子自旋，四个量子数,一、斯特恩盖拉赫实验,在非均匀磁场中观察处于 s 态的原子射线束，发现一束分为两束的现象。,1925年，乌仑贝克和古德斯密特提出电子自旋假设。,自旋角动量,ms 自旋磁量子数。,在外磁场中，自旋角动量只能有一定的量子化取向。 在外磁场方向中上的投影，只能有如下取值：,二、四个量子数,1. 主量子数 n=1, 2, 3, ，决定电子在原子中的能量。,2. 角(副)量子数 l = 0, 1, 2, 3, , n1，决定电子绕核运动的角