曲边梯形面积与定积分

1、曲边梯形的面积与定积分,一. 定积分的实际背景,1. 曲边梯形的概念,(1). 图中的阴影部分类似于一个梯形，但其中一边是曲线 y=f(x) 的一段. (2). 由直线x=a，x=b (ab)，y=0和曲线 y=f(x) 所围成的图形称为曲边梯形.,还记得“梯形”的面积公式吗？ 怎么求“曲边梯形”的面积呢？,一. 定积分的实际背景,1. 求曲边梯形的面积,【提示】“曲边图形”与“直边图形”有着密切的联系；它们的主要区别在于前者有一条边是曲线段，而后者各边均为直线段； (1).如果可以用适当的直线段代替图中的曲线段以直代曲，就可以近似地求出曲边梯形的面积； (2).怎样“以直代曲”才能使所求的面

2、积比较精确地表示曲边梯形的面积呢？,实验说明：在点 P 附近我们可以用这条直线 l 来代替的曲线； 也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线； 即在很小范围内“以直代曲”可以提高精确度.,放大,再放大,一. 定积分的实际背景,1. 求曲边梯形的面积,观察下面的实验,为实现“以直代曲” 将区间a, b分割成若干个非常小的区间,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A,一. 定积分的实际背景,1. 求曲边梯形的面积,差距巨大,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得,一. 定积分的实际背景,1. 求曲边梯形的面积,差距很大,A A1+ A2+ A3+ A4,用四个矩形的面

3、积 近似代替曲边梯形的面积A，得,一. 定积分的实际背景,1. 求曲边梯形的面积,差距较大,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为,A A1+ A2 + + An,当n无限增大时，以直代曲 无限逼近,一. 定积分的实际背景,1. 求曲边梯形的面积,比较接近,一. 定积分的实际背景,1. 求曲边梯形的面积,例1. 求曲线y=x2与直线x=1, y=0所围成的区域的面积.,(1) 分割将区间0,1等分为n个小区间，每个小区间的长度均为 ，记作 ；,(2) 近似替代过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，再以小区间的左端点的纵

4、坐标为高，x为底作n个小矩形，用这些小矩形的面积近似地替代相应的曲边梯形的面积；,(3) 求和所有小矩形面积之和等于：,(4) 取极限所有小矩形面积之和等于：,基本步骤总结,一. 定积分的实际背景,2. 求变力所做的功,例2. 弹簧在拉伸过程中，力与弹簧的伸长量成正比，即F(x)=kx (k是常数，x是伸长量). 求弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功.,二. 定积分的概念,1. 概念,二. 定积分的概念,2. 关于定积分概念的几点说明,(1) f(x)叫做被积函数； a、b分别叫做定积分的下限、上限； x叫做积分变量； f(x)dx叫做被积式； a, b叫做积分区间. (2) 如果f(x)在a, b上的定积分存在，则称f(x)在a,b上可积； (3) a, bD (D为f(x)的定义域)；,(4) 定积分 是一个常数，只与f(x)和a,b有关；,(5) 各小区间的长度xi可以不相等.,3. 用定义求定积分的基本步骤,分割； 近似替代； 求和； 取极限. (化整为零） (以直代曲) (积零为整) (使近似变精确),三. 定积分的性质和运算法则,(设f(x)