概率论与数理统计总复习

1、.,1,第一章 随机事件,1. 事件A, P(A), 概率的性质,2. 古典概型中求 P(A)= kA/n,3. 条件概率,4. 乘全贝三大公式，见下页,.,2,全概率公式,贝叶斯公式,乘法公式,.,3,5. 事件的独立 P(AB)= P(A) P(B),定理（独立的性质）：若事件A, B独立则,也相互独立。,技巧：n个独立事件并的概率公式,设事件 相互独立,则,P(A1An),.,4,第二章 随机变量(一维),1. 离散型随机变量X,pk，,F(x)= PXx,常见离散型随机变量:,X B(1,p).,X B(n,p).,X P(),P50,T21,.,5,2. 连续型随机变量X,f(x)，

2、,F(x)= PXx,常见连续型随机变量:,X Ua,b,X服从参数为的指数分布,P49,T19,.,6,3. 已知 X 的分布，求Y=g (X) 的分布,(-x)=1-(x).,P50,T20,21,22,23,(0)=1/2,.,7,第三章 随机向量(二维),1. 离散型随机向量(X,Y),pij，,由联合分布律求边缘分布律,.,8,2. 连续型随机向量(X,Y),f(x,y)，,由联合密度函数求边缘概率密度函数,P78,T4,T5,P79,T8,T10,.,9,3. 随机变量的独立性,若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y)所有可能取值(xi , yj), 有

3、,成立。,若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性定义等价于：,对于所有的x, y 成立。,.,10,4. 随机向量函数的分布,Z=X+Y的概率密度为:,n个独立的正态分布的线性组合仍为正态分布,即有,特别地：当X,Y独立时，Z=X+Y的概率密度为:,(1) 和的分布,P80,T19,T20,P80,T21,.,11,特别地，当X1,Xn独立同分布时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是:,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,Fmax (z)=F(z) n ， Fmin (z)=1-1-F(z) n .,第六章P128,T10,（2）极值分布,.,12,第四章 数字特征,1. 数

4、学期望 , 随机变量函数的期望，期望的性质,.,13,.,14,数学期望的性质:,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X与Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（诸Xi 独立时）,技巧：计数器分解求期望！,P105,T21,.,15,2. 方差及其性质,Var(X)=E X-E(X)2 E(X 2)-E(X)2,1. 设C是常数, 则Var(C)=0, Var(X+C)= Var(X).,2. 若C是常数, 则Var(CX)=C 2 Var (X);,3. 若X1与X2 独立，则

5、Var(X1+X2)= Var(X1)+Var(X2);,可推广为：若X1, X2, , Xn相互独立, 则,.,16,3. 协方差 ，相关函数,Cov(X, Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY) -E(X)E(Y),Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y),Var(XY)= Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y),.,17,第五章 极限定理,定理 5.1.1切比雪夫(Chebyshev)不等式 设随机变量X具有期望E(X)= ,方差 Var(X)= 2,则:,或写成,P114, T2,.,定理5.2.1（独立同分布的中心极限定理）,设X1, X2

6、, 是独立同分布的随机变量序列, 且 E(Xi) =, Var(Xi)=2， i = 1, 2, ，则任给 x (-, ), 均有,.,19,设 X1,X2 , ,Xn是来自均值为 ,方差为2的总体的样本，则当n充分大时,定理6.2.1,第六章 样本与统计量,.,20, 2 分布,t 分布,F 分布.,【注意】三大分布的构造，图形，性质,定理 6.3.1 (P126)(又称基本定理),.,21,第七章 参数估计,参数估计包括：点估计和区间估计。,1. 矩估计,2. 极大似然估计,点估计介绍两种方法：,.,22,1. 矩估计,根据所求的未知参数的个数选择上面的式子,.,23,2. 极大似然估计,

7、(3) 在最大值点的 表达式中，用样本X1,X2,Xn替换样本值x1,x2,xn就得到参数的极大似然估计。,求极大似然估计的一般步骤是：,(1) 由总体分布导出样本的联合分布律 (或 联合概率密度函数), 即为似然函数L() ；,(2) 求似然函数L() 的最大值点即的极大似然估计值;,(常常转化为求对数似然函数 ln L()的最大值点,求导等于零,二阶导数在此点小于零，这才说明为最大值点 ）；,.,24,估计量的优良性准则,则称 为 的无偏估计。,一、无偏性,二、方差准则,如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计比较优。这种判定估计量的准则称为“方差准则” 。,.,25,正态

8、总体的区间估计,均值 的置信系数为1-的置信区间,求方差 的置信系数为 的置信区间,.,26,第八章 假设检验,一、单个正态总体N(,2)均值的检验,1. 双边检验 H0:=0；H1:0,方差2已知的情况,方差2未知的情况,(书上有！),.,27,方差2已知的情况,方差2未知的情况,2. 右边检验 H0:=0，H1:0,H0:0，H1:0 右边检验,(书上有！),(书上有！),.,28,方差2已知的情况,方差2未知的情况,3. 左边检验 H0:=0，H1:0 .,H0:0，H1:0 左边检验,.,29,单个正态总体方差的检验,1. H0:2 =02，H1:2 02,设X1,X2,Xn为来自总体N(,2)的样本, 和 2 均未知，求下列假设的显著性水平为 的假设检验。,(书上有！),.,30,2. H0:2 =02, H1:2 02,3. H0:2 =02, H1:2 02,2. H0:2 02, H1:2 02,3. H0:2 02, H1:2 02,(书上有！),.,31,一：填空题（30分，每空两分） 填空： 事件的运算,独立,条件概率的计算,期望与 方差的计算, Chebyshev不等式,中心极限定理,三大 分布的构造 及性质，第6章的基本定理, 置信区间.,二：计算题 （5题，共70分） (1) (第1章)乘全贝三大公式； (2) （第2章、