电磁学第十三讲

1、思考题讨论,思考题2-7 一个平板电容器内按图示填充三类电介质，能否解出各介质中的电场？ 思考题2-9 两个半无限大导体板构成夹角为的二面角，点电荷q位于二面角内某一点，当满足什么要求时，电像法有效？ 思考题3-1 电子的静止能量除了静电能外还有其他来源Wx。为解释电子的半径re，Wx是正还是负？与mc2相比大小如何？,特别思考题,思考题2-10 电场线与介质界面重合情形是否总能按照E=E0求解？例子：两个导体，介质填充在其中一个导体的电场线管内。,加入介质后，导体1表面的自由电荷必然重新分布，使得总电荷面密度与无介质时自由电荷面密度的分布成比例，比例系数1。 这就要求导体2上的总电荷面密度有

2、同样的“衰减”，总电量也要作同样的减少。 但导体2上只有自由电荷，加入介质前后的电荷总量应该不变！ 如何解决矛盾？书中方法失效！,问题出现在什么地方？ 书中方法有效的前提是，体系允许有介质时的总电荷与无介质时的自由电荷有相同分布形式： e=e0 并不是任何情况下总能做到这一点。 其他例子：两个导体 (U1U2) 之间的一电场线管填充电介质。,设无介质时S1带电q，则S2带电q。有介质时两界面上自由电荷分别是q和 q，两界面上总电荷分别是q/r和 q/r。 有与无介质时，界面附近电场之比=q/qr。 如果E=E0成立，必须有 =(Q1 q)/(Q1 q)=(Q2 + q)/(Q2 +q)， 即要

3、求Q1= Q2。 除此以外，有无介质时的电场不会成比例分布。,第十三讲 2010-04-15第三章 静电能,3.1 真空中点电荷间的相互作用能 3.2 连续电荷分布的静电能 3.3 电荷体系在外电场中的静电能 3.4 电场的能量和能量密度 3.5 非线性介质及电滞损耗 3.6 利用静电能求静电力,3.4 电场的能量和能量密度,静电能贮存在哪里？ 前面导出的静电能公式都与电荷相联系，似乎静电能只贮存在电荷上，电荷周围空间的静电能为零！这是早期“超距作用”的观点。 另一方面，静电力可以由电场传递，暗示静电能公式也可能以电场的形式来表达，这就是“近距作用”的观点。 最终由电磁波的赫兹实验评判。,先从

4、平行板电容器的静电能公式入手 前有 设电容器极板间填满介质，则有 Q=e0S=DS，U=Ed， 从而上述静电能公式可改用电场强度表示 式中V=Sd为两极板间的体积，即电场空间的体积。 定义单位体积的静电能为静电能密度：,写成矢量式如下 可见，原认为局限于极板表面电荷中的静电能，实际上贮存于电场空间。逐点对应，局域量！ 对一般形式的电场，总静电能应为 这样定义的静电能密度和静电能计入了介质的极化能，它要求介质是线性无损耗的。,例3.5 从电场的能量公式 (3.4.4) 出发，重新计算孤立带电导体球 (电量为q, 半径为R) 的静电能。 解 由高斯定理可求得该导体球的电场强度 上述结果与例3.2所

5、得结果一致。这说明，在静电场范围内，式 (3.2.13) 和式 (3.4.4) 完全等效。,最后我们写出宏观静电能和介质极化能的表达式。将D=0E+P代入式 (3.4.4) 得 式中 在静电学范围内，上两式分别与式 (3.2.10) 和(3.2.14) 等效，0E2/2为宏观静电能密度，PE/2为极化能密度，二者之和等于静电能密度we=DE/2。 上两式对非静电场情形依然成立。,前述静电能公式仅适用于线性无损耗介质。如何处理非线性有损耗介质？继续分析例3.3中填满均匀介质的平行板电容器，其充电过程中电源做元功 dAudq. 将u=El, q=e0S=DnS代入上式得 dA(EdDn)SlEdD

6、V. 于是对单位体积的电介质，电源所做的元功为 dadA/VEdD 由D0E+P，可将上式改写为 dad(0E2/2)+EdP,*3.5 非线性介质及电滞损耗,物理意义：电源所做的功一部分用来增加宏观静电能，一部分转化为对介质所做的极化功。 极化功的具体形式及后果取决于极化规律。 对线性无损耗介质，极化规律的一般形式为 Pii ij0Ej, ijji. EdPijij0EidEjj (iji0Ei) dEj j Pj dEj PdE 于是有d(PE)EdP+PdE2EdP, 或 EdPd(PE/2), 极化功全部转换为介质的极化能。 dad(0E2/2)+d(PE/2)d(DE/2)dwe,

7、电源做功全部转化为电容器的静电能。,对非线性有损耗介质，只有部分极化功转化为极化能，其余变成热量而耗散。 以铁电体为例，其P和E的关系非单值，依赖于极化过程。当从点A出发沿电滞回线一周回到A点时，电源对单位体积铁电体做功 =0,式中右边沿电滞回线的闭路积分正好等于电滞回线所围“面积”。这部分功既不改变电场，又不改变介质的极化状态，只能是转化为热量，称为电滞损耗。,*3.6 利用静电能求静电力,第2章已经介绍如何由电荷分布直接求静电力。缺点：电荷分布经常是不知道的。,根据虚功原理，利用静电能可以求得静电力。 N个带电导体组成的带电系统，设想某导体在其他导体静电力F的作用下产生虚位移r，则静电力所

8、做的虚功为 A=Fr=Fxx +Fyy+Fzz, F=A. 只要再找到A与静电能的关系，目的就能达到。 下列两种情形，A与静电能的关系比较简单： 1) 带电体的电量不变 (不接电源)； 2) 带电体的电势不变 (接电源)。,1) 孤立系统，带电体的电量不变 位移r只改变各导体的电势，使系统的静电能发生变化，由能量守恒 (We)Q= A 即静电力所作的功等于系统静电能的减少。 于是有 (We)Q = (Fxx+Fyy+Fzz).,2) 接电源，带电体的电势不变 系统不是孤立的，外界 (电源) 通过给系统中的导体提供电荷而做功A， 则系统静电能的变化为 We A+A 设电源使各导体的电势Ui保持恒

9、定，当导体位移r时，各导体的电量变化Qi， 电源对系统做功 A iUiQi 又系统静电能变化，由前面静电能公式可得 (We)U iUiQi 比较上两式得：电源做功是静电能变化的两倍。 A 2(We)U,将上式代入前页第一式右边 (We(We)U) 得 (We)U A 它表示当各导体的电势不变时，静电力做功等于系统静电能的增加。 类似1)中的推导有 说明： 所有由静电能求静电力的表达式，包括已经得到的式 (3.6.3) 和 (3.6.9)，都是等效的，对同一个静电力问题会给出同一答案。,原因：带电导体所受的静电力是由当时系统的电荷分布状态通过库仑定律唯一决定的，它与系统状态变化的具体过程无关。因

10、此，可以随意设想系统状态的变化方式 (便于计算者为佳)。 静电力矩公式 只要将静电力公式中的位移 r换成角位移 A=L 可类推两种情况下的静电力矩公式：,例3.6 真空平行板电容器，极板面积为S，相距为x，充电至电压U=V, 求正极板受力。,解电容器的静电能 若K断开，Q不变 若K闭合，U不变 将C=0S/x代入，两式结果相同，负号表示引力。直接法？,解 设介质从极板间移出的距离为x，极板长l， X=0时，C1=0S/d；X=l时，C2=0S/d, 介质全部抽出。 (1) U不变时，静电力 外力作功,例3.7 平行板电容器极板面积S，极板间距d，其间充满介质，求将介质从极板间完全取出时外力所做

11、的功： (1) U不变；(2) Q 不变。,(2) Q 不变时，静电力 外力作功 说明: 这是两种不同的真实物理过程 (1) U不变，接电源。抽出介质时，C减小，Q变小，外力做功和电容器减少的静电能都转化为电源储能。 (2) Q不变，孤立系。外力作功等于系统静电能的增加。,平衡时F=mg，m=ahd，,例3.8 平行板电容器极板面积为S，极板间距为d，插入介电常数为、密度为的液体介质中，维持电容器的电压U不变，求液面在电容器中上升的高度h。 解 设极板高为b=b1+b2，宽为a，则S=ab，b1为电容器中液柱的高度，b2为电容器中空气柱的高度。,例3.9求在电场E(r)中，电偶极子p所受的力和力矩。 解 电偶极子在外场中的静电能 W互pE= pEcos， 电偶极子在平移时p不变，于是 F(W互)p=(pE)p 根据矢量微分公式：(pE)p(p)E+p(E) 由于E0，有F(p)E，与例2.2结果一致。 在偶极子平移过程中，不是常数，所以 F(pEcos)p pcos (E) F(pEcos)p p(cos EEsin ) ,下面求电偶极子所受的力矩。为此，设电偶极子作一角位移，此时p的大小不变，仅方向会发生变化。于是得,注意：电偶极子的位置并未挪动，故E被当作“常数”从微分号下提出。上式表明，在作用L下，角减小，写成矢量形式有： L EppE 与例2.2的结果一致。,作业、预习及