《高等数学》教学课件：第一节 微分方程

1、第五章 微分方程,第一节 一些物理规律的数学描述微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中的应用实例,2020年9月7日星期一,2,第一节 一些物理规律的数学描述微分方程,3,一、引例,例1. 一曲线过点(1, 2)，且曲线上任意点M(x,y)处线的斜率为2x，求曲线方程.,解. 设所求曲线方程为根据导数的几何意 义，由题设可得,对方程两端积分，得,其中C为任意常数.因为曲线过点(1,2)，所以曲线方程应当满足条件,得C=1.于是所求曲线方程为,4,例2. 一质点在重力作用下自由下落(不计空气阻力)，求质点在任意时刻t所在的位置.,解. 把质点初始位置取为坐标原点，并

2、沿质点运动方向取为轴正方向(如图5-1).设质点在时刻所在t位置为，则质点的加速度为,还应满足条件,将上式两端对t积分，得,5,再积分，即得,由前面条件可定出 因此，所求质点在时刻t的位置为,6,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),二、微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,7, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任

3、意常数的解,其图形称为积分曲线.,8,三、物理实例,例3. 质点的弹性振动,介质中质量为m的质点，假定处在弹性约束之下作一维振动(即仅需一个位置参数就可完全描述质点状态的运动)，我们常以弹簧作为这类一维弹性振动的代表模型(图5-3),图5-3 弹簧振子的振动,解：令质点的运动参数为 质点离开平衡位置的距离，于是质点运动的瞬时速度 振动，瞬时加速度,9,已知质点在介质中运动所受阻力与质点速度成正比，,为阻力系数),根据胡克定律，质点受到的弹性恢复力与位移成正比，,为弹性系数),再设质点受到外力,根据牛顿第二定律，,将上述各力的数学式代入，可得,上式即为有阻尼的质点弹性振动的微分方程.,10,例4

4、. 落体运动,解：由牛顿第二定律 ，则微分方程为,若当 时，,又由,得,再应用如上初始数据对方程式在区间上作两次积分，即得,11,例5.牛顿冷却定律,一温度为5000C物体置于200C的环境中，2分钟后温度降为4000C，问5分钟后温度降至多少度？,解.本问题为物体冷却过程，该过程的状态参数为温度，根据牛顿冷却定律，即物体温度下降速率和物体与环境温差成正比，将定律表示成数学形式即得,其中k为比例常数，由此即得时间t与温度T的微元关系,12,积分后即解得,将初始状态数据,以及,代入，即可确定,于是即得物体降温过程的定量描述,令 代入即得10分钟后的温度,13,数 海 拾 贝,生死人生数 英国诗人捷尼逊写过一首诗，其中几行是这样写的：“每分钟都有一个人在死亡，每分钟都有一个人在诞生” 有个数学家读后去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢大作，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。根据您的算法，每分钟生死人数相抵，地球上的人数是永恒不变的。但您也知道，事实上地球上的人口是不断地在增长。确切地说，每分钟相对地有1.6749人在诞生，这与您在诗中提供的数字出入甚多。为了符合实际，如果您不反对，我建