二次函数的图像和性质

1、.,二次函数的图像和性质,魏书生中学 杨少强,.,.,.,.,复习,一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.,二次函数:,下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？ (1) y=3x-l (2) y=2x (3) y=x+6 (4) y=-3x-2x+4,（1）一次函数的图象是一条_，,(2) 通常怎样画一个函数的图象？,直线,列表、描点、连线,(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？,从最简单的二次函数y=ax2 开始！,.,2.体会数形结合的思想，提高观察分析概括能力，感受数

2、学之美。,1.会用描点法画出二次函数y=ax的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax的开口方向与a的符号有关.,.,22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质,.,二次函数的图像,画函数y=x2的图像,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.,y=x2,.,二次函数的图像,请画函数y=x2的图像,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图像.,y=x2,.,从图像可以看出,二次函数y=x2和

3、y=x2的图像都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.,这样的曲线叫做抛物线.,y=x2的图像叫做抛物线y=x2.,y=x2的图像叫做抛物线y=x2.,实际上,二次函数的图像都是抛物线.,它们的开口向上或者向下.,一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c.,二次函数的图像,还可以看出,二次函数y=x2和y=x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.,抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.,抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.,抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最高点.,y=x2,y=x2,.,解：分别填表，再

4、画出它们的图象，如图,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,例2:在同一直角坐标系中，画出函数 的图象,.,从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,当a0时，a越大，开口越小.,.,在同一直角坐标系中，画出函数 的图象,-8,-4.5,-2,-0.5,0,-8,-4.5,-2,-0.5,-8,-4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,.,当a0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.,从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,对于抛物线 y = ax 2 ，a越大，抛物线的开口越小,.,位置开 口方向,对称性,顶

5、点最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称，对称轴是直线x0,顶点坐标是原点（0，0）,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,.,对称轴、顶点、最低点、最高点,这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,.,抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y

6、随着x的增大而增大.,.,.,探究,相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴.,相同点,不同点,不同点：|a|越大，抛物线的开口越小,.,尝试应用,1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;,2、函数y=3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),3、已知抛物线yax2经过点A(-2，-8). (1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向； （3）判断点（-1，-4）是否在此抛物线上；,解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.,（2）对称轴：y轴，顶点坐标：（0,0），开口向下.,（3）因为 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。,.,小结,1. 二次函数的图像都是什么图形？,2. 抛物线y=ax2的图像性质:,(2)当a0时,抛物线