机械工程控制基础拉氏变换课件

1、补充内容：拉氏变换:拉普拉斯,在数学运算中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段。如：,要求式子,的乘积，那么我们可以通过求,的方式，然后将所得的结果进行反对数即可。即将乘法运算转换成加法运算。即,对于,，是将除法运算转换成减法运算。,为什么要进行拉氏变换呢？,那么，引用拉氏变换也与用对数变换计算数量的乘积和商一样。可以将常微分方程变成代数方程，得到解后，再经过逆变换，才得到真正的解。,拉氏变换后,时域,复数域,从而使运算方便，使系统的分析大大简化。,拉氏变换的指导思想。,1） 复习有关复数和复变函数 2） 介绍拉氏变换的定义 3） 介绍一些典型时间函数的拉氏变换 4）

2、介绍拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法 5） 介绍用拉氏变换解微分方程的方法。,本章介绍的内容：,1 复数和复变函数,1) 复数的概念,复数,都分别相等。一个复数为零，则实部和虚部均必须为零。,为虚单位，当两个复数相等时，则实部和虚部,称为复数A的虚部，表示为 =ImA,其中： 称为复数A的实部，表示为 =ReA,2) 复数的表示方法,点表示法 ( ， ) b. 向量表示法（极径）,c.三角表示法和指数表示法,（指数式）,（三角式）,3) 复变函数、极点与零点的概念,若,引入拉普拉斯变化的目的,用微分方程描述工程系统控制问题,缺点：因为含有输入变量和输出变量的各阶导数，并不能提供系统性能的直观

3、表象,仅当它的解被求出后才能直观表征：输出变量的特性,从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得力工具,设函数f(t)满足： 1f(t)实函数； 2当t0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛,具有有限个第一类间断点,则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=+j（，均为实数）；,F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。,2 拉氏变换的定义,几种典型环节的拉氏变换：,1、单位阶跃函数,Laplace变换,2、单位脉冲函数,Laplace变换,3、单位斜坡（单位速度）,Laplace变换

4、,1) 线性性质,拉氏变换的性质,) 延时定理,原函数平移 a 像函数乘以 e-as,) 周期函数的拉氏变换,设,证略,证明：,4) 复数域的位移定理（衰减定理）,原函数乘以指数函数e-at像函数在复数域中作位移a,5) 时间尺度定理（相似定理）,6) 微分定理,当初始条件为0，即：,证明：,多重微分,原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式,7) 积分定理,如果,证明：,多重积分,原函数的n重积分像函数中除以sn,8) 初值定理,初值定义证明,证明：,9) 终值定理,10) 的拉氏变换,11) 的拉氏变换,12) 卷积定理,5 拉氏逆变换的数学方法,适用于比较简单的象函数。,根据拉氏反变换公式。,通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数。,查表法,有理函数法,部分分式法,将上式化为部分分式之和，有2种情况：,F(s)无重极点的情况； F(s)有重极点的情况。,一、F(s)无重极点的情况,求下列公式的拉氏逆变换,例题分析,二、F(s)有重