现代控制理论——分析

1、第二章 控制系统状态空间表达式的解,对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵,和输入矩阵,中各元必须有界。,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）,线性定常系统在没有外加输入作用下，即 ，由初始条件,引起的运动称为自由运动，亦称为零输入响应。,解可以表示为,结论1：前式系统的零输入响应表达式为,其中,状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,的解。,重要性质：,时变系统状态转移矩阵的公式,有,Caley-Hamilton定理,考虑nn维矩阵A及其特征方程,则,证明：,可得,的计算分析方法,2.2.1 方法一：直接计算法

2、(矩阵指数函数),可证明，对常数矩阵A和有限t值来说，该无穷级数是收敛的。,2.2.2 方法二：对角线标准形与Jordan标准形法,式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。,可由下式确定出,例2.1 考虑如下矩阵,解 该矩阵的特征方程为,将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为,2.2.3 方法三：拉氏变换法,例2.2 考虑如下矩阵,故可求得所需的变换矩阵为,方法二 由于,因此,2.2.4 方法四： Caley-Hamilton定理法,(k=0,1,2，m-1),凯莱-哈密尔顿定理,例2.3 考虑如下矩阵,解 矩阵A的特征方程为,可得相异特征值为1=0，2= -2。,首先，由,。由于1

3、=0，2= -2，上述两式变为,求解此方程组，可得,或者根据前面所列写方程，可以直接得到,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,给定线性定常系统非齐次状态方程为,：,故可求出其解为,将上式由0积分到t，得,即,2.4 线性时变系统的解,一、时变系统状态方程解的特点,考虑标量时变系统,即,令,因此,二、线性时变齐次矩阵微分方程的解,对于齐次矩阵微分方程,也可表示为状态转移形式，即：,三、状态转移矩阵的基本性质,与线性定常系统的转移矩阵（矩阵指数函数）的性质相似；,四、线性时变非齐次状态方程式的解,五、状态转移矩阵的计算,2.5 离散时间系统状态方程的解,一.数字控制系统,数字控制系统是一种以数字计

4、算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。,二.采样过程,(2).采样频率:,(1).采样周期:,(3).采样脉冲序列:,三.采样定理(Shannon定理),信号保持是指将离散信号 脉冲序列转换成连续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器。,零阶保持器(zero order holder),一阶保持器,四.Z变换(Z-transforms)与反变换,(1) 级数求和,1、Z变换,例1.试求单位阶跃函数的Z变换,例2.试求取衰减的指数函数e-at(a)的Z变换。,解:,解:,(2) 部分分式法,解：,例3.求取具有拉氏变换为 的连续函数X(t)的Z变换。,2、Z反变换,五、离散

5、系统的差分方程模型,例.下图所示为采样控制系统采样器的采样周期为T.试求其差分方程。,解:,六、脉冲传递函数,定义：输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比。,脉冲传递函数在数字系统的地位与传递函数在连续系统中的地位相仿。,七、连续时间状态空间表达式的离散化,离散化,系统离散化的原则是：在每个采样时刻 ，其中T为采样周期），,系统离散化前后的 保持不变。,采样方法是在t=kT时刻对U(t)值采样得U(kT)，并通过零阶段保持器，使 的值在 时间段保持不变。,离散化后的动态方程为：,表示kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其系统状态量X(kT)的关系,求,也只与采样周期T有关

6、,忽略时刻 中的 符号，直接用k代表kT时刻，得到连续系统离散化公式,G,H=c2d(A,B,T),八、离散时间系统状态方程求解,离散时间状态方程求解有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法,对于线性定常离散系统状态方程,依次取 ，得,称为离散系统的状态转移矩阵,第三章 线性多变量系统的能控性与能观测性分析,能控性(controllability),能观测性(observability),揭示系统的内部结构关系,Kalman于60年代初首先提出并研究,决定了最优控制问题解的存在性,3.1 线性连续系统的能控性,3.1.1 概述,能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响

7、和是否可由输出反映,例1、给定系统的描述为,将其表为标量方程组的形式，有：,例2：判断下列电路的能控和能观测性,UCUO,UC完全,UO完全,3.1.2 能控性的定义,考虑线性时变系统的状态方程,，,，,给出系统能控和不能控的定义,是能控的。,是不完全能控的。,1 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；,2 容许控制的分量幅值不加限制，且在 上平方可积；,3 线性系统的能控性与 无关；,4 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状态，则称为系统的能达性。,5 系统不完全能控为一种“奇异”情况。,说明：,3.1.2 能观测性的定义,系统的状态为：,系统输出：,若,则,原系统

8、的能观测性研究等价于下列系统,定义1：如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻to是能观测的。,3.2 定常系统状态能控性判据,3.2.1 定常系统状态能控性的代数判据,考虑线性连续时间系统,如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。,引理1格拉姆矩阵判据线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，存在,使如下定义的格拉姆矩阵,，,非奇异。,采用构造法证明，构造的控制量为,，,充分性得证。,采用反证法。,要使上式成立，应有,，,进而有,由此得出,必要性得证,矛盾！,定理1代数判据前述线性定常系统为完全能控的充分必要条件为,证明： 充分性：已知 ，

9、欲证系统为完全能控。,采用反证法。反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵,行线性相关,假设,矛盾,系统完全能控,必要性：已知系统完全能控，欲证,反设,行线性相关,出于问题的一般性,凯莱哈密顿定理,所以,则,表明,为奇异,系统不完全能控,考虑由下式确定的系统,例3,例4 考虑由下式确定的系统,3.2.2 PBH 判据,Popov Belevitch提出 Hautus发扬,（1）秩判据,或,证明：必要性：已知系统能控，欲证,考虑到一般性，上式得到,进而，,所以,系统为不完全能控，与已知条件矛盾,反设不成立,例5 设线性定常系统的状态方程为,可直接导出,特征值,系统能控,即,（2）特征向量判据,的特征向量

10、,则有,系统不能控,3.2.3 状态能控性条件的标准形判据,设,系统才是状态能控的。,系统状态能控性条件：当且仅当,则系统是状态能控的。,例6,3.2.4 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件,状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。,状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。,例7,存在可约的因子，系统状态不能控。,3.2.5 输出能控性,定义：,内，,系统输出能控的充要条件：当且仅当,m(n+1)r 维输出能控性矩阵,的秩为m。,3.3 线性连续系统的能观测性,考虑系统,如果每一个状态x(to)都可通过在有限时间间隔t

11、ott1内，由y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设to=0。,在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。,当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。,最后两项为已知，因而它们可以从被量测值中消去。,能观测性的充要条件只需要研究零输入系统即可,3.3.1 定常系统状态能观测性的代数判据,考虑系统：,输出：,可表示为,即,若系统是能观测的 ，则在0tt1时间内，给定输出y(t)，由式唯一地确定x(0),需要,的秩为n。,代数判据：上述线性定常系统，当且仅当n

12、nm维能观测性矩阵,试判断系统,所描述的系统是否为能控和能观测的。,例8,解,能控性矩阵,故该系统是状态能控的,能观测性矩阵,系统是能观测的。,均成立,或等价地表为,3.3.2 用传递函数矩阵表达的能观测性条件,能观测性的充要条件：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。,例7 证明下列系统是不能观测的。,式中,解 由于能观测性矩阵,该系统是不能观测的,传递函数,系统是不能观测,当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。,3.3.3 状态能观测性条件的标准形判据,如果mn维

13、矩阵CP的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。,I 若A可对角化,II. 若A可化为Jordan标准形,系统能观测的充要条件为：,例8 下列系统是能观测的：,（1） J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；,（2）与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵CS列中，没有一列元素全为零；,（3）与相异特征值对应的矩阵CS列中，没有一列包含的元素全为零。,下列系统是不能观测的,3.3.4 对偶原理,能控性,能观测性,当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。,能控性矩阵,能观测性矩阵,能控性矩阵,能观测性矩阵,对偶原理：,第四章 Lyapunov

14、稳定性分析,4.1 概述,线性定常系统的稳定性分析方法很多。,Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。,伟大的俄国数学力学家亚历山大 米哈依诺维奇李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918),1892年发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”。,论文给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。,文中研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性。,系统,给定运动,的稳定性,扰动方程,给定运动,原点的稳定性,等价,Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法,第一法通过求解微分方程的解来分析

15、运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；,第二法则是一种定性方法构造一个Lyapunov函数，研究其正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性的结论 ；,一般所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。,4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题,4.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点,1）,2） 若,为系统的平衡状态或平衡点,对于线性定常,1）A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态； 2）A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态 。,对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解。,

16、任意一个孤立的平衡状态通过坐标变换，统一化为扰动方程,仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题(“原点稳定性问题” ),4.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义,定义4.1,定义球域S(）和S(）,一般地，实数与有关，通常也与t0有关。,的吸引域。,即对于先选择的每一球域S(），必存在一球域S(），使得当t趋于无穷时，始于S(）的轨迹总不脱离球域S(）。,非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域（发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间），发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。,(3) 状态空间中的所有状

17、态，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，,渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态,为大范围渐近稳定的。,系统大范围渐近稳定,系统在整个状态空间中只有一个平衡状态,(4) 如果对于某个实数0和任一个实数 0，不管这两个实数多么小，在S（）,实际上，渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。,在经典控制理论中的稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念有一定区别。,4.2.3 预备知识,1、纯量函数的正定性,，使得, 对所有, 对所有,2、纯量函数的负定性,3、纯量函数的正半定形,4、纯量函数的负半定性,称为不定的纯量函数。,5、纯量函数的不定性,例1 本例给出按

18、照以上分类的几种纯量函数，这里假设x为二维向量。,正定,正半定,负定,不定,正定,建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类纯量函数起着很重要的作用，即二次型函数。例如，,6、二次型,7、复二次型或Hermite型,矩阵P的所有主子行列式均为正值，即,。,如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则,是正半定的。,例2 试证明下列二次型是正定的。,解,利用赛尔维斯特准则，可得,4.3 Lyapunov稳定性理论,Lyapunov提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。,第一法 利用微分方程显式解进行系统分析，也称为间接法。,第二法 不需求出微分方程的解的条件下，确定系统的稳定性，也称为 直接法。,求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难,4.3.1 Lyapunov第一法,非线性系统：首先线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后判定原非 线性系统的稳定性。,线性系统： 根据系统的特征值，判定原非线性系统的稳定性；,或,则有,Jacobian矩阵,线性化方程(忽略高阶小量)，是一重要且广泛使用的近似分析方法。因为，很多系统