心理与教育统计学第4章-差异量数

1、第四章 差异量数,1、离散程度各测度值的计算方法 2、离散程度各测度值的特点及应用场合 3、偏态与峰态的测度方法,学习目标,离中趋势,数据分布的另一个重要特征 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,全距（两极差）(range),一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布,R = max(xi) - min(xi) *R越大，说明离散程度越大。,计算公式为：,百分位数,意义： 1、原始分数在次数分布中的特定地位分数。 2、表示总体中有P%的分数小于PP。 计算公式：

2、,百分位差（percentile）,为了避免极端数据的影响，将数据的两端各截去10%，即P10和P90之间的距离作为差异量数。,【例】：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P90-P10。,解：先计算P90和P10两个百分位数。 （如何确定PP所在的组位？）,百分等级,表示分数在整个分数分布中所处的百分位置。,其中： PR：百分等级 X ：对应的原始分数 f：该分数所在组的次数 Lb：该分数所在组的精确下限 Fb：小于L的各组次数之和 N：总次数 i：组距 *百分等级一般只用整数不用小数。,例：如下表示，求分数为77的百分等级。,解：,四分位数 (quartile),1、排序后处于25%和7

3、5%位置上的值,不受极端值的影响 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据,四分位数(位置的确定),原始数据：,顺序数据：,顺序数据的四分位数,解：Q1位置= (300)/4 =75 Q3位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， Q1在“不 满意”这一组别中； Q3在 “一般”这一组别中 四分位数为 Q1 = 不满意 Q3 = 一般,数值型数据的四分位数 (奇数个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 15

4、00 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,数值型数据的四分位数 (偶数个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,四分位差 (quartile deviation),对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差的一半 Q = （Q3 Q1）/2 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,四分位差,解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满

5、意为 4, 非常满意为5 。 已知 Q1= 不满意 = 2 Q3 = 一般 = 3 四分位差： Q= (Q3- Q1) /2 = (3 2)/2 = 0.5,平均差 (mean deviation),各变量值与其均值离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,例：有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差 解：已知n=5 x=18.6,平均差,求该电脑公司销售量的平均差,解：,含义：每一天的销售量平均数相比， 平均相差17台,方差和标准差(variance and standard deviation),为了避免负数出现，

6、数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,总体方差计算公式： 总体标准差的计算公式：,总体方差与标准差,样本方差和标准差,未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,样本方差自由度(degree of freedom),1.一组数据中可以自由取值的数据的个数。 2.当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。,样本方差自由度(degree of freedom),例如，样本有3

7、个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值。 3.样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量。,方差、标准差的计算,原始数据： 例：计算6、5、7、4、6、8、这一组数据的方差和标准差。 解：（1）公式法计算 （2）计算器计算法,分组数据的样本标准差计算,样本标准差,含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台。,总标准差的合成,【例】：在三个

8、班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数和标准差如下，求三个班的总标准差。,方差和标准差的性质和意义,性质： （1）每一个观测值都加上一个相同常数C之后，计算得到的标准差等于原标准差。 （2）每一个观测值都乘以一个相同的常数C，则所得的标准差等原标准差乘以这个常数。 （3）每一个观测值都乘以同一个常数C（C0），再加一个常数d，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数C。,意义,（1）方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标。其值越大，次数分布越分散，反之，其值越小，离散越小。 （2）标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性，特别是当已知一组数据的平均数与标准差后，就可以知道落在平

9、均数上下各一个标准差、两个标准差，或三个标准差范围内的数据所占的百分比。,意义,（3）标准差具备一个良好的差异量数应具备的条件 反应灵敏，每个数据取值变化，方差与标准都随之变化； 计算公式严密确定； 容易计算； 适合代数运算； 受抽样变动影响不大，即不同样本的标准差或方差比较稳定； 简单明了，这一点其他差异量数比较稍有不足，但其意义,标准差的应用差异系数和标准分数,差异系数 (coefficient of variation),1.标准差与其相应的均值之比 2.对数据相对离散程度的测度 3.消除了数据水平高低和计量单位的影响 4.用于对不同组别数据离散程度的比较 5.计算公式为：,例：某管理局

10、抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,解：,结论： 计算结果表明，cv1cv2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,标准分数 (standard score),1.也称标准化值或Z分数 2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3.可用于判断一组数据是否有离群点 4.用于对变量的标准化处理 5.计算公式为：,标准分数的性质,1.均值等于0 2.方差等于1,标准分数的性质（图示）,z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1,标准化值,经验法则

11、,经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内； 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内； 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内。,标准分数的优点 1、可比性 2、可加性 3、明确性 4、稳定性,标准分数的应用,1、用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布相对位置的高低。 2、计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置。 3、表示标准测验分数。,偏态与峰态的度量,动差和中心动差（p86）,F,O,L,M=F.L,0,xi,一级动差 二级动差 三级动差（偏态指标） 四级动差（峰态指标）,偏态与峰态分布的形状,偏态

12、,峰态,偏 态,偏态 (skewness),1.统计学家Pearson于1895年首次提出 2.数据分布偏斜程度的测度 3.偏态系数= 0为对称分布 4.偏态系数 0为右偏分布 5.偏态系数 0为左偏分布,偏态系数 (skewness coefficient),根据原始数据计算 根据分组数据计算,偏态系数,偏态系数,结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数,峰 态,峰态 (kurtosis),统计学家Pearson于1905年首次提出 数据分布扁平程度的测度 峰态系数= 0为扁平峰度适中 峰态系数 0为尖峰分布,峰态系数 (kurtosis coefficient),根据原始数据计算 根据