2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1.ppt

1、3.1.2用二分法求方程的近似解,一,二,一、二分法的概念 1.在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在800元1 200元之间的一款手机,选手开始报价: 选手:1 000. 主持人:低了. 选手:1 100. 主持人:高了. 选手:1 050. 主持人:祝贺你,答对了. (1)主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内? 提示:(1 000,1 200. (2)选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系? 提示:报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值.,一,二,2.填空: 对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0

2、的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,3.判断正误: 函数f(x)=|x|可以用二分法求其零点. () 答案:,一,二,4.做一做: 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是() 解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)f(b)0,不能用二分法求函数零点,由于选项A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求函数零点. 答案:B,一,二,二、用二分法求f(x)零点近似值的步骤 1.在上述猜物品价格的实例中,竞猜的过程是否有规律可

3、循? 提示:竞猜过程归结为:设原价为x,则(1)给定价格区间a,b;(2)求区间(a,b)的中点c;(3)若cx,则在区间(a,c)内竞猜;若cx,则在区间(c,b)内竞猜;(4)依次类推,直到猜出原价x.,一,二,2.填空:给定精确度,用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下 (1)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c); 若f(c)=0,则c就是函数的零点; 若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c); 若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b). (4)判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到

4、零点近似值a(或b),否则重复(2)(4).,3.判断正误: 二分法只可用来求方程的近似解. () 答案:,一,二,4.做一做: 若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下: f(2)-0.369 1f(2.5)0.334 0 f(2.25)-0.011 9f(2.375)0.162 4 f(2.312 5)0.075 6f(2.281 25)0.031 9 则方程x-3+log3x=0的一个近似根(精确度0.1)为() A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4 解析:由参考数据可知f(2.25)f(2.312 5)0, 且|2.312 5-2.25

5、|=0.062 50.1,所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值,也即为方程x-3+log3x=0的近似根. 答案:C,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,探究一用二分法求函数的零点 例1求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1). 分析:先确定f(-2)与f(-3)的符号,再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解. 解:由于f(-2)=-10,故取区间-3,-2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:,由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 50.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25.,探究一,探究二,思想方

6、法,当堂检测,反思感悟 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则: (1)依据图象估计零点所在的初始区间m,n(这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽可能的小,区间的端点尽量为整数). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算,得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法).,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,2.利用二分法求函数

7、近似零点的流程图:,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,延伸探究如本例中的精确度改为0.2呢? 解:由【例1】的表格可知,区间(-2.25,-2)的长度为|-2-(-2.25)|=0.250.2; 而区间(-2.25,-2.125)的长度|-2.125-(-2.25)|=0.1250.2,所以这个区间的两个端点值就可以作为其近似值,所以其近似值可取-2.125.,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,探究二求方程的近似解 例2 求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1). 分析:在同一平面直角坐标系中,画出y=lg x和y=2-x的图象,确定方程的解所在的大致区间,再用二分法求解.,探究一,

8、探究二,思想方法,当堂检测,解:在同一平面直角坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图象如图所示,可以发现方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.若f(x)=lg x+x-2,则f(x)的零点为x0. 用计算器计算,得f(1)0 x0(1,2); f(1.5)0 x0(1.5,2); f(1.75)0 x0(1.75,2); f(1.75)0 x0(1.75,1.875); f(1.75)0 x0(1.75,1.812 5). |1.812 5-1.75|=0.062 50.1, 方程的近似解可取为1.812 5.,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,反思感悟 用二

9、分法求方程的近似解需明确的两点 1.根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解. 2.对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,解后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,变式训练用二分法求2x+x=4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2). 参考数据:,解:令f(x)=2x+x-4, 则f(1)=2+1-40. |1.375-1.5|=0.1250.2, 2x+x=4在(1,2)

10、内的近似解可取为1.375.,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,转化与化归思想在二分法中的应用,以下用二分法求其零点的近似值. 由于f(1)=-10,故可以取区间1,2为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为1.265 625-1.257 812 5=0.007 812 50.01,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,方法点睛 1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的零点,通过二分法求解. 2.二分法思想的实质是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于

11、精确度.,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,用二分法逐次计算,见表如下:,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为() A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 解析:由题图知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D. 答案:D,探究一,探究二,思想方法,当堂检测,2.用二分法求函数f(x)=-x3-3x+5的近似零点时的初始区间是() A.(1,3)B.(1,2) C.(-2,-1)D.(-3,-2) 解析:本题考查对用二分法求函数零点近似值的理解及初始区间的选择.f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,f(1)f(2)0,f(0.605)0,即得到方程的一个近似解为.(精确度0.1) 解析:0.605-0.532=0.0730.1,(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解. 答案:0.532(答案不唯一),探究一,探究二,思想方法,当堂检测,4.用二分法求函数f(x)=ln x-2+x在区间1,2上零点的