第一讲数系的扩充1

1、初等代数研究,第一讲 数系的扩展,内容结构： 一、数系扩展的顺序、方法、原则 二、自然数理论与数学归纳法 三、“平静”地接受一些无理数 四、复数的研究和应用,一、数系的扩展顺序、方法、原则,（一） 数系的扩展顺序、方法、原则,从代数学发展的历史来看，人们对数的认识大体按照以下的逻辑顺序进行的：,自然数,正有理数,非负有理数,有理数,实数,复数,添正分数,添零,添负有理数,添无理数,添虚数,（1）自然数的产生起源于人类在生产和生活中记数的需要（三个阶段：结绳记数；出现”三头牛，五只羊”；把数从具体事物的集合分离出来，形成抽象的正整数概念，并有了代表它的符号）,结绳法最早出现在印加帝国，是利用一种

2、十进的位置值系统在绳上打结的记事方式。,在干绳最远的一行一个结代表1，次远的一个结代表10，如此等等.,秘鲁的印第安人的结绳法,中国的甲骨文计数法,易.系辞载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书目契。”,我国古代的甲骨文中的“数”字，左边表示打结的绳，右边是一只手，表示古人用结绳记数,（2）由于生产力的发展，在土地丈量、天文观测、水利工程等方面的需要，正分数运应而生。据史书记载，三千多年前埃及纸草卷中已有关于正分数问题的记述。引进正分数是数的概念的第一次扩充。,（3）人们开始记数时，最初没有“零”的概念，在生产实践需要记数的东西越来越多，逐渐产生了位值记数法，如我国古代筹算上利用空格表示“零”。

3、引入“0”是数的概念的第二次扩展。,（4）引入负数，是数的概念的第三次扩展。,（5）引入无理数，是数的概念的第四次扩展。,（6）引入虚数，是数的概念的第五次扩展。,（二）数系的扩展方法和原则,近代数学关于数的认识，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构（结构主义观点）和公理系统加以整理而建立起来的。,数的扩展通常采用两种方法：,（1）添加新元素法，即把新元素添加到已建立的数集中。,（2）构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的同构。,二、自然数理论与数学归纳法,1、自然数的基数理论,19世纪中叶，德国数学家康托提出了自然数的基数理论，基数理论以“集合”为原始概念，

4、利用集合的知识来定义自然数以及各种运算。,基数理论反映了“多少个”在数量上的意义，但没有能揭示自然数在顺序上“第几个”的意义，也没有给出自然数的加乘运算的具体方法。,伽利略的困惑,直观上看：自然数多，完全平方数在自然数中，有如沧海一粟，占的比例极少。,理论上得：自然数与完全平方数一样多。,2、自然数的序数理论,皮亚诺（G.Peano）在1889年提出自然数的公理，建立了自然数的序数理论，以“集合”、“后继”为原始概念，用一组公理刻划：,公理I说明1是自然数， 公理III说明1是最前面的自然数， 公理IV说明N中任何数都有唯一的后继元，且不同数的后继数也不同。,德国数学家克罗内克有一句名言：“上

5、帝创造了自然数，其他的数都是人造的了。”,自然数集是一个无限集，也是人们在数学上遇到的最简单、最直接的无限集。从1开始采用求后继的办法，可以求出任何一个自然数，而且求每一个自然数的过程是有限的，把自然数集的这种无限性叫做“潜无限”。,归纳公理是第一数学归纳法的理论依据和逻辑基础。,应用数学归纳法证明有关自然数的命题时应注意： 1、第一步是奠基部分，归纳法原理的两步缺一不可，否则将导致矛盾； 2、在证明推导第二步时，一定要用归纳假设的结论作为第二步推理的基础。 3、数学归纳法是建立在“潜无限”的观念基础上，推导过程看似一个有限的过程，但是在逻辑上保证命题对“一切自然数”都正确。用“有限”体现“无

6、限”的过程。,正确理解“潜无限”,三毛悖论：“任何有头发的人都是秃子”。,我国的数学教科书中在20世纪90年代之前，一直没有把0作为自然数，但是1993年颁发的中华人民共和国国家标准中量和单位规定自然数包括0.具体表述为：用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。,最小数原理,最小数原理是第二数学归纳法的逻辑基础和理论依据。,“瑞雪兆丰年”与数学归纳法,数学归纳法考察了以下能力倾向：,（1）从整体结构上直接领悟数学对象本质的能力；,（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象 本质的能力；,（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。,数学归纳法,数学归纳法涉及三种题型： 1、直接证明型

7、2、探讨求索型 3、变式演绎型,(探讨求索型问题) 解题思维过程： 尝试观察归纳、猜想证明 即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。,(数学归纳法问题)解题策略： 从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。,三、平静地接受一些无理数,（一）无理数的起源和发展,公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派开始研究整数的性质，他们提出了奇数、偶数、素数、合数的概念，并逐渐形成了宇宙哲学观：“万物皆数”。,灵魂是不死的，灵魂也是数，“正义”、“友谊”、“爱情”等概念也可以从数的关系中得到解释。,万物皆数,“万物皆数”理论：数是万物的本原；数产生万物，数的规律统治万物。1是

8、最神圣的数字，1生2，2生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物。,学派誓词： 谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓， 长流不息的自然的根源包含于其中.,1、 上帝是按照数的规律创造宇宙的，整个世界正好建立在前四个整数基础上的，因而1+2+3+4=10，用10作出的誓言是最庄严、最神圣的。,毕达哥拉斯,汤姆220 玛丽284 2、“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密”。,3、完全数6是婚姻、健康、美丽、幸福的象征。,圣经注释家们视6、28为至高无上的建筑师上帝的基本数字。,4、中国古代以数字来表达哲学观点： 老子在道德经有云：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。 数学表示为：0

9、，1，2，3，,周易.系辞上有云：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。 数学表达为：1，2，4，8，,5、周易.系辞上有云：“河出图，洛出书，圣人则之”“河图”、“洛书”。,河图”、“洛书”,“二四为肩； 六八为足， 左三右七， 戴九履一， 五居其中。,“九子斜排； 上下对易， 左右相更， 四维挺出。,杨辉,公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子苏帕萨斯发现了一个惊人的事实：,（1）正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的。,（2）毕达哥拉斯学派的徽章,正五边形的边长和对角线不可公度,这一发现与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学理论极不和谐，引起了该学派领导

10、极度惶恐和恼怒，认为它动摇了他们在学术上的统治，是致命的打击。 苏帕萨斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后被抛入大海，葬身鱼腹，为科学献身。,不可公度长期得不到正确的解释，两个不可通约的比值一直被认为是不可理喻的。15世纪的意大利画家达芬奇称之为“无理的数”，17世纪的德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。,然而，真理是淹没不了的，人们为纪念这位“科学的星座”，就把不可通约的量改名为“无理数”。,由于无理数的发现，打破了毕达哥拉斯的“信条”，引起了数学界思想的混乱，导致了数学史上的第一次数学危机。,（二）无理数的定义,定义1（实数的无限小数说）全体有限小数和无限小数组成的集合称为实数集。无限不

11、循环小数称为无理数。,特点：直观但抽象，无法解释两个无限不循环小数的和差积商等运算。,问题：0.9999和1是否相等？,不是证明的“证明”：,1、笼统的分析：,2、所谓的“证明”,3、极限求和法,定义2 （康托的基本序列说）有理数的基本序列的等价类称为实数. 基本思想：把无限小数看作是一个有限小数序列的极限。,定义3（戴德金分割说）有理数的戴德金分割称为实数,有端点分割称为有理数,无端点分割称为无理数。,基本思想：有理数在直线上分布是稠密的，但是不连续的，存在“漏洞”。“洞”是一个无法从自身的结构来定义的概念，但是“洞”在直线上对其他点起到“分割”的作用。,（三）一些无理数的证明,实数的鬼魂虚

12、数,背景：当无理数的位置确定后，人们又发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。,这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解,一、复数的发展历程,12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负根的存在。,16世纪，卡尔达诺的大衍术第一次大胆使用了负数平方根的概念。使用负数平方根，就有可能解决四次方程的求解问题。虽然他写出了负数的平方根，但他却犹豫不次，他不得不声明，这个表达式是虚构的，想像的，并且称它为”虚数”。,“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。虚数，人们开始称之为“实数的鬼魂”，1637年笛卡儿称为“想像中的数”，后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。,1777年瑞士数学家欧拉(Euler)开始使用符号i表示虚数的单位。欧拉创立了复变函数论，并把它们应用到水利学、地图绘制学上。,1797年，威赛尔给出了虚线的图像表示才确立了虚数的合理地位。他和阿尔干一起借助于17世纪法国数学家笛卡儿建立的平面坐标系，给复数做出了几何解释。,高斯19岁时，通过复数原理，成功解决了正十七边形的尺规作图问题，同时将直角坐标平面