概率论-2.5--随机变量的函数的分布

1、2.5 随机变量的函数的分布,一、随机变量的函数 二、离散型随机变量的函数的分布 三、连续型随机变量的函数的分布,在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题, 例:,测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：,d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。,背景,设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,一 随机变量的函数,设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X), 则在一些 条件下，Y也是一个随机变量。 当X取值x时，Y取值为y=g(x),本节的任务：,已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),要求随机变量Y的分布

2、(分布律或概率密度),二、离散型随机变量的函数,解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,第 一 种 情 形,注意,例.,第 二 种 情 形,例. 已知X 的分布律为,求Y=2X1，Z=X21的分布律。,解 ,故Y的分布律为,故Z 的分布律为,求Z=X21,设随机变量 X 具有以下的概率函数，,解: Y 有可能取的值为 0，1，4.,且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1，,试求Y = (X-1)2 的概率函数.,所以, PY=0=PX=1=0.1,例.,同理, PY=1=PX=

3、0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,所以，Y=(X-1)2 的概率函数为：,Y=(X-1)2,例.（续）,例.,例. （续）,. 分布函数法（一般的函数都适用）, 先求,的分布函数, 再利用,的分布函数与概率密度之间,的关系求,的概率密度为,三、连续型随机变量的函数的分布,区域找对至关重要,解 先求 Y =2X +8 的分布函数,设随机变量X 具有概率密度：,例,试求Y =2X +8 的概率密度,得 Y =2X +8 的概率密度为,利用,可以求得,连续型随机变量的函数分布不一定是连续型。,解：随机变量X服从-1,1的均匀分布，Y=sgnX,求Y的概率分布

4、。,例,X的概率密度为：,连续型随机变量的函数分布不一定是连续型。,0,Y是一个离散型 随机变量。,设随机变量X 具有概率密度,求 Y = X 2 的概率密度.,解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：,例,故当,时，,当,时，,（2）关于y复合求导，,解: 由题意可知,的取值范围为,例：,，求,的概率密度。,解: 由题意可知,的取值范围为,绝对值符号,定理：,设随机变量 X 具有概率密度,则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， 即,. 公式法（只适用于单调函数）,定理（续）,注： 只有当g( x)是x的严格单调

5、可导函数时，才可用以上公式；, 注意定义域的选择。,例如 用公式法,故g(x)严格单调增，其反函数为,从上例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的X 的不等式 .,用 代替 X2 y ,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,证 X的概率密度为：,例,由定理的结论得：,法1、分布函数法,法2、定理,设随机变量,试证明X的线性函数,也服从正态分布。,，满足定理的条件，,的反函数为：,且,特别地，取,得,即有,例 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数 lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取 绝对值,注：(1)当f ( x)在(a , b)外取值为 0 时，只要求y = g ( x ),在(a , b)上单调就可用公式。,(2)若g(x)不单调？,在每个单调区间上用公式，再相加。,先将单调区间算出，,单调增，,单调减，