吴赣昌编-概率论与数理统计-第1章new

1、概率论与数理统计,1,经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。 对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。 随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。,2,概率论与数理统计研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科 应用范围广泛。例如： 气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。 经典数学

2、与概率论与数理统计是相辅相成，互相渗透的。,3,第1章 随机事件及其概率,随机事件 随机事件的概率 古典概型与几何概型 条件概率 事件的独立性,4,1.1 随机事件,确定性的在一定条件下必然发生的现象 随机性的在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果 1)拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。 2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。 3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。 4)股市的变化。,一、随机现象,5,由于随机现象的结果事先

3、不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.,二、随机试验,6,历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。 实验者 n rn rn/n De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012

4、0.5005,试验表明：虽然随机现象在少数几次实验或观察中其结果 没有什么规律性，但通过长期的观察或大量的重复试验可以看 出，试验的结果是有规律可循的，这种规律是随机试验的结果 自身所具有的特征。,7,为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E.例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验. 随机试验具有下列特点: 1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行; 2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的

5、; 3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.,8,E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况； E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数； E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数； E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。 E5: 从装有三个白球（记号为1,2,3）与两个黑球（记号为4,5）的袋中任取两球，(1)观察两球的颜色；(2)观察两球的号码,随机试验的例子,随机试验,9,三、样本空间,1、样本空间：由随机试验的所有可能的结果组成的一个集合称为试验E的样本空间，记为S或； 2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为e

6、。,试给出E1E5的样本空间,10,E1: 若记1=正面， 2=反面，则样本空间为S =1, 2,E2: S =1,2,3,4,5,6,E3: S =0,1,2,3, ,E4:,E5: (1) 若记00表示为两个白球， 11表示为两个黑球 01表示为一白一黑，则 S=00, 11, 01 (2) 若观察取出的两球的号码，则样本点为ij（取出第i号和第 j号球， 于是，样本空间有10个样本点，则,注：对于同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是根据要观察的内容来确定的。,11,四、随机事件,在概率论中,把具有某一可观察特征的随机试验的结 果称为事件。事件可分为以下三类： 1. 随机事件：在试验中

7、可能发生也可能不发生的事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示。,2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件。用字母S（或）表示。,3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。用空集符号表示。,例如：在抛掷一枚骰子的试验中，“点数为奇数”就是一个事件，在试验中可能发生也可能不发生。同样 ，“点数为奇数”与“点数为8”也分别是一个事件，前者在试验中必然发生的，即是必然事件，后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。 显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，今后将它们看作是特殊的随机事件。,12,五、事件的集合表示,按定义, 样本空间S是随机试验的所有可能结果(样本

8、点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素. 一个事件是由具有该事件所要求的 特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于S中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是S的一个子集. 于是, 任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A、B等表示。,称事件A发生，即指属于该事件的某一个样本点在随机试验中出现。 特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件为基本事件(或简单事件)。含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件。,13,例1.1 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(

9、i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) 而且可得到下列随机事件 A=第一次摸得黑球=(3,1),(3,2)； B=第一次摸得白球=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)； C=两次都摸得白球=(1,2),(2,1)； D=第一次摸得白球，第二次摸得黑球=(1,3),(2,3)； G=没有摸到黑球=(1,2),(2,1)。,返回,14,事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之

10、间有一定的关系，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,15,六、事件的关系与运算,设试验E的样本空间为S,A,B,Ak(k=1,2,)为事件,1.事件的包含“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，称事件B包含事件A, 也称事件A包含于事件B。 2.A与B两个事件相等：AB AB且BA。,例1.1,16,3.和事件(p4) ：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB,2n个事件A1, A2, An至 少有一个发生，记作,2” 可列个事件A1, A2, An 至少有一个发生，记作,17,4.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB,3

11、n个事件A1, A2, An同时发生，记作,3”可列个事件A1, A2, An , 同时发生，记作,18,5.差事件：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。,思考：何时A-B=? 何时A-B=A？,例1.1 中 B=CD C=BC D=B-C,19,6.互斥的事件：AB= ,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。,基本事件是 两两互不相容的,例1.1中：AB= AC=,例1.1,20,7. 互逆的事件 ABS, 且AB,A与B对立： 事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。 对立事件必然

12、互不相容，而互不相容事件不一定对立。,21,注: 事件的运算满足如下基本关系:,8. 完备事件组,设 是有限或可数个事件,若其满足:,称 是一个完备事件组.,22,七、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,23,例1.2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,或,或,24,例1.3,解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题

13、意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：,因此对立事件为：,即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。,试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。,25,例1.4： 从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间： (1)不考虑牌的花色； (2)考虑牌的花色。,26,解：(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点A，二点，十点，J，Q，K组成，即可表示为=1,2,13。 (2)如果考虑整套牌的花色，样本空间分别包含黑、红、方、草的A，一直到K。如果用1,2,3,4分别表示黑、红、方、草，则黑桃J可写成(1,11)，样本空间有52个样本点：,27,

14、习题： 1. (1) 丢一颗骰子，其样本空间为 . A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次，样本空间为 。 A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则B= ； C：至少有一次出现正面，则C= .,28,习题： 2. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： . (2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： . (4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： . (6)A、B、C中不多于一个发生表示为： .,29,1.

15、2 随机事件的概率,一、频率及其性质 定义1.若在相同条件下进行n次试验, 其中事件A发 生的次数为rn(A)次,则称,为事件A发生的频率.,频率具有如下的性质 对任一事件A，0 fn(A) 1； 对必然事件S，fn(S)1；而 fn( )=0 (3)可加性：若事件A1, A2 , , An两两互不相容，则,30,二、概率,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,P(A) 应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,31,1、概率的统计定义,定义2. 设随机事件A在n

16、次重复试验中发生的次数为rn(A)，若事件A发生的频率fn(A)=rn(A)/n随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p(0p1)附近摆动，则称数p为事件A的概率，记为P(A). 由定义，显然有 0 P(A)1, P(S)=1，P()=0。,32,2、概率的公理化定义,定义3 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质： 非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0 ； 完备性：P(S)=1； 可列可加性：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有 则称P(A)为事件A的概率。,

17、33,三、概率的性质,不可能事件的概率为零，即P()=0； 有限可加性，即若事件A1，A2，An两两互不相容，则有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An) 设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB) 特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)P(B)，此性质称为单调不减性。,互补性 对任一事件A，有,加法公式 对任意两个事件A，B，有 P(AB)=P(A)+P(B) - P(AB) 可推广:,可分性 对任意两事件A，B，有,34,例1.4 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为

18、0.1，试求： (1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)， (2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)， (3)“至少有一天下雨”的概率P(D)， (4)“两天都不下雨”的概率P(E)， (5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。,解 设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意 P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1,(1),且,可得,35,（2）,（3）,=0.6+0.3-0.1=0.8,（4）,（5）,36,习题： 1.已知， 则(1) , (2) , (3) . 2. 已知 则 . 3. 且 ，则 。,37,1.3 古典概型与几何概型,设随机

19、实验E满足下列条件 1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即 Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：每个基本事件的发生是等可能的，即 P(e1)=P(e2)=P(en)。 则称此试验E为古典概型，也称等可能概型。,一、古典概型,38,设事件A中所含样本点个数为k ，记样本空间S中样本点总数为n，则有,古典概型中的概率：,由概率的公理化定义知,称此概率为古典概率.,39,例1 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。,解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)，则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总数n

20、=10。 又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则 A=2,4,6,8,10， 所以A中含有k=5个样本点，故,40,加法公式 设完成一件事有m种方式，第i种方式有 种方法，则完成该件事的方法总数为,二、计算古典概型的方法排列与组合,41,乘法公式 设完成一件事有m个步骤，其中第i步有 种方法,必须通过m个步骤的每一步骤才能完成该事件，则完成该事件的方法总数为,42,有重复（放回）排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,43,无重复（放回）排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不

21、放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)=n!/(n-k)!种排列方式. 当k=n时，称其为全排列，全排列的种数为Pnn=n!,n,n-1,n-2,n-k+1,44,组 合 从n个不同元素中任取k个 的不同组合总数为,称为组合系数.,45,古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。,由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。,46,1、抽球问题 例2 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。 解 设A取到一红球一白球,答:取到一红一白的概率为3

22、/5。,47,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,48,在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,49,2、分球入盒问题,解 (1) 设A：每盒恰有一球，B：空一盒,例3 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,50,

23、一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：,51,某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,?,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。 (1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)； (2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”； (3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中； (4)

24、印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。,52,3.分组问题 例4. 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。,解 设A：每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组,53,一般地，将n个不同元素分为m组(nm),各组元素数目分别为ni， ，则分法的总数为：,54,4. 随机取数问题,例5.从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率； (2)求取到的数能被8整除的概率； (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。,解 设A为事件“取到的

25、数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”,N(AB)=200/24=8,N(A)=200/6=33,N(B)=200/8=25,(1)P(A)=33/200,(2)P(B)=1/8, (3)P(AB)=1/25,问：取到的数既不能被6整除又不能被8整除的概率,N(S)=200,55,三、几何概型,古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型. 这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型几何概型.,(1) 设样本空间S是平面上某个区域, 它的面积记为 ;,(2)向区域S上随机投掷一点,这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 S内任何部分区域A的

26、可能性只与区域A的面积 成比例, 而与区域A的位置和形状无关. 向区域 S上随机投掷一点, 该点落在区域 A的事件仍记为A, 则A概率为 ,其中 为常数,而 ,于是,得 , 从而事件A的概率为,几何概率,注: 若样本空间S为一线段或一空间立体, 则向S“投点”的相应概率仍可用上式确定, 但 应理解为长度或体积.,56,例6 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.,解 以分钟为单位,记上一次报时时刻为0,则下一次报时时刻为60,于是,这个人打开收音机的时间必在(0,60)内,记“等待时间短于10分钟”为事件A,则

27、有,S=(0,60), A=(50, 60) S,于是,57,例7 (会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达, 试计算两人能够会面的概率.,解 记7点为计算时刻的0时,以分钟为单位, x, y 分别记甲、乙到达指定地点的时刻, 则样本空间为,以A表示事件“两人能够会面”, 则显然有,由题意,这是一个几何概型问题,于是,58,习题1:设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：,A=某指定的一个盒子中没

28、有球B=某指定的n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn) 解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。,事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此,59,事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此,事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn,在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为,事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这

29、m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm(N-1)n-m,60,习题2:某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求: (1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率, (3)至少有2个女同学的概率.,61,习题3:三个人抽三只签，每个人抽完之后立即放回，再由下一个人来抽，每人抽一次。问抽签结束后，至少有一张签没有被抽到的概率。,解题：可以先求所有签都被抽到的概率。,62,习题4:从1到9的9个数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能

30、被10整除的概率。,解题：可以先求不能被10整除，即无5或无偶数的概率。,63,一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如图,1.4 条件概率,问(1) 从这批产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为多少？,(2)假设被告知取出的产品是甲厂生产的，那么这件产品为次品的概率又是多大呢？,记“取出的产品是甲厂生产的”这一事件为A， “取出的产品为次品”这一事件为B,在事件A发生的条件下，求事件B发生的概率， 这就是条件概率，记作P(B|A),一、条件概率的概念,64,本例中，,事实上，容易验证，对一般的古典概型，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点，事件AB含有n

31、AB个样本点，则,二、条件概率的定义,定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 称为无条件概率。一般地 , .,(1),65,?,“条件概率”是“概率”吗？,何时P(B|A)=P(B)? 何时P(B|A)P(B)? 何时P(B|A)P(B)?,概率定义 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质： 非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0 ； 规范性：P(S)=1； 可列可加性：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有

32、 P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)+ 则称P(A)为事件A的概率。,66,可以验证，条件概率P(|A)符合概率所需满足的三条基本性质： 设A是一事件, 且P(A)0, 则 非负性：对任意一个事件B，均有0P(B|A)1； 规范性：P(S|A)=1； 可列可加性：若A1，A2，An，两两互不相容，则有,条件概率也满足概率的基本性质,67,条件概率的一般计算方法： (1)根据A发生以后的情况,在 “缩减的样本空间”A中直接计算B发生的概率，就得到 P(B|A) (2)在样本空间S中，先求P(A)，P(AB)，再按定义计算P(B|A),注: 1. 用维恩图表达(1)式.

33、若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB. 因已知A已发生,故A成为计算条件概率P(B|A)的新的样本空间.,68,例1 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球。 B-从盒中随机取到一只新球。,A,B,缩减的样本空间中B所含样本点个数,A发生后的缩减样本空间所含样本点 的总数,69,例2 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中不放回地连取两个。已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。,解 设A表示“第一次取到红球”, B表示“第

34、二次取到红球”,方法一：缩减样本空间A中的样本点数,方法二：在5个球中不放回连取两球的取法有 种，,由定义得,70,例3 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”， B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C),解,71,设A、B、C为随机事件，P(A)0，则有乘法公式 P(AB)P(A)P(B|A),当P(AB)0时，上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB),一般地，n个随机事件A1,A2,An，且 P(A1A2An-1)0,有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A

35、1 A2).P(An|A1An1),三、概率的乘法公式,又AB=BA,及A,B的对称性可得到: P(AB)P(B)P(A|B) P(B)0 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.,72,例4 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。,解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件,返回,73,例5 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球

36、4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解 设Ai为第i次取球时取到白球，则,74,四、全概率公式,在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件转化为在不同情况或不同原因下发生的若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。 如在例4中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计算如下：,例 4,75,甲抽到难签的概率,例4,乙抽到难签的概率，注意到,丙抽到难签的概率，注意到,可将此类问题推广到一般情况。,76,定理1 设试验E的样本空间为S，设A1,A2,An是一个完备事件组，

37、且P(Ai)0,(i=1,2,),则对任一事件B,有,此公式称为全概率公式。,注：公式指出，在复杂情况下直接计算P(B)不易时，可根据具体情况构造S一划分Ai，使事件B发生的概率是各事件Ai发生的条件下引起事件B发生的概率的总和。,特别地：若取n=2，,77,A1,A2,An,B,78,例5 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,解 设B：买到一件次品； A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品； A3：买到一件丙厂的产品。,79,例6 某工厂生产的

38、产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。,解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划分，,返回,80,例6的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i

39、(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Bi|A) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式贝叶斯公式。 贝叶斯公式讨论的是事件已经发生，要考虑使事件发生的各种原因，情况或途径的可能性大小。,81,五、贝叶斯公式(Bayes),定理2 设试验E的样本空间为S，设A1,A2,An是一完备事件组，则对任一事件B,P(B)0,有,此式称为Bayes公式。,公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率， P(Ai)是在没有进一步消息（不知道B是否发生）的情况下诸事件发生的概率

40、。当获得新的消息（知道B发生），人们对诸事件发生的概率P(Ai|B)有了新的估计，Bayes公式从数量上刻画了这种变化。,82,例6中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？,类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。,83,例7 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,甲,乙,解 设A从甲袋放入乙袋的是白球； 从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球。,84,

41、思考 例7中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答,85,若一病人高烧到40，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病B1,B2,Bn。这里假定一个病人不会同时得几种病，即B1,B2,Bn互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率P(Bi)，这通常称为先验概率。进一步要考虑的是一个人高烧到40时，得Bi这种病的可能性，即P(Bi|A)的大小，它可由Bayes公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病人高烧40)后，病人得B1,B2,Bn这些疾病的可能性的大小，这通常称为后验概率。有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。 若我们把A视为观察的“结

42、果”，把B1,B2,Bn理解为“原因”，则Bayes公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。,86,例8 根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被检查者确实患有癌症”，则有,现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么他确实患癌症的条件概率是多少？即求P(C|A)。,解,本例中P(C)=0.005就是先验概率，而P(C|A)=0.087为后验概率。可见比先验概率提高了近16.4倍。虽然诊断的可靠性P(A|C)较高，但是确诊(即被检查诊

43、断患有癌症者确实有癌症)的可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。,87,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,88,89,习题1、 假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。,90,习题2、 丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是多少？ 习题3、 已知 则求,习题4、数字通讯过程中，信源发射0、1两种

44、状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,0.067,解 设A-发射端发射0，B-接收端接收到一个“1”的信号。,0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),P(A|B)=,91,例1 袋中有a只红球，b只白球b0，现从此袋中取两次球，每次各

45、取一只球，分有放回和无放回两种情况，记A表示事件“第一次所取的球是红色的球”，B表示事件“第二次所取的球是红色的球”。 求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的概率。,解 （1）有放回,（2）无放回,1.5 事件的独立性,返回,92,设A、B是随机试验E的两个事件，若P(A)0，则可定义P(B|A)，即A发生条件下的B发生的概率。 一般地，P(B)P(B|A)，即事件A发生对事件B发生的概率是有影响的。,如例1（2）中,而且此时,在特殊情况下，一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响，如例1 (1)中,而且此时,例1,93,定义1 若两个

46、事件A、B满足 P(AB)P(A)P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立。,由定义可知，必然事件S和不可能事件与任何事件都是相互独立的。,定理1 设A，B是两事件，若A，B相互独立，且P(B)0，则P(A|B)=P(A). 反之亦然.,一、两个事件的独立性,94,例2 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记 A=抽到K , B=抽到的牌是黑色的, 问事件A、B是否独立?,解 方法一 利用定义判断. 由,得到 ,故事件A、B独立.,方法二 利用条件概率判断.由,得到 ,故事件A、B独立.,95,独立性的概念可推广到多个事件,注：判断事件的独立性，可利用定义或通过计算事件概率来判断。但在实

47、际应用中，常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。,例如：甲、乙两人向同一目标射击， 记事件A=甲命中，B=乙命中 因“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故A, B独立。,定理2 设事件A、B相互独立，则事件A与 ， 与B， 与 也相互独立。,证明 由 ，得,96,定义2 若三个事件A、B、C同时满足下面四个等式：,则称事件A、B、C相互独立。,（*）式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。,注意：（*）不能推出（*），（*）也不能推出（*）。两式必须同时成立，才能称A、B、C相互独立。 由定义可知： A、B、C相互独立必有A、B、C两两独立，反之不真。,二、有限个事件的独立性,97,则称n

48、个事件A1，A2，An相互独立。,设A1，A2，An是n(n1)个事件，若对任意k 个事件 均满足等式,定义3 设A1，A2，An是n个事件,若其中任意两个 事件之间均相互独立, 则称A1，A2，An 两两独立.,性质1 若事件A1, A2, An 相互独立, 则其中任意 个事件也相互独立,性质2 若n个事件A1, A2 , An 相互独立, 则将A1, A2 , An中任意m 个事件换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立.,98,事件独立性的应用举例,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则,2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则,99,例3 甲、乙

49、两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。 解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件， C表示目标被击中的事件，则 P(A)=0.9，P(B)=0.8 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.90.8=0.98,另解,100,3、在可靠性理论上的应用,如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路， Ai-第i个继电器通, i=1,2,5,101,由全概率公式,102,三、伯努利概型,设随机试

50、验只有两种可能的结果: 事件A发生(记为A ) 或事件A不发生(记为 ), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设,将伯努利试验独立地重复进行n次, 称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.,注:n重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A在每次试验中发生的概率均为p,且不受其他各次试验中A是否发生的影响.,定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A发生的概率为 则在n重伯努里试验中,事件A恰好发生k次的概率为,103,证明 记“第i次试验中事件A发生”这一事件为Ai , i=1,2,n,则“事件 A恰好发生k次”（记作Bk）是下列 个两两不相容事件的并：,故有,其中 是取遍1,2,n中的任意k个数(共有 种取法), j1,j2 ,jn-k是取走 后剩下的n-k个数. 而对任意取出的 ,根据独立性及 , 有,104,推论 设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0p1), 则在n重伯努利试验中, 事件A在第k次试验中的才首次发生的概率为,注意到“事件A第k次试验才首次发生”等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中“事件A在前