第五章 线性系统的频域分析法 2

1、5.3 控制系统的开环频率特性,5.3.1 开环极坐标图,开环极坐标图的近似绘制,(1) 起点和终点； (2) 与实轴的交点； (3) 变化范围。,频率特性可表示为：,将频率特性安按典型环节分解,1.极坐标图的起点, 0时，除 其他环节的频率特性为,所以， 0时幅相曲线的起点只与 有关,起点取决于比例环节k和积分或微分 环节的个数。,2.极坐标图的终点, +时Gk(+j)在复平面上的位置与频率特性分子分母多项式阶次差（n-m）有关。,对于最小相位系统,3.与实轴的交点,例5-1 设系统开环传递函数为,试绘制系统概略极坐标图。,解：,系统开环频率特性,起点：I型系统，A(0+) ,(0)=-90

2、,终点：n-m=3，A() 0,()=-270,与实轴交点：,由 解得,代入 得交点为,5.3.2 开环伯德图,系统开环传递函数作典型环节分解后，可先作出各典型环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方法绘制系统开环对数频率特性。,对于任意的开环传递函数，可按典型环节分解为三部分：,(2) 一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为1/T；,(3) 二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为n 。,(1) 积分环节 或 ；,记min为最小交接频率，称n的频率范围为低频段。开环伯德图的绘制按以下步骤进行：,1) 开环传递函数典型环节分解。,2)

3、 确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在对数坐标图的轴上。,3) 绘制低频段渐近线：由于一阶环节或二阶环节的对数幅频渐近曲线在交接频率前斜率为0dB/dec，在交接频率处斜率发生变化，故在min频段内，开环系统幅频渐近特性曲线的斜率取决于微积分环节数，其斜率为-20vdB/dec。,4) 作min频段渐近线：在min频段，系统开环对数幅频渐近特性曲线表现为分段折线。每遇到一个交接频率增加相应的斜率。增加的斜率等于该交接频率对应环节的斜率。,低频段直线的确定,由点斜式直线方程知：低频段直线斜率为-20vdB/dec ，只需确定一点坐标即可。,因为低频段由 确定,方法一 在低频段任选

4、一点0,方法二 选特定点0=1，则,方法三 选 特定值0，则,解：先将Gk(s)化成典型环节串联的标准形式,1)交接频率：2，1，20,2)低频段：,斜率：-20dB/dec;,位置：=1时，为20lgk=20dB,3)低频向高频延续，每经过一个交接频率，斜率作适当修改,设复变函数为,一、映射定理,则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点，F（S）为解析函数，即为单值、连续的函数。,S平面,F（S）平面,曲线的形状：由F（S）的特性决定，无需关心 曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟 曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！,S平面,F（S）平面,映射定理,设S平面上的封闭曲线包围了

5、复变函数F（S）的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F（S）的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在F（S）平面上的影射曲线包围坐标原点P-Z周。,二、乃奎斯特稳定判据,设系统的特征方程,F（S）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点,系统稳定的充要条件：,特征方程的根都在S平面的左半平面，右面无极点,F（S）的零点都在S平面的左半平面，右面无零点,根据映射定理，S沿乃氏回线顺时钟移动一周时，在 F（S）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点N=P-Z周。,系统是稳定的，Z=0，N=P,稳定性判据： 如果在S平面上，S沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的

6、映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转N=P周，则系统是稳定的。,映射曲线围绕原点的情况相当于G（S）H（S）的封闭曲线围绕（-1，0）的运动情况。,绘制映射曲线的方法 （1）令S=j带入G（S）H（S），得到开环频率特性。 （2）画出对应于大半圆对应的部分 实际物理系统 n=m nm时 G（S）H（S）趋于零 n=m时 G（S）H（S）为常数,乃奎斯特稳定性判据： 控制系统稳定的充要条件是，当从负无穷变化到正无穷大时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时钟方向包围 (-1，j0)点P周，P为位于S平面右半部的开环极点数。,例：绘制开环传递函数,的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。,三、虚轴上有开环

7、极点时的乃奎斯特判据,虚轴上含有开环极点的情况,不可直接应用映射定理！,映射定理要求乃奎斯特回线不能经过F（S）的奇点。,用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。,在复平面的虚轴上，当很小时，半圆弧的数学方程式rej,r0时，从0变到/2。,当S沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟方向从,经过0变化到,例：绘制开环传递函数,的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。,五、根据伯德图判定系统的稳定性,原点为圆心的单位圆 0 分贝线。 单位圆以外L()0的部分； 单位圆内部L()0的部分。,负实轴180线。,相连,(v 为开环积分环节的数目),起始点 (0+),Nyquist曲线的辅助线,(0+) +v 90线,正穿越对应于对数相频特曲线当增大时从下向上穿越180线(相角滞后减小 )；,(-1, j0)点以左实轴的穿越点 L()0范围内的与180线的穿越点。,负穿越对应于对数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越180线( 相角滞后增大)。,对数频率特性稳定判据,若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根，则当在L()0 的所有频率范围内，对数