26电磁学2演示稿

1、13.3 静电场力作的功和电势,当电荷在电场力作用下运动时，静电力就要做功，它表明电场具有做功能力电场具有能量。,引入电势的概念描述静电力做功特性它是从电场力做功的角度反映电场的性质。,电场力做功的特点 描述场的能量特征-电势的引入 已知场源电荷的分布求电势 电势与电场强度的关系,1.静电场力做功的特点,当试验电荷q在点电荷Q电场力作用下沿路径l从场点a移动到场点b时，静电场力做的功：,13.3 静电场力作的功和电势,13.3 静电场力作的功和电势,点电荷电场力做功的特征：与电荷移动的路径无关，仅与带电量和电场中移动的初始位置有关。,13.3 静电场力作的功和电势,对于任意分布电荷的电场：,任

2、意分布电荷电场力做功的特征：与电荷移动的路径无关，仅与带电量和电场中移动的初始位置有关。,13.3 静电场力作的功和电势,静电场力做功的特点：静电场力是保守力，静电场是保守力场。,推论1. 在闭合回路中移动电荷，静电场力做功为0。,推论2.对于静电场，电场强度沿闭合回路的曲线积分为零静电场的重要特性。,13.3 静电场力作的功和电势,2. 电势能,静电场力做功与电荷的路径无关，可以引入一与位置相关的函数电势能。,定义：电荷处于静电场任一位置时都具有一定的电势能，电势能的改变可以用电场力的做功来度量电势能的减小等于电场力所做的功。,13.3 静电场力作的功和电势,讨论：,（1）Wa Wb , A

3、ab0 电场力做正功，电势能减小。,（2）Wa Wb , Aab0 电场力做负功，电势能增加。即外力克服电场力做功。,（3）定义式只给出了电势能差值，其电势能的绝对值和参考零点的选择有关。,（4）电势能是场源电荷和场中电荷组成的电荷系所共有的，不属于某一电荷。,13.3 静电场力作的功和电势,3. 电势差和电势,此值只与电场各点的场强和位置a、b有关，与场中电荷q无反映了电场本身的特性。,13.3 静电场力作的功和电势,Ua- Ub称为电场中a、b两点的电势差，它是单位正电荷在这两点的电势能之差。在数值上等于单位正电荷从a点移动到b点电场力做的功。,上式只给出了电势差值，其电势的绝对值和电势零

4、点的选择有关。,13.3 静电场力作的功和电势,在静电场中取一参考点o，令其电势Uo= 0，称为电势零点。则有：,定义：静电场某一点的电势是单位正电荷在该点所具有的电势能。它在数值上等于把单位正电荷从该场点移动到电势零点电场力所做的功。,13.3 静电场力作的功和电势,讨论：,（2）原则上电势零点可以任意选取，因为它不影响电势差，实际工作中有意义的是电势差。一般电势零点应使数学上有意义且处理问题方便。,（1）电势是标量，电势零点选定后，电势是空间位置的单值函数。它是从能量的角度描述了电场的空间分布规律。电势反映了电场做功的能力。,13.3 静电场力作的功和电势,（3）理论上，计算一有限大带电体

5、的电势时，取无穷远处为势能零点。,（4）实际问题中，常取地球做电势零点，因为地球电势稳定且利于统一比较。,（5）电势零点和电势能的零点是一致的。,13.3 静电场力作的功和电势,把正电荷从电场中电势高处移向电势低处，电场力做正功。,把正电荷从电场中电势低处移向电势高处，电场力做负功。即必须有外力克服电场力做功。,（6）把电荷q从电场中a点移到b点，电场力做的功为：,13.3 静电场力作的功和电势,把负电荷从电场中电势高处移向电势低处，电场力做负功。即必须有外力克服电场力做功。,把负电荷从电场中电势低处移向电势高处，电场力做正功。,无论如何，电场力所做正功电势能的减小，外力克服电场力做功电势能增

6、加。,13.3 静电场力作的功和电势,例1.一示波管中第二阳极A2相对于阴极K的电势差V=1500V，电子离开阴极的速度为0，求其达到第二阳极的速度。,解：电子通过阴极和第二阳极的电场，电场力做功使得电子的动能增加。,13.3 静电场力作的功和电势,电子从阴极K到第二阳极A2电场力做功：,13.3 静电场力作的功和电势,由动能定理有：,电势是标量容易测量获得，而电场强度是矢量计算和测量都不容易，实际中电势显得更重要。,13.3 静电场力作的功和电势,4. 电势的计算,(1)点电荷的电场中点的电势,取无穷远处为电势零点，则距场源电荷q相距为r的一点的电势：,13.3 静电场力作的功和电势,点电荷

7、电场的电势：,(2)点电荷组的电场中点的电势,取无穷远处为电势零点，则电场中任一点P的电势：,13.3 静电场力作的功和电势,点电荷组电场的电势：,电势叠加原理：电荷组电场中任一点的电势等于各点独立存在时，在该点电势的代数和。,(3)电荷连续分布带电体电场中各点的电势,把带电体分成许多电荷元dq；,电荷元dq可以表示为：,13.3 静电场力作的功和电势,电荷元dq可视为点电荷，其电场的电势为：,由叠加原理可求出整个带电体电场的电势：,13.3 静电场力作的功和电势,例2. 计算电偶极子电场中任一点P的电势， P点远离电偶极子。,解：取电偶极子中点为原点，如图建直角立坐标系，P点的电势为+q和-

8、q在该点的电势之和：,13.3 静电场力作的功和电势,13.3 静电场力作的功和电势,13.3 静电场力作的功和电势,电偶极子在某一方位的电势决定于电偶极矩在该方位上的投影，并且电势的大小与距离的平方成反比。,13.3 静电场力作的功和电势,解：在圆盘上取电荷元为半径为r，宽度为dr的圆环则有：,圆环上任一点到P点的距离均为：,例2. 半径为R的带电均匀圆盘，面电荷密度为，计算中垂线上任一点P的电势。,13.3 静电场力作的功和电势,13.3 静电场力作的功和电势,13.3 静电场力作的功和电势,例3. 半径为R的均匀带电球壳，带电量为q，计算球外距球心r处一点P的电势。若P点在球心如何？,解

9、：带电球壳外部场强为：,相当于电荷集中于球心时在P点产生的电势,13.3 静电场力作的功和电势,带电球壳内部场强为：,它和球壳上的电势相等，且与P点的位置无关。,13.3 静电场力作的功和电势,13.3 静电场力作的功和电势,例4. 半径为RA和RB的两同心均匀带电球壳，带电量分为qA和qB ，求空间任意一点的电势和两球壳的电势差。,解：空间任意一点的电势为两球壳在该点分别产生的电势之和：,13.3 静电场力作的功和电势,13.3 静电场力作的功和电势,两球壳的电势分为：,两球壳的电势差为：,13.3 静电场力作的功和电势,（1）UAB与qB无关，只与内球壳的电量及两球的半径有关。,讨论：,（

10、2） qA0, UAB0， UA UB ，即当球A带正电荷时，A球壳的电势高于B球壳的电势。用导线连上AB时，正电荷移向B。,（3） qA0, UAB0， UA UB ，即当球A带负电荷时，A球壳的电势低于B球壳的电势。用导线连上AB时，负电荷移向B。,13.3 静电场力作的功和电势,5. 等势面,引入等势面的概念对电场强度的空间分布可以形象的以电场线进行几何描述.,等势面的定义：在静电场中，电势相等的点构成的曲面。通常规定相邻两等势面的电势差为一恒值它形象地反映了静电场电势的空间分布特征。,13.3 静电场力作的功和电势,几种常见的等势面：,正点电荷的电场线和等势面,13.3 静电场力作的功

11、和电势,一对正点电荷的电场线和等势面,13.3 静电场力作的功和电势,电偶极子的电场线和等势面,13.3 静电场力作的功和电势,平行平板带电导体的电场线和等势面,示波管加速和聚焦电场的电场线和等势面,13.3 静电场力作的功和电势,静电场等势面的特征：,（1）等势面与电力线处处正交沿与电场强度垂直的方向移动电荷电场力做功为0。,13.3 静电场力作的功和电势,（2）等势面较密集的地方电场强度较大，较疏的地方电场强度较小。,（3）等势面的分布已知便可推知电场线，反之一样。电势的分布是一标量场，测量和计算都较容易，所以实际中，总是由等势面推知电场线。,13.3 静电场力作的功和电势,6. 电势梯度

12、和电场强度,已知电势如何求电场强度？,电场力做的功与电场强度的关系：,将一验电荷沿任意方向移动一微位移 ：,电场力做的功与电势的关系：,13.3 静电场力作的功和电势,电场强度在空间任一方向上的分量等于电势沿该方向上的变化率的负值，负号的意义为电场强度的方向始终指向电势降低的方向。,13.3 静电场力作的功和电势,电势梯度gradU：是矢量，它的大小是电势的空间变化率。它的方向沿等势面的法线方向，指向电势增加的一方。这个方向是电势增加最快的方向。它是场函数电势在电势增加最快方向的方向导数。,13.3 静电场力作的功和电势,电场强度等于电势梯度的负值。电场强度的方向是电势降落最快的方向，它的大小

13、表明沿这个方向电势降落的快慢程度。电场强度的单位也可以写为：伏特/米,注意：,（1） 只是一个算符，它独立存在没有意义。它表示对场函数的一种运算，只有作用在场函数U（x,y,z)才有意义。,13.3 静电场力作的功和电势,（3） U是一矢量场函数。,（2）包含矢量和微分两种运算，它可以作用在一标量场函数，也可以作用在一矢量场函数：,13.3 静电场力作的功和电势,例1. 已知静电场的电势函数为 ，式中A和a均为常数，求任意点的电场强度。,解：,13.3 静电场力作的功和电势,13.4 静电场的环路理与高斯定律,本节将讨论静电场空间分布的一般特性：,静电场的环路定理 静电场的高斯定理 利用高斯定

14、理求电场强度,电荷分布不同，电场的空间分布也不同。那么静电场的空间分布有没有共同的特征？,1.静电场的环路定理,环路定理（积分表述）：静电场力是保守力， 静电场是保守力场。,可以证明：,13.4 静电场的环路理与高斯定律,则有：,环路定理（微分表述）：电场强度的旋度为0，静 电场是无旋场。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,2.静电场的高斯定理,（1）电通量：,均匀电场的电通量：静电场中穿过任意平面S的电场线的根数。它反映了静电场在平面上的分布情况。,对于任意的静电场和曲面的情形电通量又如何？,13.4 静电场的环路理与高斯定律,对于静电场中的任意曲面S，取面元 ，则面元上的电通量为：,通过

15、任意曲面S的总电通量为：,对于闭合曲面的情形电通量又如何？,13.4 静电场的环路理与高斯定律,对于闭合曲面S，规定面元 的方向是由曲面内指向曲面外：,反映了静电场电场线进入和穿出闭合曲面的多少，即反映了电场在闭合曲面所包围的空间的分布特性。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,通过闭合曲面的电通量和空间分布电荷又有什么关系？,（2）高斯定理,首先考虑点电荷q位于一半径为r的球面的球心处，球面的电通量：,结论：点电荷q位于球心时，电通量为 q/0，只与q有关与球面无关。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,再考虑点电荷q位于任意闭合曲面S内时的电通量：,取一半径为r的球面点电荷q位于球心处则有

16、：,13.4 静电场的环路理与高斯定律,通过任意闭合曲面S的总电通量：,推论：点电荷在任意闭合曲面外时，闭合曲面的 为电通量为0。,结论：点电荷在任意闭合曲面内时，闭合曲面的 为电通量为q/0，只与电荷q有关与闭合曲 面无关。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,考虑任意电荷分布时，在任意闭合曲面S的电通量：,13.4 静电场的环路理与高斯定律,所以通过闭合曲面S总的电通量为：,高斯定理： 通过静电场中任意闭合曲面的电通量 （积分表述）为该闭合曲面内总电量的1/0倍，它 与闭合曲面外的电荷以及闭合曲面本 身无关。,闭合曲面S通常称为：高斯面,13.4 静电场的环路理与高斯定律,可以证明：,高斯

17、定理： 电场强度的散度与电荷密度成正比， （微分表述）某一场点的散度等于该点电荷密度的 1/0倍，静电场是有源场。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,高斯定理反映了静电场空间分布和 场源电荷的关系的一般规律,13.4 静电场的环路理与高斯定律,（1）高斯定理描述了静电场的空间分布和场源电荷的关系的一般规律。,讨论：,（2） qin0, 0， 即高斯面内为正电荷时，电场线从高斯面内穿出，且以正电荷为起点。,qin0, 0， 即高斯面内为负电荷时，电场线从高斯面外穿入，且终止于负电荷。,静电场是有源场，电荷为电场的源；正电荷为源头负电荷为尾闾。静电场的一般的空间分布特性。,13.4 静电场的环路

18、理与高斯定律,（3） 它说明静电场中高斯面外的电荷对于其电通量没有贡献。但并不意味其对高斯面内的电场强度没有贡献。空间任意一点的电场强度一定是由所有分布电荷共同决定。,（4）高斯面内电荷的代数和为0，并不意味着面内一定无电荷。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,（5） 对于一些对称分布的电场，利用高斯定律可以方便的求出其电场强度。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,例1. 半径为R的均匀带电球壳，带电量为q，计算球外距球心r处一点P的场强。若P点在球心如何？,解：,选取高斯面：取通过P点的同心球面为高斯面S ，在高斯面上的场强大小相同，方向与球面垂直。,对称性分析：由电荷分布的球对称，知其

19、场强的分布也是以球心为中心的球对称分布。,3.利用高斯定理求电场强度,13.4 静电场的环路理与高斯定律,应用高斯定理：在所选的高斯面上由高斯定理有：,13.4 静电场的环路理与高斯定律,例2.半径为R的均匀带电球体，带电量为q，计算球外距球心r处一点P的场强。,解：,对称性分析：由电荷分布的球对称，知其场强的分布也是以球心为中心的球对称分布。,选取高斯面：取通过P点的同心球面为高斯面，在高斯面上的场强大小相同，方向与球面垂直。,13.4 静电场的环路理与高斯定律,应用高斯定理：在所选的高斯面上由高斯定理有：,13.4 静电场的环路理与高斯定律,13.4 静电场的环路理与高斯定律,例3. 无穷大带电均匀平板，面电荷密度为，求电场强度。,解：,对称