全国通用2017届高考数学第十章圆锥曲线10.5曲线与方程课件理新人教B版.pptx

1、10.5曲线与方程,高考理数,1.“曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系建立适当的坐标系; (2)设点设轨迹上的任一点P(x,y); (3)列式列出动点P所满足的关系式; (4)化简依关系式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x、y的方程,并化简;,知识清单,(5)证明证明所得方程即

2、为符合条件的动点轨迹方程. 3.求动点轨迹方程常用的方法 直接法;定义法;几何法;相关点法(代入法);参数法;交轨法.其中统称为间接法,体现了一种转化思想,若解题过程中引入了n个参数,则只需建立(n-1)个方程.在探求轨迹方程的过程中,需要注意的是轨迹方程的“完备性”和“纯粹性”,因此,在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下:是否还遗漏了一些点;是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在;在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有限制. 【知识拓展】 1.求轨迹方程时,要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应的关系,若不是,则应对方程加上一定的限制条件,检验可以从以下两个方面进行:一是方程的化简

3、是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义. 2.求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.,根据解析几何中一些常用定义(例如:圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义)直接写出轨迹方程,或从定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程. 定义法求轨迹方程的一般步骤: (1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义; (2)设标准方程,求方程中的基本量; (3)求轨迹方程. 例1等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 解析设另一端点C的坐标为(x,y). 依题意,得|AC|=|AB

4、|. 由两点间的距离公式,得 =,突破方法,方法1定义法求轨迹方程,整理得(x-4)2+(y-2)2=10.,方程表示以点A(4,2)为圆心,为半径的圆,如图所示,又因为A、B、C为三角形的三个顶点,所 以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点. 因为点B、C不能重合,所以点C不能为(3,5). 又因为点B、C不能为一直径的两个端点, 所以4,且2, 即点C不能为(5,-1).,双动点的轨迹问题常采用相关点法,相关点法求轨迹方程的一般步骤: (1)与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动; (2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x

5、,y); (3)将x0,y0代入已知曲线方程; (4)整理关于x,y的关系式得M的轨迹方程. 例2(2012辽宁,20,12分)如图,椭圆C0:+=1(ab0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=,bt1a.点A1, A2分别为C0的左,右顶点,C1与C0相交于A,B,C,D四点.,方法2相关点法求轨迹方程,由得y2=(x2-a2). 由于点A(x1,y1)在椭圆C0上,故+=1.从而=b2,代入得-=1(x-a,y0). (2)证明:设A(x2,y2),由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,得4|x1|y1|=4|x2|y2|,故=. 因为点A,A均在椭圆上,所以b2=b2. 由t1t2

6、,知x1x2,所以+=a2.从而+=b2,因此+=a2+b2为定值. 2-1已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点R,动点P满足=2,则点P的轨迹方程为() A.+y2=1B.+y2=1 C.x2+=1D.x2+=1 答案A 解析设P(x,y),R(x0,y0),则有=(1-x0,-y0),=(x-1,y), 又=2,所以所以,又R(x0,y0)在圆x2+y2=4上, (-2x+3)2+(-2y)2=4,即+y2=1.,多动点的轨迹问题常采用参数法+交轨法,参数法求轨迹方程的一般步骤: (1)选取参数k,用k表示动点M的坐标; (2)得动点M的轨迹的参数方程 (3)消参数k,得M的轨迹

7、方程; (4)由k的范围确定x,y的范围,确保完备性与纯粹性. 注意:(1)参数的选择要合理;(2)消参的方法灵活多样;(3)对于所选参数,要注意取值范围,并注意参数取值范围对x,y的取值范围的制约. 例3(2015广东六校联盟三模,19)已知直角坐标系中,圆O的方程为x2+y2=r2(r0),两点A(4,0),B(0,4),动点P满足=(01). (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)若对于轨迹C上的任意一点P,总存在过点P的直线l交圆O于M,N两点,且点M是线段PN的中点,求r的取值范围. 解析(1)设P(x,y),=(01),考点一 西方人文精神的起源古希腊先哲, 消去并注意到01可得动

8、点P的轨迹C即为线段AB,方程为x+y-4=0(0 x4). (2)设N(x0,y0),P(t,4-t),(0t4), 则M. 由题意知方程组 即有解, 将方程组两式左、右两边分别相减得2tx0+2(4-t)y0+t2+(4-t)2-3r2=0, 原方程组有解等价于点(0,0)到直线l:2tx+2(4-t)y+t2+(4-t)2-3r2=0的距离小于或等于r, 即r, 整理得(2t2+16-8t-3r2)24t2+4(4-t)2r2. 即(2t2+16-8t-r2)(2t2-8t+16-9r2)0,也就是r22t2-8t+169r2对任意的0t4恒成立, 根据二次函数y=2t2-8t+16的图象特征可知,在区间0,4上, 当t=0或t=4时,(2t2-8t+16)max=16; 当t=2时,(2t2-8t+16)min=8, 所以r28,即r2, 特别地,当r=2时,圆x2+y2=8与x+y-4=0切于点(2,2), 此时过C上的点P(2,2)没有符合要求的直线, 故r2, 所以所求r的取值范围为. 3-1已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. (1)证明:当m2时,曲线C是一个圆; (2)在(1)的条件下,求证圆心在一条定直线上. 解析(1)由已知得D2+E2-4F=1