第二章 机器人的数学基础及模型建立.ppt

1、基于机器人的算法设计,Algorithm design based on Robot,1,授课教师：温秀平,Algorithm design based on Robot,2,第2章 机器人的数学基础及模型建立,第二章 机器人的数学基础及模型建立,主要内容,一、矩阵相关知识 二、位置和姿态描述 三、坐标变换 四、机械手的运动学方程 五、机械手的动力学方程,3,第二章 机器人的数学基础及模型建立,一、矩阵相关知识,由mn个数 (1im,1jn)排成m行n列的数表 称为mn矩阵。也可以写作 ，其中 称为元素。,1 矩阵的定义,4,第二章 机器人的数学基础及模型建立,2 矩阵的加法,设有矩阵 ，则矩

2、阵 定义为,一、矩阵相关知识,5,第二章 机器人的数学基础及模型建立,3 矩阵的乘法,一、矩阵相关知识,6,第二章 机器人的数学基础及模型建立,一、矩阵相关知识,4 矩阵的转置,7,第二章 机器人的数学基础及模型建立,5 矩阵的逆,一、矩阵相关知识,6 分块矩阵,对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法。如：,8,第二章 机器人的数学基础及模型建立,二、位置和姿态描述,1 位置描述 刚体的位置可以用它在某个参考坐标系中的坐标向量来描述。 其中 是点P在坐标系 中的三个坐标分量， 也称 为位置矢量。,9,第二章 机器人的数学基础及模型建立,二、位置和姿态描述,10,第二章 机器人的

3、数学基础及模型建立,1 平移坐标变换,三、坐标变换,11,第二章 机器人的数学基础及模型建立,2 旋转坐标变换,三、坐标变换,旋转坐标变换特点：两坐标系坐标原点相同，但坐标轴方向不同,旋转坐标变换,12,第二章 机器人的数学基础及模型建立,三、坐标变换,2 旋转坐标变换,绕y轴旋转,绕z轴旋转,13,第二章 机器人的数学基础及模型建立,3 复合变换,三、坐标变换,复合变换,复合变换特点：两坐标系坐标原点不同，坐标轴方向也不同。,14,第二章 机器人的数学基础及模型建立,三、坐标变换,4 齐次坐标变换,用41的列向量来表示三维坐标系内的点的坐标，称为点的齐次坐标。把式,写成等价形式,式中,称为齐

4、次变换矩阵。,15,第二章 机器人的数学基础及模型建立,4 齐次坐标变换,三、坐标变换,16,第二章 机器人的数学基础及模型建立,4 齐次坐标变换,三、坐标变换,17,第二章 机器人的数学基础及模型建立,4 齐次坐标变换,三、坐标变换,18,第二章 机器人的数学基础及模型建立,4 齐次坐标变换,三、坐标变换,19,第二章 机器人的数学基础及模型建立,1 机械手相关参数定义,四、机械手的运动学方程,20,第二章 机器人的数学基础及模型建立,1 机械手相关参数定义,四、机械手的运动学方程,（1）连杆扭角 ：相邻两关节轴线之间的夹角。 （2）连杆长度 ：相邻两关节轴线的公垂线长度。 （3）连杆间距

5、：关节i,i+1轴线的公垂线与关节i,i-1轴线的公垂线之间的距离。 （4）关节转角 （ ）：关节i,i+1轴线的公垂线与关节i,i-1轴线的公垂线之间的夹角。,21,第二章 机器人的数学基础及模型建立,四、机械手的运动学方程,2 机械手运动学方程的建立,（1）坐标系i的建立,22,第二章 机器人的数学基础及模型建立,四、机械手的运动学方程,2 机械手运动学方程的建立,（1）坐标系i的建立,选择bi在关节i轴线上的垂足为坐标系原点，关节i轴线方向为Zi轴，bi所在直线为Xi轴，Yi轴按右手规则确定。,（2）确定坐标系i相对于i-1的坐标变换,坐标系i可以看作是先与i-1重合，然后经过四次坐标变

6、换得到的一个坐标系。这四次变换依次为：先绕Xi-1旋转 ，再沿Xi-1平移bi-1，绕后绕Zi轴旋转 ，最后沿Zi平移di，即可得到坐标系i。,23,第二章 机器人的数学基础及模型建立,四、机械手的运动学方程,2 机械手运动学方程的建立,对于具有n个连杆的机械手，建立运动学方程时，要确定末端手爪坐标系n相对于基座坐标系0的坐标变换。再根据齐次变换矩阵的乘法规则可得,24,第二章 机器人的数学基础及模型建立,四、机械手的运动学方程,3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）,例：两关节机械手的形状如图所示，它由一个基座，两个连杆 ，两个关节 构成。两个关节的轴线平行， 长度分别为 。,解：首先，建

7、立如图所示的坐标系0，1，2；然后根据已知条件确定两关节机械手的连杆参数，如下表所示：,25,第二章 机器人的数学基础及模型建立,四、机械手的运动学方程,3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）,接下来根据连杆参数求各连杆坐标系之间的齐次变换矩阵，可得,26,第二章 机器人的数学基础及模型建立,四、机械手的运动学方程,3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）,根据齐次变换矩阵乘法规则可得,上式就是两关节机械手的运动学方程，它表明了机械手的末端手爪在空间的位置和姿态与各关节位移 之间的关系。同时也可以求得机械手末端手爪在坐标系0中的位置向量，即,27,第二章 机器人的数学基础及模型建立,四、机械

8、手的运动学方程,3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）,28,第二章 机器人的数学基础及模型建立,五、机械手的动力学方程,机械手动力学研究的就是机械手的运动与产生这种运动的力和力矩之间的关系。将机械手的连杆看作刚体，那么它的力F与力矩N满足牛顿欧拉方程，即,式中：I表示刚体的惯性张量，w表示角速度，a表示加速度。其中惯性张量I由下面矩阵表示：,29,第二章 机器人的数学基础及模型建立,五、机械手的动力学方程,其中： 分别表示密度和 微分体积单元，x,y,z是刚体中点p的坐标分量。,30,第二章 机器人的数学基础及模型建立,五、机械手的动力学方程,下面直接给出两关节机械手的动力学方程。,令,31,第二章 机器人的数学基础及模型建立,五、机械手的动力学方程,上述两式可以写成如下矩阵形式,其中：,32,第二章 机器人的数学基础及模型建