现代控制理论状态空间法

1、现代控制理论,第一章 状态空间法,一.问题的引出 1 -古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才能采用传递函数.,控制系统的状态空间描述,而实际上大多数系统表现为: 1、多输入，多输出.（抽象定义，系统具有合格性） 2、时变.（总是可找到一些参数是随时间变化的） 3、非线性.（泛指运动本身的非线性特征） 4、复杂性，复杂任务和高精度.,因此古典控制理论解决问题受到限制,需要寻找新的解决方法.这种方法或理论应要求: 1、描

2、述多输入/输出复杂系统的方法和理论基础. 2、具有可计算的形式. 3、解析式设计 4、能描述系统内部状态和终端行为(内部描述). 5、系统t=0松驰状态,非松驰状态,或非线性时变等情况下的适用性.,结论 -对研究内容的界定和限制 所以对于一个多输入/输出系统来说: 1、采用在时域内进行建模，且由于是对实际物理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量和函数均假定为实数 。,2、数学描述的主要手段是微分方程，并应充 分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分表述系统的内部特性. 3、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统状态. 4、主要研究线性连续时不变系统.,二.问题的引出 2 -状态空间分析方法

3、 通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概念. 例:设有如图所示网络,显然,若流经电感的初始电流及电容两端的初始电压已知,则在任何电压驱动下,网络的行为能唯一地确定。 从u到y的网络传递函数求得为: (1) 故该网络的脉冲响应为: (1),现将输入电压u ,)施加于网络,且网络设定为时不变的. (1)若在 时刻系统是松驰的,则其输出为: (2) (2)若在 时刻非松驰（ 前有输入，系统有能量储存），则系统输出为: (3),显然在 以前施加于系统的输入能通过电容和电感的能量存储对 之后的输出产生影响. 现在我们考虑由未知输入u(-, 对 y ,)的影响,即: （4）,其中: 注意到 和 与t无关

4、,因此如果 和 已知,则由未知的输入u(-, 引起的在t 之后的输出就完全可以确定。,由式（3）得到 并利用式（4）的结果，得 （5）,对式(3)取关于t的导数,并利用,得到: 连同g(0)=0,就意味着有 (6) 联立式(5)和式(6),得到,从而若网络在 时刻非松驰则输出由下式给出: 结论:若 和 已知( 时刻系统的一种状态),即使网络在 时刻非松驰,它在t u ,) 之后的输出也能唯一的被确定.显然是由 和 ，u ,)共同唯一地确定.,因此 和 可以作为网络的状态,同样也可用 和 作为网络的状态,而这两组数的原函数是微分方程的变量. 从例子中也可以看出来,在无限区间(-, 上的输入,其作

5、用效果已综合在 , 和 , 两个数中,因此状态概念非常有意义和有效.,从上述例子可得到如下结论: 1、系统状态不是唯一的. 2、状态的选择与物理量有关,一般应该是相互 独立的储能元件的物理量. 3、每一瞬时的状态可以是仅由有限个数的集合组成.,定义1.状态 系统在时刻 的状态乃是时刻 的一种信息量,它与输入u ,)唯一地确定系统t 时的行为。 注：系统行为指包括状态在内的系统的所有响应。 状态即指某一时刻的,可以表征系统特征或行为的数。而该数的原函数则可称为状态变量,而这种函数不但可以描述某一时刻的行为，并可在 ,)内描述行为,为此定义状态变量是:,定义2.状态变量 状态变量是确定系统状态的最

6、小一组变量,如果以最少的n个变量 可以完全描述系统的行为 (即当t 时输入和 在t= 初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那么 是一组状态变量.,定义3.状态向量（有限个数的状态变量的集合） 如果将状态变量 作为向量x(t)的各个分量,则称x(t)为状态向量,一旦给定 时刻的状态向量, 则它与输入u ,)唯一地确定系统在 时的状态x(t)。,定义4.状态空间 若状态向量x(t),可唯一地由 空间中一组规范正交基底(单位坐标向量)线性组合表示,则状态向量x(t)是n维状态空间( ,n)中的一个向量,所有状态向量x(t)集合组成n维的状态空间( ,n) 或定义为: 通常状态变量均为有实际意义

7、的实数值,因此状态向量的取值空间是有限维实向量空间,称为状态空间。,总结: (1)根据状态变量的定义,状态变量应选取系统中相互独立储能元件的物理量,独立储能元件的个数即为状态变量个数. (2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数学描述所需,而非明确的物理意义。,(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是状态的函数,但输出总是希望可量测的。 (4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。,例2,设下图的RLC网络,如果电流 ,电容电压 的初始值和 时的输入电压均已知,则 时网络的状态完全由 , 确定.因此可将

8、 和 作为这个系统的一组状态变量.,(注意:这个系统,也可将 (t)和R*i(t)选为一组状态变量) 设i(t)和 (t)作为一组状态向量,则描述系统的动力学方程:,用向量矩阵形式表示,则上述方程可表示为: (1) 若设 ,则上式可简化为:, 当输出选定后,则可以量测的输出,总是可以通过状态变量和输入的线性组合得到. y=Cx+Du (2) 此例中 D=0, , 即,由此，我们可以得出，现代控制理论或状态空间分析方法是建立在系统采用有限个一阶微分方程描述的基础上，而有限个一阶微分方程组成了向量矩阵方程，因而从本质上来说，现代控制理论的分析方法是时域分析方法.,控制系统的状态空间描述-线性系统的

9、状态空间表达式 状态空间表达式是描述系统行为的数学模型,它包括状态方程和输出方程,状态方程由有限个一阶微分方程组成,而输出方程则是状态向量和输入的函数. 1.状态方程 x(t)是n1维向量, A(t)是nn维向量, B(t)是nr维向量, u(t)是r1维向量,(1)如果是线性定常系统,则 是常系数矩阵,则状态方程可写为: (2)如果是单输入系统,则 状态方程描述了 时刻的状态 和输入 所决定的系统在 的行为.,2.输出方程 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与状态变量以及输入变量之间的关系. 用 其中: 是m1维向量, , 是mn维向量, , 是

10、mr维向量, ,3.状态空间表达式 1)线性时变系统: 2)线性时不变系统: 在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对象是线性定常系统。,4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图) 例:根据上例画出结构图. 解:先将例子写成下述形式,则结构图为:,画法: 1)根据状态方程从方程右边开始画起. 2)通过积分环节得到状态. 3)通过状态反馈的组合得到状态的微分 4)通过状态的组合得到输出.,5.输入/输出描述和状态变量描述的比较 (1)系统的输入/输出描述仅揭示系统在初始松驰的假定下输入输出间的关系.因此对非松驰系统不能采用这种描述.尤为重要的问题,此描

11、述不能揭示非初始松驰时系统将发生的行为,也不能揭示系统的内部行为. (2)对于甚为复杂的线性系统,求其动态方程描述是很繁的,在此情况下,借助于直接测量求取输入/输出描述可能稍容易一些.,(3)状态变量法中的各种结果均能以传递函数法得到. (4)状态空间表达式能够推广到时变情形,且这种状态空间描述方程可适用于多种现代设计方法. (5)在非线性系统的研究中,可以根据不同的方法,而采用上述两种描述方法中的一种. (6)采用状态空间描述的形式,可方便地进行计算机仿真.,三.状态空间表达式的建立 根据系统的物理机理,直接写出状态空间表达式,如例2. 方法:依据有关物理定律,或直接建立所选择状态变量的一阶

12、微分方程组.或将得到的微分方程化为所选状态变量的一阶微分方程组.,讨论: (1)这种方法要求系统是完全可数学描述的,即结构和参数必须是确定的物理系统. (2)系统是能描述的简单物理系统.在一般情况下,只有简单的物理系统才能直接建立按所选择状态变量的一阶微分方程. (3)复杂物理系统,在这种情况下,对系统的描述可能是n阶的线性微分方程,故而需将高阶微分方程转成一阶微分方程形式.,根据系统微分方程建立状态空间表达式. 1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态表达式 系统描述为: (1),讨论:状态如何选择 对方程(1),若已知 和 则可完全确定系统在 的行为,故而可选取 n个状态作为状态变量.

13、 注意到,从数学上讲,这种方法是方便的,但在实际情况下,输出中可能存在噪声效应,因而高阶微分是不准确的,这是需要注意的.,解:设 则方程(1)可写成: (2),或写成矩阵形式: 其中 输出方程:,显然这种结果很容易地推广到r个输入(但不含输入的导数项)的情形中,以一个例子说明. 例: 设 为系统的微分方程 其中y为输出, 为输入,试求状态空间表达式.,解:设 则 及,即: 其中,2.输入中含有导数项的n阶线性系统的状态空间表达式. 系统微分方程: (3),讨论: 1)选择状态变量 显然 以及 和 就可唯一确定 时的行为. 2)不能单纯将输入,输出作为状态变量,必须用输入/输出的线性组合作为状态

14、变量,且为了得到状态空间的简约形式,状态变量的选择必须能消去状态方程中输入u的导数项.,用两个方法来解决问题: (1)将方程(3)写成微分算子的形式,即令 为微分算子,则原方程可写成 （4） y(t)亦可表示为: （5）,设一新变量v(t),并令 (6) 将上式写成微分形式,则为: (7),取状态变量 则上式又可写成状态方程 (8),将式(6)代入式(5)得到输出方程 即 或 (9) 式(8)和式(9)组成状态空间表达式 显然,上述结果亦可方便地推广到多输入,多输出的情形.,(2)选取合适的状态变量以消去输入项中的导数形式.设状态变量为: 式中,这样微分方程式(3)可以写成下述状态空间表达式.

15、 上述两情况下,具有A阵形式的矩阵称为相伴标准形矩阵或称友阵.,四.状态空间表达式(或动态方程)的线性变换. 对于状态空间表达式来说,由于状态变量选择的非唯一性,因此所得到的动态方程形式是不一样的,但由于是描述的同一系统,故而动态方程不论形式如何,它们对系统行为的描述应该提供同样多的信息。,1.系统状态空间表达式的非唯一性. 对于选定的状态变量x,则线性定常系统为: (11),若存在非奇异矩阵P ,使 或 则式(11)变为 (12) 其中 , 初始条件变换,式(12)表明了状态空间表达式的非唯一性,而其根本原因在于 ,即状态选取的非唯一性，因为总是可找到非奇异的P,使得 讨论: (1)x和 为

16、同一向量在线性空间是关于不同基底的不同表示,其中P也称为基底变换矩阵。 (2)A也被称为线性算子(自身映射),对于同一算子A,对于不同基底也有不同表示(如 )，但A和 是相似的,即满足,显而易见,同一算子关于不同基底的所有矩阵表示都是相似的. 问题: (1)既然一个线性算子有多种表示,是否有可能选一组基底以使算子A的表达最为简洁. (2)在不同基底下,线性算子具有不同的表示,那么它们的特征值是否发生了变化.,2.系统特征值的不变性 (1)特征值定义,特征向量的定义 定义:设A为将 映射到自身的线性算子 若存在C 中的非零向量X 及C 中的标量, 使得 则称为A的特征值, 任何满足 的非零向量X

17、称为A的特征向量.,按定义,为了寻找关于A的特征值, 将 写成 其中I 是 的单位阵, 对于方程 是齐次方程组，且 也是 的，该方程当且仅当 方程才有非零解。故当且仅当 是 的根时,标量 才是A的特征值,显然A阵共有n个特征根,当然它们未必是相异的. (2)特征值的不变性 易证明这一结论,3.化A阵为对角阵(化状态方程为对角线规范形) (特征值互异的情况下) 这里,实际上是为回答上述的第一个问题-使A表示最简洁. 首先研究在A的特征值是互异的情形下: 不加证明地给出下述结论. 若线性算子A或A阵具有互异的特征值,则在选择特征向量作为基底的情况下,算子A或A阵的表示是一对角阵,对角线上的元素即为

18、其特征值.,具体来说: 对于状态方程 若A的特征值互异, 互异,则存在非奇异矩阵P,进行变换 ,变换后的状态方程为,其中A为对角阵,即 且P由A阵的特征向量 组成 满足 易证 组成的向量是线性无关的.,上述方法成立的一个重要基础是需证明 线性无关,若作为基底,则 是A关于基底的表示。 一种特殊情况,若A为友阵时,则可直接给出变换阵P 称P 为范德蒙矩阵,它能使友阵A,作相似变换后得,4.化状态方程为约当规范形(化A阵为约当形矩阵) 这种情形实际是A阵特征值有重根的情形.-如果A阵有重根则只能化成约当形矩阵 约当规范形的推导比较复杂,我们这里不加证明地给出下述结论:,设A的特征值有q个重根,其余(n-q)个根为互异根,将A阵化为约当规范形的形式为:,相应的变换矩阵 其中 是对应于n-q个互异单根的特征向量,求法同对角规范形。 是对应于q个重根的各特征向